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Theorem cvxcl 20776
Description: Closure of a 0-1 linear combination in a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxcl.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
cvxcl.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  D )
Assertion
Ref Expression
cvxcl  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  e.  D )
Distinct variable groups:    x, y, D    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    T( x, y)

Proof of Theorem cvxcl
StepHypRef Expression
1 cvxcl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  D  C_  RR )
3 simpr1 963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  D )
42, 3sseldd 3309 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  RR )
5 simpr2 964 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  D )
62, 5sseldd 3309 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  RR )
74, 6lttri4d 9170 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( X  <  Y  \/  X  =  Y  \/  Y  <  X ) )
8 cvxcl.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  D )
98ralrimivva 2758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y
)  C_  D )
109ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D
)
11 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x [,] y )  =  ( X [,] y ) )
1211sseq1d 3335 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x [,] y
)  C_  D  <->  ( X [,] y )  C_  D
) )
13 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( X [,] y )  =  ( X [,] Y
) )
1413sseq1d 3335 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X [,] y
)  C_  D  <->  ( X [,] Y )  C_  D
) )
1512, 14rspc2v 3018 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D  ->  ( X [,] Y
)  C_  D )
)
163, 5, 15syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D  ->  ( X [,] Y
)  C_  D )
)
1716adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  ( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y
)  C_  D  ->  ( X [,] Y ) 
C_  D ) )
1810, 17mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  ( X [,] Y )  C_  D )
19 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
20 unitssre 10998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
21 simpr3 965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2220, 21sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  RR )
2322recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  CC )
24 nncan 9286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
2519, 23, 24sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
2625oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
)  =  ( T  x.  X ) )
2726oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )
294adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  X  e.  RR )
306adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  Y  e.  RR )
31 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  X  <  Y )
32 simplr3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1
) )
33 iirev 18907 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  T )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
1  -  T )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
35 lincmb01cmp 10994 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <  Y )  /\  ( 1  -  T
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) )  e.  ( X [,] Y ) )
3629, 30, 31, 34, 35syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  ( X [,] Y ) )
3728, 36eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  ( X [,] Y ) )
3818, 37sseldd 3309 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  D )
39 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( X  =  Y  ->  ( T  x.  X )  =  ( T  x.  Y ) )
4039oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( X  =  Y  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )
41 pncan3 9269 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
4223, 19, 41sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
4342oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  Y
)  =  ( 1  x.  Y ) )
44 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
45 resubcl 9321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
4644, 22, 45sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  RR )
4746recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  CC )
486recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  CC )
4923, 47, 48adddird 9069 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  Y
)  =  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
5048mulid2d 9062 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  Y
)  =  Y )
5143, 49, 503eqtr3d 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  =  Y )
5240, 51sylan9eqr 2458 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  =  Y )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  Y )
535adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  =  Y )  ->  Y  e.  D )
5452, 53eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  =  Y )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  D )
559ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D
)
56 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
x [,] y )  =  ( Y [,] y ) )
5756sseq1d 3335 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x [,] y
)  C_  D  <->  ( Y [,] y )  C_  D
) )
58 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( Y [,] y )  =  ( Y [,] X
) )
5958sseq1d 3335 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
( Y [,] y
)  C_  D  <->  ( Y [,] X )  C_  D
) )
6057, 59rspc2v 3018 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  D  /\  X  e.  D )  ->  ( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D  ->  ( Y [,] X
)  C_  D )
)
615, 3, 60syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D  ->  ( Y [,] X
)  C_  D )
)
6261adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  ( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y
)  C_  D  ->  ( Y [,] X ) 
C_  D ) )
6355, 62mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  ( Y [,] X )  C_  D )
644recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  CC )
6523, 64mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  X
)  e.  CC )
6647, 48mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  e.  CC )
6765, 66addcomd 9224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  Y )  +  ( T  x.  X ) ) )
6867adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( T  x.  X
) ) )
696adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  Y  e.  RR )
704adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  X  e.  RR )
71 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  Y  <  X )
72 simplr3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1
) )
73 lincmb01cmp 10994 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  Y  <  X )  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( T  x.  X
) )  e.  ( Y [,] X ) )
7469, 70, 71, 72, 73syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  +  ( T  x.  X ) )  e.  ( Y [,] X ) )
7568, 74eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  ( Y [,] X ) )
7663, 75sseldd 3309 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  D )
7738, 54, 763jaodan 1250 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( X  <  Y  \/  X  =  Y  \/  Y  <  X ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  e.  D )
787, 77mpdan 650 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    - cmin 9247   [,]cicc 10875
This theorem is referenced by:  scvxcvx  20777  jensenlem2  20779  amgmlem  20781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-rp 10569  df-icc 10879
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