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Theorem cvrexchlem 29901
Description: Lemma for cvrexch 29902. (cvexchlem 23824 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrexch.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrexch.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 29846 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 cvrexch.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
42, 3latmcl 14435 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
51, 4syl3an1 1217 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
6 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8  |-  C  =  (  <o  `  K )
82, 6, 7cvrlt 29753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) Y )
98ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) C Y  -> 
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y ) )
105, 9syld3an2 1231 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y ) )
11 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
12 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
132, 11, 6, 12hlrelat1 29882 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
145, 13syld3an2 1231 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
1510, 14syld 42 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
1615imp 419 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )
17 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  HL )
1817, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  Lat )
192, 12atbase 29772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  B
)
21 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  X  e.  B
)
22 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  Y  e.  B
)
232, 11, 3latlem12 14462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) Y )  <->  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) Y )  <->  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
) )
2524biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) Y )  ->  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) ) )
2625exp3acom23 1378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) Y  ->  ( p
( le `  K
) X  ->  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y ) ) ) )
27 con3 128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p ( le `  K ) X  ->  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  -.  p
( le `  K
) X ) )
2826, 27syl6 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) Y  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) )
2928com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  ( p
( le `  K
) Y  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) )
3029a1d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( X 
./\  Y ) C Y  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  -> 
( p ( le
`  K ) Y  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) ) )
3130imp4d 576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  -.  p
( le `  K
) X ) )
32 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) )
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
342, 11, 33, 7, 12cvr1 29892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( -.  p ( le `  K ) X  <->  X C ( X 
.\/  p ) ) )
3517, 21, 32, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) X  <->  X C
( X  .\/  p
) ) )
3631, 35sylibd 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  X C
( X  .\/  p
) ) )
3736imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
38 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  HL )
3938, 1syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Lat )
40 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X  e.  B )
41 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y  e.  B )
4239, 40, 41, 4syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
43 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  p  e.  B )
442, 33latjass 14479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  p  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ) )
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ) )
462, 33, 3latabs1 14471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X )
471, 46syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y
) )  =  X )
4948oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  p ) )
5045, 49eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X 
.\/  p ) )
5150adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X  .\/  p
) )
522, 11, 6, 33latnle 14469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\ 
Y ) ( lt
`  K ) ( ( X  ./\  Y
)  .\/  p )
) )
5339, 42, 43, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\ 
Y ) ( lt
`  K ) ( ( X  ./\  Y
)  .\/  p )
) )
542, 11, 3latmle2 14461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
5539, 40, 41, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) Y )
5655biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  <->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
572, 11, 33latjle12 14446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le `  K
) Y ) )
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le `  K
) Y ) )
5956, 58bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  <->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y ) )
6053, 59anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y ) ) )
61 hlpos 29848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
6238, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Poset
)
632, 33latjcl 14434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  e.  B )
6439, 42, 43, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B
)
6542, 41, 643jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B
) )
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 29758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) )
6766biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) )
68673exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  -> 
( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) ) )
6962, 65, 68sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7069com23 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7160, 70sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( ( X 
./\  Y ) C Y  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7271com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7372imp32 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  Y )
7473oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X  .\/  Y
) )
7551, 74eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  ( X  .\/  Y
) )
7619, 75sylanl2 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  ( X  .\/  Y
) )
7737, 76breqtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  X C ( X  .\/  Y ) )
7877expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X  ./\ 
Y ) C Y )  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
7978an32s 780 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
8079rexlimdva 2790 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )
( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C
( X  .\/  Y
) ) )
8116, 80mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) )
8281ex 424 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   Posetcpo 14352   ltcplt 14353   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429    <o ccvr 29745   Atomscatm 29746   HLchlt 29833
This theorem is referenced by:  cvrexch  29902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834
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