MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcl Structured version   Unicode version

Theorem cxpcl 23031
Description: Closure of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  e.  CC )

Proof of Theorem cxpcl
StepHypRef Expression
1 cxpval 23021 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  =  if ( A  =  0 ,  if ( B  =  0 ,  1 ,  0 ) ,  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
2 ax-1cn 9553 . . . . 5  |-  1  e.  CC
3 0cn 9591 . . . . 5  |-  0  e.  CC
42, 3keepel 3994 . . . 4  |-  if ( B  =  0 ,  1 ,  0 )  e.  CC
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  A  =  0 )  ->  if ( B  =  0 , 
1 ,  0 )  e.  CC )
6 df-ne 2640 . . . 4  |-  ( A  =/=  0  <->  -.  A  =  0 )
7 id 22 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  B  e.  CC )
8 logcl 22932 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
9 mulcl 9579 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
107, 8, 9syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1110an32s 804 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( B  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
12 efcl 13799 . . . . 5  |-  ( ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
146, 13sylan2br 476 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  -.  A  =  0 )  ->  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
155, 14ifclda 3958 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  if ( A  =  0 ,  if ( B  =  0 ,  1 ,  0 ) ,  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  e.  CC )
161, 15eqeltrd 2531 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   ifcif 3926   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500   expce 13778   logclog 22918    ^c ccxp 22919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-mod 11978  df-seq 12089  df-exp 12148  df-fac 12335  df-bc 12362  df-hash 12387  df-shft 12881  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-limsup 13275  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-ef 13784  df-sin 13786  df-cos 13787  df-pi 13789  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-hom 14702  df-cco 14703  df-rest 14801  df-topn 14802  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-topgen 14822  df-pt 14823  df-prds 14826  df-xrs 14880  df-qtop 14885  df-imas 14886  df-xps 14888  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-fbas 18394  df-fg 18395  df-cnfld 18399  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-cld 19497  df-ntr 19498  df-cls 19499  df-nei 19576  df-lp 19614  df-perf 19615  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-haus 19793  df-tx 20040  df-hmeo 20233  df-fil 20324  df-fm 20416  df-flim 20417  df-flf 20418  df-xms 20800  df-ms 20801  df-tms 20802  df-cncf 21359  df-limc 22247  df-dv 22248  df-log 22920  df-cxp 22921
This theorem is referenced by:  cxpneg  23038  cxpsub  23039  mulcxplem  23041  mulcxp  23042  cxprec  23043  divcxp  23044  cxpmul  23045  cxpmul2  23046  cxpmul2z  23048  cxpsqrt  23060  cxpcld  23065  cxpcn3  23098  root1cj  23106  cxpeq  23107  1cubrlem  23148  1cubr  23149  cubic  23156  quartlem3  23166  sgmf  23395  sgmppw  23448  dchrptlem1  23515  dchrptlem2  23516  proot1ex  31137
  Copyright terms: Public domain W3C validator