MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdiv Structured version   Unicode version

Theorem cvsdiv 21337
Description: Division of the scalar ring of a complex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiv.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cvsdiv.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cvsdiv  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  =  ( A (/r `  F ) B ) )

Proof of Theorem cvsdiv
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  W  e. CVec )
21cvsclm 21335 . . . 4  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  W  e. CMod )
3 cvsdiv.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 cvsdiv.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
53, 4clmsubrg 21294 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
7 simpr1 997 . . 3  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  A  e.  K
)
8 simpr2 998 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  e.  K
)
9 simpr3 999 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  =/=  0
)
10 eldifsn 4145 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( K  \  { 0 } )  <-> 
( B  e.  K  /\  B  =/=  0
) )
118, 9, 10sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  e.  ( K  \  { 0 } ) )
123, 4cvsunit 21336 . . . . . 6  |-  ( W  e. CVec  ->  ( K  \  { 0 } )  =  (Unit `  F
) )
131, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( K  \  { 0 } )  =  (Unit `  F
) )
143, 4clmsca 21293 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  F  =  (flds  K ) )
152, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  F  =  (flds  K ) )
1615fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  (Unit `  F
)  =  (Unit `  (flds  K
) ) )
1713, 16eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( K  \  { 0 } )  =  (Unit `  (flds  K )
) )
1811, 17eleqtrd 2550 . . 3  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  e.  (Unit `  (flds  K ) ) )
19 eqid 2460 . . . 4  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
20 cnflddiv 18212 . . . 4  |-  /  =  (/r
` fld
)
21 eqid 2460 . . . 4  |-  (Unit `  (flds  K
) )  =  (Unit `  (flds  K ) )
22 eqid 2460 . . . 4  |-  (/r `  (flds  K )
)  =  (/r `  (flds  K )
)
2319, 20, 21, 22subrgdv 17222 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  A  e.  K  /\  B  e.  (Unit `  (flds  K ) ) )  ->  ( A  /  B )  =  ( A (/r `  (flds  K ) ) B ) )
246, 7, 18, 23syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  =  ( A (/r `  (flds  K ) ) B ) )
2515fveq2d 5861 . . 3  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  (/r `  F )  =  (/r `  (flds  K ) ) )
2625oveqd 6292 . 2  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A (/r `  F ) B )  =  ( A (/r `  (flds  K ) ) B ) )
2724, 26eqtr4d 2504 1  |-  ( ( W  e. CVec  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  =  ( A (/r `  F ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    \ cdif 3466   {csn 4020   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481    / cdiv 10195   Basecbs 14479   ↾s cress 14480  Scalarcsca 14547  Unitcui 17065  /rcdvr 17108  SubRingcsubrg 17201  ℂfldccnfld 18184  CModcclm 21290  CVecccvs 21332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-subg 15986  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-subrg 17203  df-lvec 17525  df-cnfld 18185  df-clm 21291  df-cvs 21333
This theorem is referenced by:  cvsdivcl  21338
  Copyright terms: Public domain W3C validator