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Theorem cvxpcon 24882
Description: A convex subset of the complex numbers is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpcon.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
cvxpcon.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  S )
cvxpcon.3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cvxpcon.4  |-  K  =  ( Jt  S )
Assertion
Ref Expression
cvxpcon  |-  ( ph  ->  K  e. PCon )
Distinct variable groups:    t, J    x, t, y, K    ph, t, x, y    t, S, x, y
Allowed substitution hints:    J( x, y)

Proof of Theorem cvxpcon
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpcon.4 . . 3  |-  K  =  ( Jt  S )
2 cvxpcon.3 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 18771 . . . 4  |-  J  e. 
Top
4 cvxpcon.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 cnex 9027 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
6 ssexg 4309 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
8 resttop 17178 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
93, 7, 8sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
101, 9syl5eqel 2488 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
112dfii3 18866 . . . . . . . 8  |-  II  =  ( Jt  ( 0 [,] 1 ) )
122cnfldtopon 18770 . . . . . . . . 9  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
14 unitssre 10998 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
15 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
1614, 15sstri 3317 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 0 [,] 1
)  C_  CC )
1813cnmptid 17646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  t )  e.  ( J  Cn  J ) )
194adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  S  C_  CC )
20 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
2119, 20sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  x  e.  CC )
2213, 13, 21cnmptc 17647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
232mulcn 18850 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  x.  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
2513, 18, 22, 24cnmpt12f 17651 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  ( t  x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
26 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
1  e.  CC )
2813, 13, 27cnmptc 17647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J ) )
292subcn 18849 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  -  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3113, 28, 18, 30cnmpt12f 17651 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  ( 1  -  t
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
32 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
3319, 32sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
y  e.  CC )
3413, 13, 33cnmptc 17647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
3513, 31, 34, 24cnmpt12f 17651 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
362addcn 18848 . . . . . . . . . 10  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3813, 25, 35, 37cnmpt12f 17651 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
3911, 13, 17, 38cnmpt1res 17661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
40 cvxpcon.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  S )
41403exp2 1171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  ->  ( y  e.  S  ->  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  S
) ) ) )
4241com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  ( x  e.  S  ->  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  S
) ) ) )
4342imp42 578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  x  e.  S )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  S )
44 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )
4543, 44fmptd 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> S )
46 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> S  ->  ran  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  C_  S )
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  ran  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  C_  S
)
48 cnrest2 17304 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  C_  S  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  e.  ( II  Cn  J
)  <->  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  e.  ( II  Cn  ( Jt  S ) ) ) )
4913, 47, 19, 48syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  e.  ( II  Cn  J
)  <->  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  e.  ( II  Cn  ( Jt  S ) ) ) )
5039, 49mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( II  Cn  ( Jt  S ) ) )
511oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( II 
Cn  K )  =  ( II  Cn  ( Jt  S ) )
5250, 51syl6eleqr 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( II  Cn  K ) )
53 0elunit 10971 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
54 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  (
t  x.  x )  =  ( 0  x.  x ) )
55 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  0 ) )
5626subid1i 9328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
5755, 56syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  1 )
5857oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( 1  x.  y ) )
5954, 58oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  0  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y
) ) )
60 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y ) )  e. 
_V
6159, 44, 60fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) `  0
)  =  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y ) ) )
6253, 61ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  0 )  =  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y
) )
6321mul02d 9220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 0  x.  x
)  =  0 )
6433mulid2d 9062 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 1  x.  y
)  =  y )
6563, 64oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y ) )  =  ( 0  +  y ) )
6633addid2d 9223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 0  +  y )  =  y )
6765, 66eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y ) )  =  y )
6862, 67syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
0 )  =  y )
69 1elunit 10972 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
70 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  (
t  x.  x )  =  ( 1  x.  x ) )
71 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  1 ) )
72 1m1e0 10024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
7371, 72syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  0 )
7473oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( 0  x.  y ) )
7570, 74oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  1  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y
) ) )
76 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y ) )  e. 
_V
7775, 44, 76fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) `  1
)  =  ( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y ) ) )
7869, 77ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  1 )  =  ( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y
) )
7921mulid2d 9062 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 1  x.  x
)  =  x )
8033mul02d 9220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 0  x.  y
)  =  0 )
8179, 80oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y ) )  =  ( x  +  0 ) )
8221addid1d 9222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( x  +  0 )  =  x )
8381, 82eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y ) )  =  x )
8478, 83syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
1 )  =  x )
85 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( f `  0
)  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  0 ) )
8685eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( ( f ` 
0 )  =  y  <-> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
0 )  =  y ) )
87 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  1 ) )
8887eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  =  x  <-> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
1 )  =  x ) )
8986, 88anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x )  <->  ( (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) `  0
)  =  y  /\  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
1 )  =  x ) ) )
9089rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  0 )  =  y  /\  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) `  1
)  =  x ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x ) )
9152, 68, 84, 90syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  y  /\  ( f ` 
1 )  =  x ) )
9291ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  A. x  e.  S  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  y  /\  ( f ` 
1 )  =  x ) )
93 resttopon 17179 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
9412, 4, 93sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
951, 94syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  S ) )
96 toponuni 16947 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. K )
9795, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  =  U. K
)
9897raleqdv 2870 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  S  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x )  <->  A. x  e.  U. K E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x ) ) )
9997, 98raleqbidv 2876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  A. x  e.  S  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x )  <->  A. y  e.  U. K A. x  e.  U. K E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x ) ) )
10092, 99mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U. K A. x  e.  U. K E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  y  /\  ( f ` 
1 )  =  x ) )
101 eqid 2404 . . 3  |-  U. K  =  U. K
102101ispcon 24863 . 2  |-  ( K  e. PCon 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. y  e.  U. K A. x  e.  U. K E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  y  /\  ( f ` 
1 )  =  x ) ) )
10310, 100, 102sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  K  e. PCon )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   [,]cicc 10875   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   IIcii 18858  PConcpcon 24859
This theorem is referenced by:  cvxscon  24883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-pcon 24861
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