MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcl Structured version   Unicode version

Theorem cxpcl 22124
Description: Closure of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  e.  CC )

Proof of Theorem cxpcl
StepHypRef Expression
1 cxpval 22114 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  =  if ( A  =  0 ,  if ( B  =  0 ,  1 ,  0 ) ,  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
2 ax-1cn 9345 . . . . 5  |-  1  e.  CC
3 0cn 9383 . . . . 5  |-  0  e.  CC
42, 3keepel 3862 . . . 4  |-  if ( B  =  0 ,  1 ,  0 )  e.  CC
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  A  =  0 )  ->  if ( B  =  0 , 
1 ,  0 )  e.  CC )
6 df-ne 2613 . . . 4  |-  ( A  =/=  0  <->  -.  A  =  0 )
7 id 22 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  B  e.  CC )
8 logcl 22025 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
9 mulcl 9371 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
107, 8, 9syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1110an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( B  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
12 efcl 13373 . . . . 5  |-  ( ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
146, 13sylan2br 476 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  -.  A  =  0 )  ->  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
155, 14ifclda 3826 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  if ( A  =  0 ,  if ( B  =  0 ,  1 ,  0 ) ,  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  e.  CC )
161, 15eqeltrd 2517 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   ifcif 3796   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287   1c1 9288    x. cmul 9292   expce 13352   logclog 22011    ^c ccxp 22012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cxp 22014
This theorem is referenced by:  cxpneg  22131  cxpsub  22132  mulcxplem  22134  mulcxp  22135  cxprec  22136  divcxp  22137  cxpmul  22138  cxpmul2  22139  cxpmul2z  22141  cxpsqr  22153  cxpcld  22158  cxpcn3  22191  root1cj  22199  cxpeq  22200  1cubrlem  22241  1cubr  22242  cubic  22249  quartlem3  22259  sgmf  22488  sgmppw  22541  dchrptlem1  22608  dchrptlem2  22609  proot1ex  29574
  Copyright terms: Public domain W3C validator