MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsmuleqdivd Structured version   Unicode version

Theorem cvsmuleqdivd 21737
Description: An equality involving ratios in a complex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cvsdiveqd.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
cvsdiveqd.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cvsdiveqd.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cvsdiveqd.w  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
cvsdiveqd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
cvsdiveqd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
cvsdiveqd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
cvsdiveqd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
cvsdiveqd.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
cvsmuleqdivd.1  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  =  ( B 
.x.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cvsmuleqdivd  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  Y ) )

Proof of Theorem cvsmuleqdivd
StepHypRef Expression
1 cvsmuleqdivd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  =  ( B 
.x.  Y ) )
21oveq2d 6312 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  .x.  ( A  .x.  X ) )  =  ( ( 1  /  A )  .x.  ( B  .x.  Y ) ) )
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
43cvsclm 21733 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
75, 6clmsscn 21705 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
9 cvsdiveqd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
108, 9sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
11 cvsdiveqd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1210, 11recid2d 10337 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  x.  A
)  =  1 )
1312oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  A )  x.  A )  .x.  X
)  =  ( 1 
.x.  X ) )
145clm1 21699 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  1  =  ( 1r `  F ) )
154, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 1r
`  F ) )
165clmring 21696 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  F  e.  Ring )
17 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
186, 17ringidcl 17346 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
194, 16, 183syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
2015, 19eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  K )
215, 6cvsdivcl 21736 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  (
1  e.  K  /\  A  e.  K  /\  A  =/=  0 ) )  ->  ( 1  /  A )  e.  K
)
223, 20, 9, 11, 21syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  K )
23 cvsdiveqd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
24 cvsdiveqd.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
25 cvsdiveqd.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2624, 5, 25, 6clmvsass 21713 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( 1  /  A
)  e.  K  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( 1  /  A
)  x.  A ) 
.x.  X )  =  ( ( 1  /  A )  .x.  ( A  .x.  X ) ) )
274, 22, 9, 23, 26syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  A )  x.  A )  .x.  X
)  =  ( ( 1  /  A ) 
.x.  ( A  .x.  X ) ) )
2824, 25clmvs1 21715 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
294, 23, 28syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  .x.  X
)  =  X )
3013, 27, 293eqtr3d 2506 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  .x.  ( A  .x.  X ) )  =  X )
31 cvsdiveqd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
328, 31sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3332, 10, 11divrec2d 10345 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  =  ( ( 1  /  A )  x.  B ) )
3433oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( 1  /  A
)  x.  B ) 
.x.  Y ) )
35 cvsdiveqd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3624, 5, 25, 6clmvsass 21713 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( 1  /  A
)  e.  K  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1  /  A
)  x.  B ) 
.x.  Y )  =  ( ( 1  /  A )  .x.  ( B  .x.  Y ) ) )
374, 22, 31, 35, 36syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  A )  x.  B )  .x.  Y
)  =  ( ( 1  /  A ) 
.x.  ( B  .x.  Y ) ) )
3834, 37eqtr2d 2499 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  .x.  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( B  /  A )  .x.  Y ) )
392, 30, 383eqtr3d 2506 1  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    / cdiv 10227   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   1rcur 17280   Ringcrg 17325  CModcclm 21688  CVecccvs 21730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lvec 17876  df-cnfld 18548  df-clm 21689  df-cvs 21731
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  24315
  Copyright terms: Public domain W3C validator