MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn 23287
Description: Domain of continuity of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
cxpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn.k  |-  K  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, J, y    x, K, y

Proof of Theorem cxpcn
StepHypRef Expression
1 cxpcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
21ellogdm 23188 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
32simplbi 458 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
43adantr 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
51logdmn0 23189 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
65adantr 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  =/=  0 )
7 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
84, 6, 7cxpefd 23261 . . 3  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^c 
y )  =  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )
98mpt2eq3ia 6335 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )
10 cxpcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  D )
11 cxpcn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1211cnfldtopon 21456 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
143ssriv 3493 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
15 resttopon 19829 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1613, 14, 15sylancl 660 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1710, 16syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  D ) )
1817, 13cnmpt2nd 20336 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
19 fvres 5862 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2019adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2120mpt2eq3ia 6335 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `  x ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )
2217, 13cnmpt1st 20335 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  K ) )
231logcn 23196 . . . . . . . . 9  |-  ( log  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )
24 ssid 3508 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
2512toponunii 19600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. J
2625restid 14923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
2712, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  CC )  =  J
2827eqcomi 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( Jt  CC )
2911, 10, 28cncfcn 21579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( D -cn-> CC )  =  ( K  Cn  J ) )
3014, 24, 29mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( D
-cn-> CC )  =  ( K  Cn  J )
3123, 30eleqtri 2540 . . . . . . . 8  |-  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J )
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J ) )
3317, 13, 22, 32cnmpt21f 20339 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `
 x ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
3421, 33syl5eqelr 2547 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
3511mulcn 21537 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3717, 13, 18, 34, 36cnmpt22f 20342 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( y  x.  ( log `  x ) ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
38 efcn 23004 . . . . . 6  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
3911cncfcn1 21580 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
4038, 39eleqtri 2540 . . . . 5  |-  exp  e.  ( J  Cn  J
)
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  exp  e.  ( J  Cn  J ) )
4217, 13, 37, 41cnmpt21f 20339 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
4342trud 1407 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J )
449, 43eqeltri 2538 1  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458    C_ wss 3461    |` cres 4990   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486   -oocmnf 9615   RR+crp 11221   (,]cioc 11533   expce 13879   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911  ℂfldccnfld 18615  TopOnctopon 19562    Cn ccn 19892    tX ctx 20227   -cn->ccncf 21546   logclog 23108    ^c ccxp 23109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-cxp 23111
This theorem is referenced by:  cxpcn2  23288  sqrtcn  23292  cxpcncf2  31942
  Copyright terms: Public domain W3C validator