Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrnbtwn2 Structured version   Unicode version

Theorem cvrnbtwn2 32579
Description: The covers relation implies no in-betweenness. (cvnbtwn2 27801 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrletr.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrletr.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrletr.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrnbtwn2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( ( X 
.<  Z  /\  Z  .<_  Y )  <->  Z  =  Y
) )

Proof of Theorem cvrnbtwn2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrletr.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
3 cvrletr.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrnbtwn 32575 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) )
543expia 1207 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X C Y  ->  -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) ) )
6 iman 425 . . . . 5  |-  ( ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y )  <->  -.  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y ) )
7 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  K  e.  Poset
)
8 simpr3 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Z  e.  B )
9 simpr2 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
10 cvrletr.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
1110, 2pltval 16150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  .<  Y  <->  ( Z  .<_  Y  /\  Z  =/= 
Y ) ) )
127, 8, 9, 11syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Z  .<  Y  <->  ( Z  .<_  Y  /\  Z  =/=  Y
) ) )
13 df-ne 2618 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =/=  Y  <->  -.  Z  =  Y )
1413anbi2i 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  .<_  Y  /\  Z  =/=  Y )  <->  ( Z  .<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) )
1512, 14syl6bb 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Z  .<  Y  <->  ( Z  .<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) ) )
1615anbi2d 708 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y )  <->  ( X  .<  Z  /\  ( Z 
.<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) ) ) )
17 anass 653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y
)  <->  ( X  .<  Z  /\  ( Z  .<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) ) )
1816, 17syl6rbbr 267 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( (
( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y
)  <->  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) ) )
1918notbid 295 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( -.  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y )  <->  -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) ) )
206, 19syl5rbb 261 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y )  <->  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y ) ) )
215, 20sylibd 217 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X C Y  ->  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y )
) )
22213impia 1202 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( ( X 
.<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y ) )
231, 2, 3cvrlt 32574 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X  .<  Y )
2423ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  X  .<  Y ) )
25243adant3r3 1216 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X C Y  ->  X  .<  Y ) )
26253impia 1202 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X  .<  Y )
27 breq2 4421 . . . 4  |-  ( Z  =  Y  ->  ( X  .<  Z  <->  X  .<  Y ) )
2826, 27syl5ibrcom 225 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Z  =  Y  ->  X  .<  Z ) )
291, 10posref 16140 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  Y )
30293ad2antr2 1171 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Y  .<_  Y )
31 breq1 4420 . . . . 5  |-  ( Z  =  Y  ->  ( Z  .<_  Y  <->  Y  .<_  Y ) )
3230, 31syl5ibrcom 225 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Z  =  Y  ->  Z  .<_  Y ) )
33323adant3 1025 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Z  =  Y  ->  Z  .<_  Y ) )
3428, 33jcad 535 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Z  =  Y  ->  ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y ) ) )
3522, 34impbid 193 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( ( X 
.<  Z  /\  Z  .<_  Y )  <->  Z  =  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   Basecbs 15073   lecple 15149   Posetcpo 16129   ltcplt 16130    <o ccvr 32566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fv 5600  df-preset 16117  df-poset 16135  df-plt 16148  df-covers 32570
This theorem is referenced by:  cvrval3  32716  cvrexchlem  32722
  Copyright terms: Public domain W3C validator