MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdiveqd Structured version   Unicode version

Theorem cvsdiveqd 21363
Description: An equality involving ratios in a complex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cvsdiveqd.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
cvsdiveqd.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cvsdiveqd.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cvsdiveqd.w  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
cvsdiveqd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
cvsdiveqd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
cvsdiveqd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
cvsdiveqd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
cvsdiveqd.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
cvsdiveqd.2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
cvsdiveqd.3  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( A  /  B ) 
.x.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cvsdiveqd  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  X
)  =  Y )

Proof of Theorem cvsdiveqd
StepHypRef Expression
1 cvsdiveqd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( A  /  B ) 
.x.  Y ) )
21oveq2d 6299 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  X
)  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  ( ( A  /  B )  .x.  Y ) ) )
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. CVec )
43cvsclm 21358 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
75, 6clmsscn 21330 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
9 cvsdiveqd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
108, 9sseldd 3505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 cvsdiveqd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
128, 11sseldd 3505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
13 cvsdiveqd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
14 cvsdiveqd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1510, 12, 13, 14divcan6d 10338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  x.  ( A  /  B ) )  =  1 )
1615oveq1d 6298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  /  A )  x.  ( A  /  B
) )  .x.  Y
)  =  ( 1 
.x.  Y ) )
175, 6cvsdivcl 21361 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( B  e.  K  /\  A  e.  K  /\  A  =/=  0 ) )  ->  ( B  /  A )  e.  K
)
183, 9, 11, 14, 17syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  e.  K )
195, 6cvsdivcl 21361 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  K
)
203, 11, 9, 13, 19syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  K )
21 cvsdiveqd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
22 cvsdiveqd.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
23 cvsdiveqd.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2422, 5, 23, 6clmvsass 21338 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( B  /  A
)  e.  K  /\  ( A  /  B
)  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( B  /  A
)  x.  ( A  /  B ) ) 
.x.  Y )  =  ( ( B  /  A )  .x.  (
( A  /  B
)  .x.  Y )
) )
254, 18, 20, 21, 24syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  /  A )  x.  ( A  /  B
) )  .x.  Y
)  =  ( ( B  /  A ) 
.x.  ( ( A  /  B )  .x.  Y ) ) )
2622, 23clmvs1 21340 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
1  .x.  Y )  =  Y )
274, 21, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  .x.  Y
)  =  Y )
2816, 25, 273eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  (
( A  /  B
)  .x.  Y )
)  =  Y )
292, 28eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  .x.  X
)  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491   1c1 9492    x. cmul 9496    / cdiv 10205   Basecbs 14489  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558  CModcclm 21313  CVecccvs 21355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-subg 16000  df-cmn 16603  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-dvr 17128  df-drng 17193  df-subrg 17222  df-lmod 17309  df-lvec 17544  df-cnfld 18208  df-clm 21314  df-cvs 21356
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  23880
  Copyright terms: Public domain W3C validator