MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Structured version   Unicode version

Theorem cxp2lim 23034
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than  1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 9591 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11616 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
43simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  n  e.  RR )
5 0red 9593 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
61a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
7 0lt1 10071 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  <  1 )
93simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  n )
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 9737 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  < 
n )
114, 10elrpd 11250 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  n  e.  RR+ )
1211ssriv 3508 . . . 4  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
13 resmpt 5321 . . . 4  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
15 0red 9593 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  e.  RR )
1612a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1 [,) +oo )  C_  RR+ )
17 rpre 11222 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR )
19 rpge0 11228 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  0  <_  n )
2019adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <_  n )
21 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
22 0red 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
247a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
25 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  <  B )
2622, 23, 21, 24, 25lttrd 9738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  B )
2721, 26elrpd 11250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
2827, 18rpcxpcld 22839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
n )  e.  RR+ )
29 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
30 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 )  e.  RR )
3129, 1, 30sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  1 )
34 max1 11382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
351, 29, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <_  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3615, 32, 31, 33, 35ltletrd 9737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3731, 36elrpd 11250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
3837rprecred 11263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4028, 39rpcxpcld 22839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
4131recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4318, 20, 40, 42divcxpd 22831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
4437adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
4544rpne0d 11257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  =/=  0 )
4642, 45recid2d 10312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  1 )
4746oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^c  n )  ^c  1 ) )
4828, 39, 42cxpmuld 22843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( ( B  ^c 
n )  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
4928rpcnd 11254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
n )  e.  CC )
5049cxp1d 22815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  1 )  =  ( B  ^c 
n ) )
5147, 48, 503eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  ( B  ^c  n ) )
5251oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )
5343, 52eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^c 
n ) ) )
5453mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) ) )
55 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e.  _V
5655a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^c 
n )  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e. 
_V )
5718recnd 9618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  CC )
5838recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6057, 59mulcomd 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )
6160oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( B  ^c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) ) )
6227, 18, 59cxpmuld 22843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
6327, 39, 57cxpmuld 22843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) )
6461, 62, 633eqtr3d 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) )
6564oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^c 
n )  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( n  /  (
( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) ) )
6665mpteq2dva 4533 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( n  /  (
( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) ) ) )
67 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
68 simp3 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
6915, 32, 67, 33, 68lttrd 9738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  B )
7067, 69elrpd 11250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR+ )
7170, 38rpcxpcld 22839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
7271rpred 11252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR )
73581cxpd 22816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  1 )
74 0le1 10072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  1 )
7670rpge0d 11256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  B )
7737rpreccld 11262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
7832, 75, 67, 76, 77cxplt2d 22835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( 1  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )
7968, 78mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
8073, 79eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  ( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
81 cxp2limlem 23033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  <  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8272, 80, 81syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8366, 82eqbrtrd 4467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
8456, 83, 37rlimcxp 23031 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  ~~> r  0 )
8554, 84eqbrtrrd 4469 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8616, 85rlimres2 13343 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
87 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
8831adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
8987, 88rpcxpcld 22839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
9089, 28rpdivcld 11269 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^c 
n ) )  e.  RR+ )
9190rpred 11252 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^c 
n ) )  e.  RR )
9211, 91sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR )
93 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
9487, 93rpcxpcld 22839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^c  A )  e.  RR+ )
9594, 28rpdivcld 11269 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR+ )
9611, 95sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR+ )
9796rpred 11252 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR )
9811, 94sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  A )  e.  RR+ )
9998rpred 11252 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  A )  e.  RR )
10011, 89sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  e.  RR+ )
101100rpred 11252 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  e.  RR )
10211, 28sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( B  ^c  n )  e.  RR+ )
1034adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  n  e.  RR )
1049adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  n
)
105 simpl1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  A  e.  RR )
10631adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
107 max2 11384 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
1081, 105, 107sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  A  <_  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )
109103, 104, 105, 106, 108cxplead 22830 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  A )  <_  (
n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
11099, 101, 102, 109lediv1dd 11306 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  <_  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )
111110adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,) +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  ( (
n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  <_  ( (
n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )
11296rpge0d 11256 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <_  (
( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
113112adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,) +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  0  <_  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
11415, 15, 86, 92, 97, 111, 113rlimsqz2 13432 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
11514, 114syl5eqbr 4480 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  ~~> r  0 )
11695rpcnd 11254 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  CC )
117 eqid 2467 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
118116, 117fmptd 6043 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) ) : RR+ --> CC )
119 rpssre 11226 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
120119a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  RR+  C_  RR )
121118, 120, 32rlimresb 13347 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0  <-> 
( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  ~~> r  0 ) )
122115, 121mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493   +oocpnf 9621    < clt 9624    <_ cle 9625    / cdiv 10202   RR+crp 11216   [,)cico 11527    ~~> r crli 13267    ^c ccxp 22671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator