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Theorem cxpaddle 22212
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cxpaddle.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
cxpaddle.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cxpaddle.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
cxpaddle.5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cxpaddle.6  |-  ( ph  ->  C  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
cxpaddle  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
31, 2readdcld 9434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
61, 2, 4, 5addge0d 9936 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
87rpred 11048 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
93, 6, 8recxpcld 22190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR )
1110recnd 9433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  CC )
1211mulid2d 9425 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( 1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  =  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )
131adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  e.  RR )
143anim1i 568 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  B
) ) )
15 elrp 11014 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  B
) ) )
1614, 15sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR+ )
1713, 16rerpdivcld 11075 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  e.  RR )
182adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  e.  RR )
1918, 16rerpdivcld 11075 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  e.  RR )
204adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  A )
213adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
22 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <  ( A  +  B ) )
23 divge0 10219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( A  +  B ) ) )
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( A  +  B ) ) )
258adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  RR )
2617, 24, 25recxpcld 22190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  e.  RR )
275adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  B )
28 divge0 10219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  0  <_  ( B  /  ( A  +  B ) ) )
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  ( B  /  ( A  +  B ) ) )
3019, 29, 25recxpcld 22190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  e.  RR )
311, 2addge01d 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
325, 31mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
3421recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
3534mulid1d 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  x.  1 )  =  ( A  +  B ) )
3633, 35breqtrrd 4339 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  <_  ( ( A  +  B
)  x.  1 ) )
37 1red 9422 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  1  e.  RR )
38 ledivmul 10226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
4036, 39mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1 )
417adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  RR+ )
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  <_  1 )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  <_  1 )
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 22211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
( ( A  / 
( A  +  B
) )  ^c  C ) )
452, 1addge02d 9949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
464, 45mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
4847, 35breqtrrd 4339 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  <_  ( ( A  +  B
)  x.  1 ) )
49 ledivmul 10226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  B  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  B  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
5148, 50mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1 )
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 22211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
( ( B  / 
( A  +  B
) )  ^c  C ) )
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 9978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  +  ( B  /  ( A  +  B )
) )  <_  (
( ( A  / 
( A  +  B
) )  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B )
)  ^c  C ) ) )
5413recnd 9433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  e.  CC )
5518recnd 9433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  e.  CC )
5616rpne0d 11053 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  =/=  0
)
5754, 55, 34, 56divdird 10166 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  ( A  +  B ) )  =  ( ( A  / 
( A  +  B
) )  +  ( B  /  ( A  +  B ) ) ) )
5834, 56dividd 10126 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  ( A  +  B ) )  =  1 )
5957, 58eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  +  ( B  /  ( A  +  B )
) )  =  1 )
608recnd 9433 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  CC )
6213, 20, 16, 61divcxpd 22189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  =  ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
6318, 27, 16, 61divcxpd 22189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  =  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
6462, 63oveq12d 6130 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  /  ( A  +  B )
)  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  +  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
651, 4, 8recxpcld 22190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  C )  e.  RR )
6665recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  C )  e.  CC )
6766adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  ^c  C )  e.  CC )
682, 5, 8recxpcld 22190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  ^c  C )  e.  RR )
6968recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  ^c  C )  e.  CC )
7069adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  ^c  C )  e.  CC )
7116, 25rpcxpcld 22197 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR+ )
7271rpne0d 11053 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  =/=  0 )
7367, 70, 11, 72divdird 10166 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  +  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
7464, 73eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  /  ( A  +  B )
)  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
7553, 59, 743brtr3d 4342 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  1  <_  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
7665, 68readdcld 9434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  e.  RR )
7776adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  e.  RR )
7837, 77, 71lemuldivd 11093 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  <->  1  <_  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
7975, 78mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( 1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  <_ 
( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
8012, 79eqbrtrrd 4335 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
817rpne0d 11053 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
8260, 810cxpd 22177 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  ^c  C )  =  0 )
831, 4, 8cxpge0d 22191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  ^c  C )
)
842, 5, 8cxpge0d 22191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  ^c  C )
)
8565, 68, 83, 84addge0d 9936 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
8682, 85eqbrtrd 4333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
87 oveq1 6119 . . . . 5  |-  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  (
0  ^c  C )  =  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )
8887breq1d 4323 . . . 4  |-  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  (
( 0  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  <->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) ) )
8986, 88syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) ) )
9089imp 429 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  =  ( A  +  B
) )  ->  (
( A  +  B
)  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
91 0re 9407 . . . 4  |-  0  e.  RR
92 leloe 9482 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( 0  < 
( A  +  B
)  \/  0  =  ( A  +  B
) ) ) )
9391, 3, 92sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  +  B )  <->  ( 0  <  ( A  +  B )  \/  0  =  ( A  +  B ) ) ) )
946, 93mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( A  +  B )  \/  0  =  ( A  +  B )
) )
9580, 90, 94mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    < clt 9439    <_ cle 9440    / cdiv 10014   RR+crp 11012    ^c ccxp 22029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-cxp 22031
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