MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddlelem Structured version   Unicode version

Theorem cxpaddlelem 22989
Description: Lemma for cxpaddle 22990. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddlelem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cxpaddlelem.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
cxpaddlelem.3  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
cxpaddlelem.4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
cxpaddlelem.5  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
cxpaddlelem  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^c  B )
)

Proof of Theorem cxpaddlelem
StepHypRef Expression
1 cxpaddlelem.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cxpaddlelem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 1re 9607 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4 cxpaddlelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
54rpred 11268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6 resubcl 9895 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
73, 5, 6sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
81, 2, 7recxpcld 22968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^c 
( 1  -  B
) )  e.  RR )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  e.  RR )
10 1red 9623 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  1  e.  RR )
11 recxpcl 22920 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^c  B )  e.  RR )
12 cxpge0 22928 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  ^c  B ) )
1311, 12jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^c  B )
) )
141, 2, 5, 13syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^c  B )
) )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^c  B ) ) )
16 cxpaddlelem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
1716ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  <_  1 )
181ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  e.  RR )
192ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  A )
20 1red 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  1  e.  RR )
21 0le1 10088 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  1 )
23 difrp 11265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
245, 3, 23sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2625biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  -  B )  e.  RR+ )
2718, 19, 20, 22, 26cxple2d 22972 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  <_  1  <->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^c  ( 1  -  B ) ) ) )
2817, 27mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^c  ( 1  -  B ) ) )
297recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  CC )
30291cxpd 22952 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  ^c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
3130ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  ^c  ( 1  -  B ) )  =  1 )
3228, 31breqtrd 4477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
33 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  B  =  1 )
3433oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  ( 1  -  1 ) )
35 1m1e0 10616 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3634, 35syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  0 )
3736oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^c 
( 1  -  B
) )  =  ( A  ^c  0 ) )
381recnd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3938ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  A  e.  CC )
4039cxp0d 22950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^c 
0 )  =  1 )
4137, 40eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
42 1le1 10189 . . . . . 6  |-  1  <_  1
4341, 42syl6eqbr 4490 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^c 
( 1  -  B
) )  <_  1
)
44 cxpaddlelem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
45 leloe 9683 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
465, 3, 45sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
4744, 46mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1
) )
4847adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) )
4932, 43, 48mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
50 lemul1a 10408 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( A  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^c  B ) ) )  /\  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_ 
1 )  ->  (
( A  ^c 
( 1  -  B
) )  x.  ( A  ^c  B ) )  <_  ( 1  x.  ( A  ^c  B ) ) )
519, 10, 15, 49, 50syl31anc 1231 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^c  B ) )  <_ 
( 1  x.  ( A  ^c  B ) ) )
52 ax-1cn 9562 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
535recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
54 npcan 9841 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5552, 53, 54sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5655adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( (
1  -  B )  +  B )  =  1 )
5756oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( A  ^c  1 ) )
5838adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
591anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
60 elrp 11234 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6159, 60sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR+ )
6261rpne0d 11273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
6329adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  -  B )  e.  CC )
6453adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  B  e.  CC )
6558, 62, 63, 64cxpaddd 22962 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^c  B ) ) )
6638cxp1d 22951 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^c 
1 )  =  A )
6766adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  1 )  =  A )
6857, 65, 673eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^c  B ) )  =  A )
6938, 53cxpcld 22953 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  B )  e.  CC )
7069mulid2d 9626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( A  ^c  B ) )  =  ( A  ^c  B ) )
7170adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  x.  ( A  ^c  B ) )  =  ( A  ^c  B ) )
7251, 68, 713brtr3d 4482 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  <_  ( A  ^c  B ) )
731, 2, 5cxpge0d 22969 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  ^c  B )
)
74 breq1 4456 . . . 4  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  ( A  ^c  B )  <->  A  <_  ( A  ^c  B ) ) )
7573, 74syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  =  A  ->  A  <_  ( A  ^c  B ) ) )
7675imp 429 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  =  A )  ->  A  <_  ( A  ^c  B ) )
77 0re 9608 . . . 4  |-  0  e.  RR
78 leloe 9683 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
7977, 1, 78sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
802, 79mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  A  \/  0  =  A
) )
8172, 76, 80mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^c  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   RR+crp 11232    ^c ccxp 22807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22808  df-cxp 22809
This theorem is referenced by:  cxpaddle  22990
  Copyright terms: Public domain W3C validator