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Theorem cxpaddle 22149
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cxpaddle.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
cxpaddle.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cxpaddle.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
cxpaddle.5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cxpaddle.6  |-  ( ph  ->  C  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
cxpaddle  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
31, 2readdcld 9409 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
61, 2, 4, 5addge0d 9911 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
87rpred 11023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
93, 6, 8recxpcld 22127 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR )
109adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR )
1110recnd 9408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  CC )
1211mulid2d 9400 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( 1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  =  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )
131adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  e.  RR )
143anim1i 565 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  B
) ) )
15 elrp 10989 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  B
) ) )
1614, 15sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR+ )
1713, 16rerpdivcld 11050 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  e.  RR )
182adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  e.  RR )
1918, 16rerpdivcld 11050 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  e.  RR )
204adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  A )
213adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
22 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <  ( A  +  B ) )
23 divge0 10194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( A  +  B ) ) )
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 1214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( A  +  B ) ) )
258adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  RR )
2617, 24, 25recxpcld 22127 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  e.  RR )
275adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  B )
28 divge0 10194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  0  <_  ( B  /  ( A  +  B ) ) )
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 1214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  ( B  /  ( A  +  B ) ) )
3019, 29, 25recxpcld 22127 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  e.  RR )
311, 2addge01d 9923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
325, 31mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
3332adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
3421recnd 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
3534mulid1d 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  x.  1 )  =  ( A  +  B ) )
3633, 35breqtrrd 4315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  <_  ( ( A  +  B
)  x.  1 ) )
37 1red 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  1  e.  RR )
38 ledivmul 10201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
4036, 39mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1 )
417adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  RR+ )
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  <_  1 )
4342adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  <_  1 )
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 22148 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
( ( A  / 
( A  +  B
) )  ^c  C ) )
452, 1addge02d 9924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
464, 45mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
4746adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
4847, 35breqtrrd 4315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  <_  ( ( A  +  B
)  x.  1 ) )
49 ledivmul 10201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  B  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  B  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
5148, 50mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1 )
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 22148 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
( ( B  / 
( A  +  B
) )  ^c  C ) )
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 9953 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  +  ( B  /  ( A  +  B )
) )  <_  (
( ( A  / 
( A  +  B
) )  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B )
)  ^c  C ) ) )
5413recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  e.  CC )
5518recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  e.  CC )
5616rpne0d 11028 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  =/=  0
)
5754, 55, 34, 56divdird 10141 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  ( A  +  B ) )  =  ( ( A  / 
( A  +  B
) )  +  ( B  /  ( A  +  B ) ) ) )
5834, 56dividd 10101 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  ( A  +  B ) )  =  1 )
5957, 58eqtr3d 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  +  ( B  /  ( A  +  B )
) )  =  1 )
608recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6160adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  CC )
6213, 20, 16, 61divcxpd 22126 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  =  ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
6318, 27, 16, 61divcxpd 22126 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  =  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
6462, 63oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  /  ( A  +  B )
)  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  +  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
651, 4, 8recxpcld 22127 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  C )  e.  RR )
6665recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  C )  e.  CC )
6766adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  ^c  C )  e.  CC )
682, 5, 8recxpcld 22127 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  ^c  C )  e.  RR )
6968recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  ^c  C )  e.  CC )
7069adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  ^c  C )  e.  CC )
7116, 25rpcxpcld 22134 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR+ )
7271rpne0d 11028 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  =/=  0 )
7367, 70, 11, 72divdird 10141 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  +  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
7464, 73eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  /  ( A  +  B )
)  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
7553, 59, 743brtr3d 4318 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  1  <_  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
7665, 68readdcld 9409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  e.  RR )
7776adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  e.  RR )
7837, 77, 71lemuldivd 11068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  <->  1  <_  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
7975, 78mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( 1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  <_ 
( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
8012, 79eqbrtrrd 4311 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
817rpne0d 11028 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
8260, 810cxpd 22114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  ^c  C )  =  0 )
831, 4, 8cxpge0d 22128 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  ^c  C )
)
842, 5, 8cxpge0d 22128 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  ^c  C )
)
8565, 68, 83, 84addge0d 9911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
8682, 85eqbrtrd 4309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
87 oveq1 6097 . . . . 5  |-  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  (
0  ^c  C )  =  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )
8887breq1d 4299 . . . 4  |-  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  (
( 0  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  <->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) ) )
8986, 88syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) ) )
9089imp 429 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  =  ( A  +  B
) )  ->  (
( A  +  B
)  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
91 0re 9382 . . . 4  |-  0  e.  RR
92 leloe 9457 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( 0  < 
( A  +  B
)  \/  0  =  ( A  +  B
) ) ) )
9391, 3, 92sylancr 658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  +  B )  <->  ( 0  <  ( A  +  B )  \/  0  =  ( A  +  B ) ) ) )
946, 93mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( A  +  B )  \/  0  =  ( A  +  B )
) )
9580, 90, 94mpjaodan 779 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   RR+crp 10987    ^c ccxp 21966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968
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