Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrnbtwn2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cvrnbtwn2 32912
Description: The covers relation implies no in-betweenness. (cvnbtwn2 28021 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrletr.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrletr.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrletr.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrnbtwn2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( ( X 
.<  Z  /\  Z  .<_  Y )  <->  Z  =  Y
) )

Proof of Theorem cvrnbtwn2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrletr.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
3 cvrletr.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrnbtwn 32908 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) )
543expia 1233 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X C Y  ->  -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) ) )
6 iman 431 . . . . 5  |-  ( ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y )  <->  -.  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y ) )
7 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  K  e.  Poset
)
8 simpr3 1038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Z  e.  B )
9 simpr2 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
10 cvrletr.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
1110, 2pltval 16284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  .<  Y  <->  ( Z  .<_  Y  /\  Z  =/= 
Y ) ) )
127, 8, 9, 11syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Z  .<  Y  <->  ( Z  .<_  Y  /\  Z  =/=  Y
) ) )
13 df-ne 2643 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =/=  Y  <->  -.  Z  =  Y )
1413anbi2i 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  .<_  Y  /\  Z  =/=  Y )  <->  ( Z  .<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) )
1512, 14syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Z  .<  Y  <->  ( Z  .<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) ) )
1615anbi2d 718 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y )  <->  ( X  .<  Z  /\  ( Z 
.<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) ) ) )
17 anass 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y
)  <->  ( X  .<  Z  /\  ( Z  .<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) ) )
1816, 17syl6rbbr 272 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( (
( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y
)  <->  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) ) )
1918notbid 301 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( -.  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y )  <->  -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) ) )
206, 19syl5rbb 266 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y )  <->  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y ) ) )
215, 20sylibd 222 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X C Y  ->  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y )
) )
22213impia 1228 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( ( X 
.<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y ) )
231, 2, 3cvrlt 32907 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X  .<  Y )
2423ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  X  .<  Y ) )
25243adant3r3 1242 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X C Y  ->  X  .<  Y ) )
26253impia 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X  .<  Y )
27 breq2 4399 . . . 4  |-  ( Z  =  Y  ->  ( X  .<  Z  <->  X  .<  Y ) )
2826, 27syl5ibrcom 230 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Z  =  Y  ->  X  .<  Z ) )
291, 10posref 16274 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  Y )
30293ad2antr2 1196 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Y  .<_  Y )
31 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( Z  =  Y  ->  ( Z  .<_  Y  <->  Y  .<_  Y ) )
3230, 31syl5ibrcom 230 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Z  =  Y  ->  Z  .<_  Y ) )
33323adant3 1050 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Z  =  Y  ->  Z  .<_  Y ) )
3428, 33jcad 542 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Z  =  Y  ->  ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y ) ) )
3522, 34impbid 195 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( ( X 
.<  Z  /\  Z  .<_  Y )  <->  Z  =  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   Basecbs 15199   lecple 15275   Posetcpo 16263   ltcplt 16264    <o ccvr 32899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-covers 32903
This theorem is referenced by:  cvrval3  33049  cvrexchlem  33055
  Copyright terms: Public domain W3C validator