MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsmuleqdivd Structured version   Unicode version

Theorem cvsmuleqdivd 20695
Description: An equality involving ratios in a complex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cvsdiveqd.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
cvsdiveqd.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cvsdiveqd.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cvsdiveqd.w  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
cvsdiveqd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
cvsdiveqd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
cvsdiveqd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
cvsdiveqd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
cvsdiveqd.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
cvsmuleqdivd.1  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  =  ( B 
.x.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cvsmuleqdivd  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  Y ) )

Proof of Theorem cvsmuleqdivd
StepHypRef Expression
1 cvsmuleqdivd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  =  ( B 
.x.  Y ) )
21oveq2d 6119 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  .x.  ( A  .x.  X ) )  =  ( ( 1  /  A )  .x.  ( B  .x.  Y ) ) )
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
43cvsclm 20691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
75, 6clmsscn 20663 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
9 cvsdiveqd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
108, 9sseldd 3369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
11 cvsdiveqd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
12 recid2 10021 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  A )  x.  A
)  =  1 )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  x.  A
)  =  1 )
1413oveq1d 6118 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  A )  x.  A )  .x.  X
)  =  ( 1 
.x.  X ) )
155clm1 20657 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  1  =  ( 1r `  F ) )
164, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 1r
`  F ) )
175clmrng 20654 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  F  e.  Ring )
18 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
196, 18rngidcl 16677 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
204, 17, 193syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
2116, 20eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  K )
225, 6cvsdivcl 20694 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  (
1  e.  K  /\  A  e.  K  /\  A  =/=  0 ) )  ->  ( 1  /  A )  e.  K
)
233, 21, 9, 11, 22syl13anc 1220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  K )
24 cvsdiveqd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
25 cvsdiveqd.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
26 cvsdiveqd.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2725, 5, 26, 6clmvsass 20671 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( 1  /  A
)  e.  K  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( 1  /  A
)  x.  A ) 
.x.  X )  =  ( ( 1  /  A )  .x.  ( A  .x.  X ) ) )
284, 23, 9, 24, 27syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  A )  x.  A )  .x.  X
)  =  ( ( 1  /  A ) 
.x.  ( A  .x.  X ) ) )
2925, 26clmvs1 20673 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
304, 24, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  .x.  X
)  =  X )
3114, 28, 303eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  .x.  ( A  .x.  X ) )  =  X )
32 cvsdiveqd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
338, 32sseldd 3369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
34 divrec2 10023 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  ( B  /  A )  =  ( ( 1  /  A )  x.  B
) )
3533, 10, 11, 34syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  =  ( ( 1  /  A )  x.  B ) )
3635oveq1d 6118 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( 1  /  A
)  x.  B ) 
.x.  Y ) )
37 cvsdiveqd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3825, 5, 26, 6clmvsass 20671 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( 1  /  A
)  e.  K  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1  /  A
)  x.  B ) 
.x.  Y )  =  ( ( 1  /  A )  .x.  ( B  .x.  Y ) ) )
394, 23, 32, 37, 38syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  A )  x.  B )  .x.  Y
)  =  ( ( 1  /  A ) 
.x.  ( B  .x.  Y ) ) )
4036, 39eqtr2d 2476 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  .x.  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( B  /  A )  .x.  Y ) )
412, 31, 403eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618    C_ wss 3340   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294   1c1 9295    x. cmul 9299    / cdiv 10005   Basecbs 14186  Scalarcsca 14253   .scvsca 14254   1rcur 16615   Ringcrg 16657  CModcclm 20646  CVecccvs 20688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-subg 15690  df-cmn 16291  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-dvr 16787  df-drng 16846  df-subrg 16875  df-lmod 16962  df-lvec 17196  df-cnfld 17831  df-clm 20647  df-cvs 20689
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  23143
  Copyright terms: Public domain W3C validator