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Theorem cxpaddle 22951
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cxpaddle.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
cxpaddle.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cxpaddle.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
cxpaddle.5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cxpaddle.6  |-  ( ph  ->  C  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
cxpaddle  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
31, 2readdcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
61, 2, 4, 5addge0d 10129 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
87rpred 11257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
93, 6, 8recxpcld 22929 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR )
1110recnd 9623 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  CC )
1211mulid2d 9615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( 1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  =  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )
131adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  e.  RR )
143anim1i 568 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  B
) ) )
15 elrp 11223 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  B
) ) )
1614, 15sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR+ )
1713, 16rerpdivcld 11284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  e.  RR )
182adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  e.  RR )
1918, 16rerpdivcld 11284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  e.  RR )
204adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  A )
213adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
22 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <  ( A  +  B ) )
23 divge0 10412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( A  +  B ) ) )
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( A  +  B ) ) )
258adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  RR )
2617, 24, 25recxpcld 22929 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  e.  RR )
275adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  B )
28 divge0 10412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  0  <_  ( B  /  ( A  +  B ) ) )
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  ( B  /  ( A  +  B ) ) )
3019, 29, 25recxpcld 22929 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  e.  RR )
311, 2addge01d 10141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
325, 31mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
3421recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
3534mulid1d 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  x.  1 )  =  ( A  +  B ) )
3633, 35breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  <_  ( ( A  +  B
)  x.  1 ) )
37 1red 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  1  e.  RR )
38 ledivmul 10419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
4036, 39mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1 )
417adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  RR+ )
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  <_  1 )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  <_  1 )
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 22950 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
( ( A  / 
( A  +  B
) )  ^c  C ) )
452, 1addge02d 10142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
464, 45mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
4847, 35breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  <_  ( ( A  +  B
)  x.  1 ) )
49 ledivmul 10419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  B  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  B  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
5148, 50mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1 )
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 22950 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
( ( B  / 
( A  +  B
) )  ^c  C ) )
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 10171 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  +  ( B  /  ( A  +  B )
) )  <_  (
( ( A  / 
( A  +  B
) )  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B )
)  ^c  C ) ) )
5413recnd 9623 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  e.  CC )
5518recnd 9623 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  e.  CC )
5616rpne0d 11262 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  =/=  0
)
5754, 55, 34, 56divdird 10359 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  ( A  +  B ) )  =  ( ( A  / 
( A  +  B
) )  +  ( B  /  ( A  +  B ) ) ) )
5834, 56dividd 10319 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  ( A  +  B ) )  =  1 )
5957, 58eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  +  ( B  /  ( A  +  B )
) )  =  1 )
608recnd 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  CC )
6213, 20, 16, 61divcxpd 22928 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  =  ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
6318, 27, 16, 61divcxpd 22928 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  =  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
6462, 63oveq12d 6303 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  /  ( A  +  B )
)  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  +  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
651, 4, 8recxpcld 22929 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  C )  e.  RR )
6665recnd 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  C )  e.  CC )
6766adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  ^c  C )  e.  CC )
682, 5, 8recxpcld 22929 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  ^c  C )  e.  RR )
6968recnd 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  ^c  C )  e.  CC )
7069adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  ^c  C )  e.  CC )
7116, 25rpcxpcld 22936 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR+ )
7271rpne0d 11262 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  =/=  0 )
7367, 70, 11, 72divdird 10359 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  +  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
7464, 73eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  /  ( A  +  B )
)  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
7553, 59, 743brtr3d 4476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  1  <_  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
7665, 68readdcld 9624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  e.  RR )
7776adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  e.  RR )
7837, 77, 71lemuldivd 11302 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  <->  1  <_  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
7975, 78mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( 1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  <_ 
( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
8012, 79eqbrtrrd 4469 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
817rpne0d 11262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
8260, 810cxpd 22916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  ^c  C )  =  0 )
831, 4, 8cxpge0d 22930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  ^c  C )
)
842, 5, 8cxpge0d 22930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  ^c  C )
)
8565, 68, 83, 84addge0d 10129 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
8682, 85eqbrtrd 4467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
87 oveq1 6292 . . . . 5  |-  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  (
0  ^c  C )  =  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )
8887breq1d 4457 . . . 4  |-  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  (
( 0  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  <->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) ) )
8986, 88syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) ) )
9089imp 429 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  =  ( A  +  B
) )  ->  (
( A  +  B
)  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
91 0re 9597 . . . 4  |-  0  e.  RR
92 leloe 9672 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( 0  < 
( A  +  B
)  \/  0  =  ( A  +  B
) ) ) )
9391, 3, 92sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  +  B )  <->  ( 0  <  ( A  +  B )  \/  0  =  ( A  +  B ) ) ) )
946, 93mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( A  +  B )  \/  0  =  ( A  +  B )
) )
9580, 90, 94mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    / cdiv 10207   RR+crp 11221    ^c ccxp 22768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-ef 13668  df-sin 13670  df-cos 13671  df-pi 13673  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-limc 22097  df-dv 22098  df-log 22769  df-cxp 22770
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