MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdiveqd Structured version   Unicode version

Theorem cvsdiveqd 22085
Description: An equality involving ratios in a complex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cvsdiveqd.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
cvsdiveqd.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cvsdiveqd.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cvsdiveqd.w  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
cvsdiveqd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
cvsdiveqd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
cvsdiveqd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
cvsdiveqd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
cvsdiveqd.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
cvsdiveqd.2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
cvsdiveqd.3  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( A  /  B ) 
.x.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cvsdiveqd  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  X
)  =  Y )

Proof of Theorem cvsdiveqd
StepHypRef Expression
1 cvsdiveqd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( A  /  B ) 
.x.  Y ) )
21oveq2d 6265 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  X
)  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  ( ( A  /  B )  .x.  Y ) ) )
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
43cvsclm 22080 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
75, 6clmsscn 22052 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
84, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
9 cvsdiveqd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
108, 9sseldd 3408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 cvsdiveqd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
128, 11sseldd 3408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
13 cvsdiveqd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
14 cvsdiveqd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1510, 12, 13, 14divcan6d 10353 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  x.  ( A  /  B ) )  =  1 )
1615oveq1d 6264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  /  A )  x.  ( A  /  B
) )  .x.  Y
)  =  ( 1 
.x.  Y ) )
175, 6cvsdivcl 22083 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( B  e.  K  /\  A  e.  K  /\  A  =/=  0 ) )  ->  ( B  /  A )  e.  K
)
183, 9, 11, 14, 17syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  e.  K )
195, 6cvsdivcl 22083 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  K
)
203, 11, 9, 13, 19syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  K )
21 cvsdiveqd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
22 cvsdiveqd.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
23 cvsdiveqd.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2422, 5, 23, 6clmvsass 22060 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( B  /  A
)  e.  K  /\  ( A  /  B
)  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( B  /  A
)  x.  ( A  /  B ) ) 
.x.  Y )  =  ( ( B  /  A )  .x.  (
( A  /  B
)  .x.  Y )
) )
254, 18, 20, 21, 24syl13anc 1266 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  /  A )  x.  ( A  /  B
) )  .x.  Y
)  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  ( ( A  /  B )  .x.  Y ) ) )
2622, 23clmvs1 22062 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
1  .x.  Y )  =  Y )
274, 21, 26syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  .x.  Y
)  =  Y )
2816, 25, 273eqtr3d 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  (
( A  /  B
)  .x.  Y )
)  =  Y )
292, 28eqtrd 2462 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  X
)  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599    C_ wss 3379   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495    / cdiv 10220   Basecbs 15064  Scalarcsca 15136   .scvsca 15137  CModcclm 22035  CVecccvs 22077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-tpos 6928  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-0g 15283  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-subg 16757  df-cmn 17375  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-cring 17726  df-oppr 17794  df-dvdsr 17812  df-unit 17813  df-invr 17843  df-dvr 17854  df-drng 17920  df-subrg 17949  df-lmod 18036  df-lvec 18269  df-cnfld 18914  df-clm 22036  df-cvs 22078
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  24857
  Copyright terms: Public domain W3C validator