MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddlelem Structured version   Unicode version

Theorem cxpaddlelem 22189
Description: Lemma for cxpaddle 22190. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddlelem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cxpaddlelem.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
cxpaddlelem.3  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
cxpaddlelem.4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
cxpaddlelem.5  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
cxpaddlelem  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^c  B )
)

Proof of Theorem cxpaddlelem
StepHypRef Expression
1 cxpaddlelem.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cxpaddlelem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 1re 9385 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4 cxpaddlelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
54rpred 11027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6 resubcl 9673 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
73, 5, 6sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
81, 2, 7recxpcld 22168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^c 
( 1  -  B
) )  e.  RR )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  e.  RR )
10 1red 9401 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  1  e.  RR )
11 recxpcl 22120 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^c  B )  e.  RR )
12 cxpge0 22128 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  ^c  B ) )
1311, 12jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^c  B )
) )
141, 2, 5, 13syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^c  B )
) )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^c  B ) ) )
16 cxpaddlelem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
1716ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  <_  1 )
181ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  e.  RR )
192ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  A )
20 1red 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  1  e.  RR )
21 0le1 9863 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  1 )
23 difrp 11024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
245, 3, 23sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2625biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  -  B )  e.  RR+ )
2718, 19, 20, 22, 26cxple2d 22172 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  <_  1  <->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^c  ( 1  -  B ) ) ) )
2817, 27mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^c  ( 1  -  B ) ) )
297recnd 9412 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  CC )
30291cxpd 22152 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  ^c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
3130ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  ^c  ( 1  -  B ) )  =  1 )
3228, 31breqtrd 4316 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
33 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  B  =  1 )
3433oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  ( 1  -  1 ) )
35 1m1e0 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3634, 35syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  0 )
3736oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^c 
( 1  -  B
) )  =  ( A  ^c  0 ) )
381recnd 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3938adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  A  e.  CC )
4140cxp0d 22150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^c 
0 )  =  1 )
4237, 41eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
43 1le1 9964 . . . . . 6  |-  1  <_  1
4442, 43syl6eqbr 4329 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^c 
( 1  -  B
) )  <_  1
)
45 cxpaddlelem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
46 leloe 9461 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
475, 3, 46sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
4845, 47mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1
) )
4948adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) )
5032, 44, 49mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
51 lemul1a 10183 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( A  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^c  B ) ) )  /\  ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  <_ 
1 )  ->  (
( A  ^c 
( 1  -  B
) )  x.  ( A  ^c  B ) )  <_  ( 1  x.  ( A  ^c  B ) ) )
529, 10, 15, 50, 51syl31anc 1221 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^c  B ) )  <_ 
( 1  x.  ( A  ^c  B ) ) )
53 ax-1cn 9340 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
545recnd 9412 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
55 npcan 9619 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5653, 54, 55sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5756adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( (
1  -  B )  +  B )  =  1 )
5857oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( A  ^c  1 ) )
591anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
60 elrp 10993 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6159, 60sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR+ )
6261rpne0d 11032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
6329adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  -  B )  e.  CC )
6454adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  B  e.  CC )
6539, 62, 63, 64cxpaddd 22162 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^c  B ) ) )
6638cxp1d 22151 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^c 
1 )  =  A )
6766adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^c  1 )  =  A )
6858, 65, 673eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^c  B ) )  =  A )
6938, 54cxpcld 22153 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  B )  e.  CC )
7069mulid2d 9404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( A  ^c  B ) )  =  ( A  ^c  B ) )
7170adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  x.  ( A  ^c  B ) )  =  ( A  ^c  B ) )
7252, 68, 713brtr3d 4321 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  <_  ( A  ^c  B ) )
731, 2, 5cxpge0d 22169 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  ^c  B )
)
74 breq1 4295 . . . 4  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  ( A  ^c  B )  <->  A  <_  ( A  ^c  B ) ) )
7573, 74syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  =  A  ->  A  <_  ( A  ^c  B ) ) )
7675imp 429 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  =  A )  ->  A  <_  ( A  ^c  B ) )
77 0re 9386 . . . 4  |-  0  e.  RR
78 leloe 9461 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
7977, 1, 78sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
802, 79mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  A  \/  0  =  A
) )
8172, 76, 80mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^c  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   RR+crp 10991    ^c ccxp 22007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-cxp 22009
This theorem is referenced by:  cxpaddle  22190
  Copyright terms: Public domain W3C validator