Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval5 Structured version   Unicode version

Theorem cvrval5 32733
Description: Binary relation expressing  X covers  X  ./\  Y. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrval5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrval5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrval5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrval5.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvrval5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    K, p    .<_ , p    ./\ , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hint:    .\/ ( p)

Proof of Theorem cvrval5
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 32682 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3 cvrval5.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cvrval5.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
53, 4latmcl 16250 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
62, 5syl3an1 1297 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
7 simp2 1006 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 cvrval5.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cvrval5.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cvrval5.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
11 cvrval5.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
123, 8, 9, 10, 11cvrval3 32731 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X ) ) )
131, 6, 7, 12syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X ) ) )
1423ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
1514ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  K  e.  Lat )
166ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
173, 11atbase 32608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
1817ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  e.  B )
193, 8, 9latlej2 16259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  p  .<_  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )
2015, 16, 18, 19syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  .<_  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )
21 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )
2220, 21breqtrd 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  .<_  X )
2322biantrurd 510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
p  .<_  Y  <->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
24 simpll2 1045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  X  e.  B )
25 simpll3 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  Y  e.  B )
263, 8, 4latlem12 16276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
2715, 18, 24, 25, 26syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
2823, 27bitr2d 257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
p  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  p  .<_  Y ) )
2928notbid 295 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  <->  -.  p  .<_  Y ) )
3029ex 435 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X  ->  ( -.  p  .<_  ( X  ./\ 
Y )  <->  -.  p  .<_  Y ) ) )
3130pm5.32rd 644 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X ) ) )
3214adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
336adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
3417adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
353, 9latjcom 16257 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  ( p  .\/  ( X 
./\  Y ) ) )
3736eqeq1d 2422 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X  <->  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X ) )
3837anbi2d 708 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  Y  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
3931, 38bitrd 256 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
4039rexbidva 2934 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X ) ) )
4113, 40bitrd 256 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   E.wrex 2774   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15081   lecple 15157   joincjn 16141   meetcmee 16142   Latclat 16243    <o ccvr 32581   Atomscatm 32582   HLchlt 32669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 16125  df-poset 16143  df-plt 16156  df-lub 16172  df-glb 16173  df-join 16174  df-meet 16175  df-p0 16237  df-lat 16244  df-clat 16306  df-oposet 32495  df-ol 32497  df-oml 32498  df-covers 32585  df-ats 32586  df-atl 32617  df-cvlat 32641  df-hlat 32670
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  33342
  Copyright terms: Public domain W3C validator