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Theorem cvrval5 34428
Description: Binary relation expressing  X covers  X  ./\  Y. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrval5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrval5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrval5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrval5.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvrval5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    K, p    .<_ , p    ./\ , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hint:    .\/ ( p)

Proof of Theorem cvrval5
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 34377 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3 cvrval5.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cvrval5.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
53, 4latmcl 15542 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
62, 5syl3an1 1261 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
7 simp2 997 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 cvrval5.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cvrval5.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cvrval5.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
11 cvrval5.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
123, 8, 9, 10, 11cvrval3 34426 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X ) ) )
131, 6, 7, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X ) ) )
1423ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  K  e.  Lat )
166ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
173, 11atbase 34303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  e.  B )
193, 8, 9latlej2 15551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  p  .<_  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )
2015, 16, 18, 19syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  .<_  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )
2220, 21breqtrd 4471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  .<_  X )
2322biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
p  .<_  Y  <->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
24 simpll2 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  X  e.  B )
25 simpll3 1037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  Y  e.  B )
263, 8, 4latlem12 15568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
2715, 18, 24, 25, 26syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
2823, 27bitr2d 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
p  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  p  .<_  Y ) )
2928notbid 294 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  <->  -.  p  .<_  Y ) )
3029ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X  ->  ( -.  p  .<_  ( X  ./\ 
Y )  <->  -.  p  .<_  Y ) ) )
3130pm5.32rd 640 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X ) ) )
3214adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
336adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
3417adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
353, 9latjcom 15549 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  ( p  .\/  ( X 
./\  Y ) ) )
3736eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X  <->  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X ) )
3837anbi2d 703 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  Y  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
3931, 38bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
4039rexbidva 2970 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X ) ) )
4113, 40bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   lecple 14565   joincjn 15434   meetcmee 15435   Latclat 15535    <o ccvr 34276   Atomscatm 34277   HLchlt 34364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-poset 15436  df-plt 15448  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-p0 15529  df-lat 15536  df-clat 15598  df-oposet 34190  df-ol 34192  df-oml 34193  df-covers 34280  df-ats 34281  df-atl 34312  df-cvlat 34336  df-hlat 34365
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  35037
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