MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Structured version   Unicode version

Theorem cxp2lim 23844
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than  1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 9593 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11681 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
43simplbi 461 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  n  e.  RR )
5 0red 9595 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
61a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
7 0lt1 10087 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  <  1 )
93simprbi 465 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  n )
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 9746 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  < 
n )
114, 10elrpd 11289 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  n  e.  RR+ )
1211ssriv 3411 . . . 4  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
13 resmpt 5116 . . . 4  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
15 0red 9595 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  e.  RR )
1612a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1 [,) +oo )  C_  RR+ )
17 rpre 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
1817adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR )
19 rpge0 11265 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  0  <_  n )
2019adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <_  n )
21 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
22 0red 9595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
247a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
25 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  <  B )
2622, 23, 21, 24, 25lttrd 9747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  B )
2721, 26elrpd 11289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
2827, 18rpcxpcld 23617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
n )  e.  RR+ )
29 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
30 ifcl 3896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 )  e.  RR )
3129, 1, 30sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  1 )
34 max1 11431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
351, 29, 34sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <_  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3615, 32, 31, 33, 35ltletrd 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3731, 36elrpd 11289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
3837rprecred 11303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
3938adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4028, 39rpcxpcld 23617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
4131recnd 9620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4241adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4318, 20, 40, 42divcxpd 23609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
4437adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
4544rpne0d 11297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  =/=  0 )
4642, 45recid2d 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  1 )
4746oveq2d 6265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^c  n )  ^c  1 ) )
4828, 39, 42cxpmuld 23621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( ( B  ^c 
n )  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
4928rpcnd 11294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
n )  e.  CC )
5049cxp1d 23593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  1 )  =  ( B  ^c 
n ) )
5147, 48, 503eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  ( B  ^c  n ) )
5251oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )
5343, 52eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^c 
n ) ) )
5453mpteq2dva 4453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) ) )
55 ovex 6277 . . . . . . . 8  |-  ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e.  _V
5655a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^c 
n )  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e. 
_V )
5718recnd 9620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  CC )
5838recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6057, 59mulcomd 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )
6160oveq2d 6265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( B  ^c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) ) )
6227, 18, 59cxpmuld 23621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
6327, 39, 57cxpmuld 23621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) )
6461, 62, 633eqtr3d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) )
6564oveq2d 6265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^c 
n )  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( n  /  (
( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) ) )
6665mpteq2dva 4453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( n  /  (
( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c 
n ) ) ) )
67 simp2 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
68 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
6915, 32, 67, 33, 68lttrd 9747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  B )
7067, 69elrpd 11289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR+ )
7170, 38rpcxpcld 23617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
7271rpred 11292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR )
73581cxpd 23594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  1 )
74 0le1 10088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  1 )
7670rpge0d 11296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  B )
7737rpreccld 11302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
7832, 75, 67, 76, 77cxplt2d 23613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( 1  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )
7968, 78mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
8073, 79eqbrtrrd 4389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  ( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
81 cxp2limlem 23843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  ^c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  <  ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8272, 80, 81syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8366, 82eqbrtrd 4387 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
8456, 83, 37rlimcxp 23841 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^c  n )  ^c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  ~~> r  0 )
8554, 84eqbrtrrd 4389 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8616, 85rlimres2 13568 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
87 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
8831adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
8987, 88rpcxpcld 23617 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
9089, 28rpdivcld 11309 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^c 
n ) )  e.  RR+ )
9190rpred 11292 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^c 
n ) )  e.  RR )
9211, 91sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR )
93 simpl1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
9487, 93rpcxpcld 23617 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^c  A )  e.  RR+ )
9594, 28rpdivcld 11309 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR+ )
9611, 95sylan2 476 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR+ )
9796rpred 11292 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  RR )
9811, 94sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  A )  e.  RR+ )
9998rpred 11292 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  A )  e.  RR )
10011, 89sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  e.  RR+ )
101100rpred 11292 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  e.  RR )
10211, 28sylan2 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( B  ^c  n )  e.  RR+ )
1034adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  n  e.  RR )
1049adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  n
)
105 simpl1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  A  e.  RR )
10631adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
107 max2 11433 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
1081, 105, 107sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  A  <_  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )
109103, 104, 105, 106, 108cxplead 23608 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( n  ^c  A )  <_  (
n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
11099, 101, 102, 109lediv1dd 11347 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  <_  ( ( n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )
111110adantrr 721 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,) +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  ( (
n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  <_  ( (
n  ^c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^c  n ) ) )
11296rpge0d 11296 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <_  (
( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
113112adantrr 721 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,) +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  0  <_  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
11415, 15, 86, 92, 97, 111, 113rlimsqz2 13657 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
11514, 114syl5eqbr 4400 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  ~~> r  0 )
11695rpcnd 11294 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) )  e.  CC )
117 eqid 2428 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )
118116, 117fmptd 6005 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) ) : RR+ --> CC )
119 rpssre 11263 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
120119a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  RR+  C_  RR )
121118, 120, 32rlimresb 13572 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0  <-> 
( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  ~~> r  0 ) )
122115, 121mpbird 235 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^c  A )  /  ( B  ^c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   ifcif 3854   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425    |` cres 4798  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495   +oocpnf 9623    < clt 9626    <_ cle 9627    / cdiv 10220   RR+crp 11253   [,)cico 11588    ~~> r crli 13492    ^c ccxp 23447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764  df-log 23448  df-cxp 23449
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator