MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsmuleqdivd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cvsmuleqdivd 22154
Description: An equality involving ratios in a complex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cvsdiveqd.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
cvsdiveqd.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cvsdiveqd.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cvsdiveqd.w  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
cvsdiveqd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
cvsdiveqd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
cvsdiveqd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
cvsdiveqd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
cvsdiveqd.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
cvsmuleqdivd.1  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  =  ( B 
.x.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cvsmuleqdivd  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  Y ) )

Proof of Theorem cvsmuleqdivd
StepHypRef Expression
1 cvsmuleqdivd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  =  ( B 
.x.  Y ) )
21oveq2d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  .x.  ( A  .x.  X ) )  =  ( ( 1  /  A )  .x.  ( B  .x.  Y ) ) )
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
43cvsclm 22150 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
75, 6clmsscn 22122 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
84, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
9 cvsdiveqd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
108, 9sseldd 3435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
11 cvsdiveqd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1210, 11recid2d 10386 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  x.  A
)  =  1 )
1312oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  A )  x.  A )  .x.  X
)  =  ( 1 
.x.  X ) )
145clm1 22116 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  1  =  ( 1r `  F ) )
154, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 1r
`  F ) )
165clmring 22113 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  F  e.  Ring )
17 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
186, 17ringidcl 17813 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
194, 16, 183syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
2015, 19eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  K )
215, 6cvsdivcl 22153 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  (
1  e.  K  /\  A  e.  K  /\  A  =/=  0 ) )  ->  ( 1  /  A )  e.  K
)
223, 20, 9, 11, 21syl13anc 1271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  K )
23 cvsdiveqd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
24 cvsdiveqd.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
25 cvsdiveqd.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2624, 5, 25, 6clmvsass 22130 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( 1  /  A
)  e.  K  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( 1  /  A
)  x.  A ) 
.x.  X )  =  ( ( 1  /  A )  .x.  ( A  .x.  X ) ) )
274, 22, 9, 23, 26syl13anc 1271 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  A )  x.  A )  .x.  X
)  =  ( ( 1  /  A ) 
.x.  ( A  .x.  X ) ) )
2824, 25clmvs1 22132 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
294, 23, 28syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  .x.  X
)  =  X )
3013, 27, 293eqtr3d 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  .x.  ( A  .x.  X ) )  =  X )
31 cvsdiveqd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
328, 31sseldd 3435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3332, 10, 11divrec2d 10394 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  =  ( ( 1  /  A )  x.  B ) )
3433oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( 1  /  A
)  x.  B ) 
.x.  Y ) )
35 cvsdiveqd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3624, 5, 25, 6clmvsass 22130 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( 1  /  A
)  e.  K  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1  /  A
)  x.  B ) 
.x.  Y )  =  ( ( 1  /  A )  .x.  ( B  .x.  Y ) ) )
374, 22, 31, 35, 36syl13anc 1271 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  A )  x.  B )  .x.  Y
)  =  ( ( 1  /  A ) 
.x.  ( B  .x.  Y ) ) )
3834, 37eqtr2d 2488 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  .x.  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( B  /  A )  .x.  Y ) )
392, 30, 383eqtr3d 2495 1  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624    C_ wss 3406   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549    / cdiv 10276   Basecbs 15133  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   1rcur 17747   Ringcrg 17792  CModcclm 22105  CVecccvs 22147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-subg 16826  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-drng 17989  df-subrg 18018  df-lmod 18105  df-lvec 18338  df-cnfld 18983  df-clm 22106  df-cvs 22148
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  24927
  Copyright terms: Public domain W3C validator