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Theorem cxpaddle 23251
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cxpaddle.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
cxpaddle.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cxpaddle.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
cxpaddle.5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cxpaddle.6  |-  ( ph  ->  C  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
cxpaddle  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
31, 2readdcld 9640 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
61, 2, 4, 5addge0d 10149 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
87rpred 11281 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
93, 6, 8recxpcld 23229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR )
1110recnd 9639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  CC )
1211mulid2d 9631 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( 1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  =  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )
131adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  e.  RR )
143anim1i 568 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  B
) ) )
15 elrp 11247 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  B
) ) )
1614, 15sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR+ )
1713, 16rerpdivcld 11308 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  e.  RR )
182adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  e.  RR )
1918, 16rerpdivcld 11308 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  e.  RR )
204adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  A )
213adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
22 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <  ( A  +  B ) )
23 divge0 10432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( A  +  B ) ) )
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( A  +  B ) ) )
258adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  RR )
2617, 24, 25recxpcld 23229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  e.  RR )
275adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  B )
28 divge0 10432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  0  <_  ( B  /  ( A  +  B ) ) )
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  0  <_  ( B  /  ( A  +  B ) ) )
3019, 29, 25recxpcld 23229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  e.  RR )
311, 2addge01d 10161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
325, 31mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
3421recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
3534mulid1d 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  x.  1 )  =  ( A  +  B ) )
3633, 35breqtrrd 4482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  <_  ( ( A  +  B
)  x.  1 ) )
37 1red 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  1  e.  RR )
38 ledivmul 10439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
4036, 39mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1 )
417adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  RR+ )
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  <_  1 )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  <_  1 )
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 23250 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  /  ( A  +  B ) )  <_ 
( ( A  / 
( A  +  B
) )  ^c  C ) )
452, 1addge02d 10162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
464, 45mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
4847, 35breqtrrd 4482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  <_  ( ( A  +  B
)  x.  1 ) )
49 ledivmul 10439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  B ) ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  B  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1  <->  B  <_  ( ( A  +  B )  x.  1 ) ) )
5148, 50mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
1 )
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 23250 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  /  ( A  +  B ) )  <_ 
( ( B  / 
( A  +  B
) )  ^c  C ) )
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 10191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  +  ( B  /  ( A  +  B )
) )  <_  (
( ( A  / 
( A  +  B
) )  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B )
)  ^c  C ) ) )
5413recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  A  e.  CC )
5518recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  B  e.  CC )
5616rpne0d 11286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  +  B )  =/=  0
)
5754, 55, 34, 56divdird 10379 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  ( A  +  B ) )  =  ( ( A  / 
( A  +  B
) )  +  ( B  /  ( A  +  B ) ) ) )
5834, 56dividd 10339 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  ( A  +  B ) )  =  1 )
5957, 58eqtr3d 2500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  +  ( B  /  ( A  +  B )
) )  =  1 )
608recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  C  e.  CC )
6213, 20, 16, 61divcxpd 23228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  =  ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
6318, 27, 16, 61divcxpd 23228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C )  =  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
6462, 63oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  /  ( A  +  B )
)  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  +  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
651, 4, 8recxpcld 23229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  C )  e.  RR )
6665recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  C )  e.  CC )
6766adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( A  ^c  C )  e.  CC )
682, 5, 8recxpcld 23229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  ^c  C )  e.  RR )
6968recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  ^c  C )  e.  CC )
7069adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( B  ^c  C )  e.  CC )
7116, 25rpcxpcld 23236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  RR+ )
7271rpne0d 11286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  =/=  0 )
7367, 70, 11, 72divdird 10379 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) )  +  ( ( B  ^c  C )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
7464, 73eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
( A  /  ( A  +  B )
)  ^c  C )  +  ( ( B  /  ( A  +  B ) )  ^c  C ) )  =  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
7553, 59, 743brtr3d 4485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  1  <_  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) )
7665, 68readdcld 9640 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  e.  RR )
7776adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  e.  RR )
7837, 77, 71lemuldivd 11326 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( (
1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  <->  1  <_  ( ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  /  (
( A  +  B
)  ^c  C ) ) ) )
7975, 78mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( 1  x.  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )  <_ 
( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
8012, 79eqbrtrrd 4478 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( A  +  B ) )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
817rpne0d 11286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
8260, 810cxpd 23216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  ^c  C )  =  0 )
831, 4, 8cxpge0d 23230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  ^c  C )
)
842, 5, 8cxpge0d 23230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  ^c  C )
)
8565, 68, 83, 84addge0d 10149 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
8682, 85eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
87 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  (
0  ^c  C )  =  ( ( A  +  B )  ^c  C ) )
8887breq1d 4466 . . . 4  |-  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  (
( 0  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) )  <->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) ) )
8986, 88syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( A  +  B )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) ) )
9089imp 429 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  =  ( A  +  B
) )  ->  (
( A  +  B
)  ^c  C )  <_  ( ( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
91 0re 9613 . . . 4  |-  0  e.  RR
92 leloe 9688 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( 0  < 
( A  +  B
)  \/  0  =  ( A  +  B
) ) ) )
9391, 3, 92sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  +  B )  <->  ( 0  <  ( A  +  B )  \/  0  =  ( A  +  B ) ) ) )
946, 93mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( A  +  B )  \/  0  =  ( A  +  B )
) )
9580, 90, 94mpjaodan 786 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  <_  (
( A  ^c  C )  +  ( B  ^c  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   RR+crp 11245    ^c ccxp 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069  df-cxp 23070
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