Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval3 Structured version   Unicode version

Theorem cvrval3 35534
Description: Binary relation expressing  Y covers  X. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrval3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrval3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrval3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvrval3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hint:    .\/ ( p)

Proof of Theorem cvrval3
StepHypRef Expression
1 cvrval3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
3 cvrval3.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrlt 35392 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
5 cvrval3.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cvrval3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 cvrval3.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 5, 2, 6, 3, 7hlrelat3 35533 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
94, 8syldan 468 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
10 simp3l 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
11 simp1l1 1087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
12 simp1l2 1088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B )
13 simp2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  p  e.  A )
141, 5, 6, 3, 7cvr1 35531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  ->  ( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
1511, 12, 13, 14syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
1610, 15mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
17 hllat 35485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1811, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
191, 7atbase 35411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
20193ad2ant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  p  e.  B )
211, 6latjcl 15880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( X  .\/  p
)  e.  B )
2218, 12, 20, 21syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( X  .\/  p
)  e.  B )
231, 2, 3cvrlt 35392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  p )  e.  B )  /\  X C ( X  .\/  p ) )  ->  X ( lt `  K ) ( X 
.\/  p ) )
2411, 12, 22, 10, 23syl31anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X ( lt `  K ) ( X 
.\/  p ) )
25 simp3r 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( X  .\/  p
)  .<_  Y )
26 hlpos 35487 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
2711, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
28 simp1l3 1089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B )
29 simp1r 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
301, 5, 2, 3cvrnbtwn2 35397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  p )  e.  B )  /\  X C Y )  -> 
( ( X ( lt `  K ) ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  <-> 
( X  .\/  p
)  =  Y ) )
3127, 12, 28, 22, 29, 30syl131anc 1239 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( ( X ( lt `  K ) ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  <-> 
( X  .\/  p
)  =  Y ) )
3224, 25, 31mpbi2and 919 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( X  .\/  p
)  =  Y )
3316, 32jca 530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )
34333exp 1193 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  ->  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) ) )
3534reximdvai 2926 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
369, 35mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )
3736ex 432 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
38 simp3l 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
39 simp11 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  K  e.  HL )
40 simp12 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  X  e.  B )
41 simp2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  p  e.  A )
4239, 40, 41, 14syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  ( -.  p  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  p
) ) )
4338, 42mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
44 simp3r 1023 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  Y )
4543, 44breqtrd 4463 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  X C Y )
4645rexlimdv3a 2948 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X 
.\/  p )  =  Y )  ->  X C Y ) )
4737, 46impbid 191 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   Posetcpo 15768   ltcplt 15769   joincjn 15772   Latclat 15874    <o ccvr 35384   Atomscatm 35385   HLchlt 35472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-lat 15875  df-clat 15937  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473
This theorem is referenced by:  cvrval4N  35535  cvrval5  35536  islln3  35631  llnexatN  35642  islpln3  35654  lplnexatN  35684  islvol3  35697  isline4N  35898  lhpexnle  36127
  Copyright terms: Public domain W3C validator