MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Structured version   Unicode version

Theorem cxp2lim 22373
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than  1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 9388 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11388 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
43simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  n  e.  RR )
5 0red 9390 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
61a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
7 0lt1 9865 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  <  1 )
93simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  n )
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 9534 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  < 
n )
114, 10elrpd 11028 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  n  e.  RR+ )
1211ssriv 3363 . . . 4  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
13 resmpt 5159 . . . 4  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
15 0red 9390 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  e.  RR )
1612a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1 [,) +oo )  C_  RR+ )
17 rpre 11000 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR )
19 rpge0 11006 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  0  <_  n )
2019adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <_  n )
21 simpl2 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
22 0red 9390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
247a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
25 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  <  B )
2622, 23, 21, 24, 25lttrd 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  B )
2721, 26elrpd 11028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
2827, 18rpcxpcld 22178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
n )  e.  RR+ )
29 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
30 ifcl 3834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 )  e.  RR )
3129, 1, 30sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  1 )
34 max1 11160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
351, 29, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <_  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3615, 32, 31, 33, 35ltletrd 9534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3731, 36elrpd 11028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
3837rprecred 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4028, 39rpcxpcld 22178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
4131recnd 9415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4318, 20, 40, 42divcxpd 22170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
4437adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
4544rpne0d 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  =/=  0 )
4642, 45recid2d 10106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  1 )
4746oveq2d 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^c  n )  ^c  1 ) )
4828, 39, 42cxpmuld 22182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( ( B  ^c 
n )  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
4928rpcnd 11032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
n )  e.  CC )
5049cxp1d 22154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  1 )  =  ( B  ^c 
n ) )
5147, 48, 503eqtr3d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  ( B  ^c  n ) )
5251oveq2d 6110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )
5343, 52eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^c 
n ) ) )
5453mpteq2dva 4381 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) ) )
55 ovex 6119 . . . . . . . 8  |-  ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e.  _V
5655a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^c 
n )  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e. 
_V )
5718recnd 9415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  CC )
5838recnd 9415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6057, 59mulcomd 9410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )
6160oveq2d 6110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( B  ^c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) ) )
6227, 18, 59cxpmuld 22182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
6327, 39, 57cxpmuld 22182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) )
6461, 62, 633eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) )
6564oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^c 
n )  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( n  /  (
( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) ) )
6665mpteq2dva 4381 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( n  /  (
( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) ) ) )
67 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
68 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
6915, 32, 67, 33, 68lttrd 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  B )
7067, 69elrpd 11028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR+ )
7170, 38rpcxpcld 22178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
7271rpred 11030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR )
73581cxpd 22155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  1 )
74 0le1 9866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  1 )
7670rpge0d 11034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  B )
7737rpreccld 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
7832, 75, 67, 76, 77cxplt2d 22174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( 1  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )
7968, 78mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
8073, 79eqbrtrrd 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  ( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
81 cxp2limlem 22372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  <  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8272, 80, 81syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8366, 82eqbrtrd 4315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
8456, 83, 37rlimcxp 22370 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  ~~> r  0 )
8554, 84eqbrtrrd 4317 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8616, 85rlimres2 13042 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
87 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
8831adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
8987, 88rpcxpcld 22178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
9089, 28rpdivcld 11047 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^c 
n ) )  e.  RR+ )
9190rpred 11030 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^c 
n ) )  e.  RR )
9211, 91sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR )
93 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
9487, 93rpcxpcld 22178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^c  A )  e.  RR+ )
9594, 28rpdivcld 11047 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR+ )
9611, 95sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR+ )
9796rpred 11030 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR )
9811, 94sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  A )  e.  RR+ )
9998rpred 11030 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  A )  e.  RR )
10011, 89sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  e.  RR+ )
101100rpred 11030 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  e.  RR )
10211, 28sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( B  ^c  n )  e.  RR+ )
1034adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  n  e.  RR )
1049adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  n
)
105 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  A  e.  RR )
10631adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
107 max2 11162 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
1081, 105, 107sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  A  <_  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )
109103, 104, 105, 106, 108cxplead 22169 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  A )  <_  (
n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
11099, 101, 102, 109lediv1dd 11084 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  <_  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )
111110adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,) +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  ( (
n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  <_  ( (
n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )
11296rpge0d 11034 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <_  (
( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
113112adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,) +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  0  <_  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
11415, 15, 86, 92, 97, 111, 113rlimsqz2 13131 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
11514, 114syl5eqbr 4328 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  ~~> r  0 )
11695rpcnd 11032 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  CC )
117 eqid 2443 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
118116, 117fmptd 5870 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) ) : RR+ --> CC )
119 rpssre 11004 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
120119a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  RR+  C_  RR )
121118, 120, 32rlimresb 13046 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0  <-> 
( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  ~~> r  0 ) )
122115, 121mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2975    C_ wss 3331   ifcif 3794   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353    |` cres 4845  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    x. cmul 9290   +oocpnf 9418    < clt 9421    <_ cle 9422    / cdiv 9996   RR+crp 10994   [,)cico 11305    ~~> r crli 12966    ^c ccxp 22010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-cxp 22012
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator