Theorem cvrnbtwn 16990

Description: There is no element between the two arguments of the covers relation. (Th. cvnbtwn 11858 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrfval.b	|- B = (base` K)
cvrfval.s	|- S = (lt` K)
cvrfval.c	|- C = ( <oNEW ` K)

Assertion

Ref	Expression
cvrnbtwn	|- ((K e. A /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B) /\ XCY) -> -. (XSZ /\ ZSY))

Proof of Theorem cvrnbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrfval.b	. . . . 5 |- B = (base` K)
2		cvrfval.s	. . . . 5 |- S = (lt` K)
3		cvrfval.c	. . . . 5 |- C = ( <oNEW ` K)
4	1, 2, 3	cvrval 16988	. . . 4 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY <-> (XSY /\ -. E.z e. B (XSz /\ zSY))))
5	4	3adant3r3 1079	. . 3 |- ((K e. A /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (XCY <-> (XSY /\ -. E.z e. B (XSz /\ zSY))))
6		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (z = Z -> (XSz <-> XSZ))
7		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (z = Z -> (zSY <-> ZSY))
8	6, 7	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (z = Z -> ((XSz /\ zSY) <-> (XSZ /\ ZSY)))
9	8	notbid 673	. . . . . . . 8 |- (z = Z -> (-. (XSz /\ zSY) <-> -. (XSZ /\ ZSY)))
10	9	rcla4v 2376	. . . . . . 7 |- (Z e. B -> (A.z e. B -. (XSz /\ zSY) -> -. (XSZ /\ ZSY)))
11		ralnex 2113	. . . . . . 7 |- (A.z e. B -. (XSz /\ zSY) <-> -. E.z e. B (XSz /\ zSY))
12	10, 11	syl5ibr 224	. . . . . 6 |- (Z e. B -> (-. E.z e. B (XSz /\ zSY) -> -. (XSZ /\ ZSY)))
13	12	adantld 426	. . . . 5 |- (Z e. B -> ((XSY /\ -. E.z e. B (XSz /\ zSY)) -> -. (XSZ /\ ZSY)))
14	13	3ad2ant3 899	. . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B) -> ((XSY /\ -. E.z e. B (XSz /\ zSY)) -> -. (XSZ /\ ZSY)))
15	14	adantl 424	. . 3 |- ((K e. A /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((XSY /\ -. E.z e. B (XSz /\ zSY)) -> -. (XSZ /\ ZSY)))
16	5, 15	sylbid 220	. 2 |- ((K e. A /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (XCY -> -. (XSZ /\ ZSY)))
17	16	3impia 1064	1 |- ((K e. A /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B) /\ XCY) -> -. (XSZ /\ ZSY))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  ltcplt 16761   <o_NEW ccvr 16980

This theorem is referenced by:  cvrnbtwn2 16992  cvrnbtwn3 16993  cvrnbtwn4 16996  cvrntr 17063

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-covers 16984

Copyright terms: Public domain