MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn 22317
Description: Domain of continuity of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
cxpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn.k  |-  K  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, J, y    x, K, y

Proof of Theorem cxpcn
StepHypRef Expression
1 cxpcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
21ellogdm 22218 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
32simplbi 460 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
51logdmn0 22219 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  =/=  0 )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
84, 6, 7cxpefd 22291 . . 3  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^c 
y )  =  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )
98mpt2eq3ia 6261 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )
10 cxpcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  D )
11 cxpcn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1211cnfldtopon 20495 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
143ssriv 3469 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
15 resttopon 18898 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1710, 16syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  D ) )
1817, 13cnmpt2nd 19375 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
19 fvres 5814 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2019adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2120mpt2eq3ia 6261 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `  x ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )
2217, 13cnmpt1st 19374 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  K ) )
231logcn 22226 . . . . . . . . 9  |-  ( log  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )
24 ssid 3484 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
2512toponunii 18670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. J
2625restid 14492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
2712, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  CC )  =  J
2827eqcomi 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( Jt  CC )
2911, 10, 28cncfcn 20618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( D -cn-> CC )  =  ( K  Cn  J ) )
3014, 24, 29mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( D
-cn-> CC )  =  ( K  Cn  J )
3123, 30eleqtri 2540 . . . . . . . 8  |-  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J )
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J ) )
3317, 13, 22, 32cnmpt21f 19378 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `
 x ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
3421, 33syl5eqelr 2547 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
3511mulcn 20576 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3717, 13, 18, 34, 36cnmpt22f 19381 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( y  x.  ( log `  x ) ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
38 efcn 22042 . . . . . 6  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
3911cncfcn1 20619 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
4038, 39eleqtri 2540 . . . . 5  |-  exp  e.  ( J  Cn  J
)
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  exp  e.  ( J  Cn  J ) )
4217, 13, 37, 41cnmpt21f 19378 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
4342trud 1379 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J )
449, 43eqeltri 2538 1  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2648    \ cdif 3434    C_ wss 3437    |` cres 4951   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394    x. cmul 9399   -oocmnf 9528   RR+crp 11103   (,]cioc 11413   expce 13466   ↾t crest 14479   TopOpenctopn 14480  ℂfldccnfld 17944  TopOnctopon 18632    Cn ccn 18961    tX ctx 19266   -cn->ccncf 20585   logclog 22140    ^c ccxp 22141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-tan 13476  df-pi 13477  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-cmp 19123  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476  df-log 22142  df-cxp 22143
This theorem is referenced by:  cxpcn2  22318  sqrcn  22322
  Copyright terms: Public domain W3C validator