Theorem cvrntr 17063

Description: The covers relation is not transitive. (Th. cvntr 11864 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrntr.b	|- B = (base` K)
cvrntr.c	|- C = ( <oNEW ` K)

Assertion

Ref	Expression
cvrntr	|- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((XCY /\ YCZ) -> -. XCZ))

Proof of Theorem cvrntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 882	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> X e. B)
2		simpr3 884	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> Z e. B)
3		simpr2 883	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> Y e. B)
4	1, 2, 3	3jca 1050	. . . 4 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (X e. B /\ Z e. B /\ Y e. B))
5		cvrntr.b	. . . . . 6 |- B = (base` K)
6		eqid 1884	. . . . . 6 |- (lt` K) = (lt` K)
7		cvrntr.c	. . . . . 6 |- C = ( <oNEW ` K)
8	5, 6, 7	cvrnbtwn 16990	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Z e. B /\ Y e. B) /\ XCZ) -> -. (X(lt` K)Y /\ Y(lt` K)Z))
9	8	3expia 1069	. . . 4 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Z e. B /\ Y e. B)) -> (XCZ -> -. (X(lt` K)Y /\ Y(lt` K)Z)))
10	4, 9	syldan 516	. . 3 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (XCZ -> -. (X(lt` K)Y /\ Y(lt` K)Z)))
11	10	con2d 107	. 2 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((X(lt` K)Y /\ Y(lt` K)Z) -> -. XCZ))
12	5, 6, 7	cvrlt 16989	. . . 4 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) /\ XCY) -> X(lt` K)Y)
13	12	ex 402	. . 3 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY -> X(lt` K)Y))
14	13	3adant3r3 1079	. 2 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (XCY -> X(lt` K)Y))
15	5, 6, 7	cvrlt 16989	. . . 4 |- (((K e. HL /\ Y e. B /\ Z e. B) /\ YCZ) -> Y(lt` K)Z)
16	15	ex 402	. . 3 |- ((K e. HL /\ Y e. B /\ Z e. B) -> (YCZ -> Y(lt` K)Z))
17	16	3adant3r1 1077	. 2 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (YCZ -> Y(lt` K)Z))
18	11, 14, 17	syl2and 508	1 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((XCY /\ YCZ) -> -. XCZ))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  ltcplt 16761   <o_NEW ccvr 16980  HLchlt 16983

This theorem is referenced by:  atcvr0eq 17064

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-covers 16984

Copyright terms: Public domain