Theorem cvrexch 17060

Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (Th. cvexchi 11941 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrexch.b	|- B = (base` K)
cvrexch.j	|- J = (join` K)
cvrexch.m	|- M = (meet` K)
cvrexch.c	|- C = ( <oNEW ` K)

Assertion

Ref	Expression
cvrexch	|- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XMY)CY <-> XC(XJY)))

Proof of Theorem cvrexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrexch.b	. . 3 |- B = (base` K)
2		cvrexch.j	. . 3 |- J = (join` K)
3		cvrexch.m	. . 3 |- M = (meet` K)
4		cvrexch.c	. . 3 |- C = ( <oNEW ` K)
5	1, 2, 3, 4	cvrexchlem 17059	. 2 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XMY)CY -> XC(XJY)))
6		simp1 876	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. HL)
7		hlop 17025	. . . . . . 7 |- (K e. HL -> K e. OP)
8	7	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. OP)
9		simp3 878	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> Y e. B)
10		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (oc` K) = (oc` K)
11	1, 10	opoccl 16921	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ Y e. B) -> ((oc` K)` Y) e. B)
12	8, 9, 11	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` Y) e. B)
13		simp2 877	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> X e. B)
14	1, 10	opoccl 16921	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> ((oc` K)` X) e. B)
15	8, 13, 14	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` X) e. B)
16	1, 2, 3, 4	cvrexchlem 17059	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ ((oc` K)` Y) e. B /\ ((oc` K)` X) e. B) -> ((((oc` K)` Y)M((oc` K)` X))C((oc` K)` X) -> ((oc` K)` Y)C(((oc` K)` Y)J((oc` K)` X))))
17	6, 12, 15, 16	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((((oc` K)` Y)M((oc` K)` X))C((oc` K)` X) -> ((oc` K)` Y)C(((oc` K)` Y)J((oc` K)` X))))
18	1, 2, 3, 10	oldmj1 16950	. . . . . . 7 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (XJY)) = (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)))
19		hlol 17024	. . . . . . 7 |- (K e. HL -> K e. OL)
20	18, 19	syl3an1 1130	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (XJY)) = (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)))
21		hllat 17026	. . . . . . . 8 |- (K e. HL -> K e. LatNEW)
22	21	3ad2ant1 897	. . . . . . 7 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. LatNEW)
23	1, 3	latmcom 16870	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B) -> (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)) = (((oc` K)` Y)M((oc` K)` X)))
24	22, 15, 12, 23	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)) = (((oc` K)` Y)M((oc` K)` X)))
25	20, 24	eqtrd 1925	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (XJY)) = (((oc` K)` Y)M((oc` K)` X)))
26	25	breq1d 3348	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` (XJY))C((oc` K)` X) <-> (((oc` K)` Y)M((oc` K)` X))C((oc` K)` X)))
27	1, 2, 3, 10	oldmm1 16946	. . . . . . 7 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (XMY)) = (((oc` K)` X)J((oc` K)` Y)))
28	27, 19	syl3an1 1130	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (XMY)) = (((oc` K)` X)J((oc` K)` Y)))
29	1, 2	latjcom 16860	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B) -> (((oc` K)` X)J((oc` K)` Y)) = (((oc` K)` Y)J((oc` K)` X)))
30	22, 15, 12, 29	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` X)J((oc` K)` Y)) = (((oc` K)` Y)J((oc` K)` X)))
31	28, 30	eqtrd 1925	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (XMY)) = (((oc` K)` Y)J((oc` K)` X)))
32	31	breq2d 3350	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` Y)C((oc` K)` (XMY)) <-> ((oc` K)` Y)C(((oc` K)` Y)J((oc` K)` X))))
33	17, 26, 32	3imtr4d 602	. . 3 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` (XJY))C((oc` K)` X) -> ((oc` K)` Y)C((oc` K)` (XMY))))
34	1, 2	latjcl 16852	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XJY) e. B)
35	34, 21	syl3an1 1130	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XJY) e. B)
36	1, 10, 4	cvrcon3b 16994	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ (XJY) e. B) -> (XC(XJY) <-> ((oc` K)` (XJY))C((oc` K)` X)))
37	8, 13, 35, 36	syl111anc 1100	. . 3 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XC(XJY) <-> ((oc` K)` (XJY))C((oc` K)` X)))
38	1, 3	latmcl 16853	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XMY) e. B)
39	38, 21	syl3an1 1130	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XMY) e. B)
40	1, 10, 4	cvrcon3b 16994	. . . 4 |- ((K e. OP /\ (XMY) e. B /\ Y e. B) -> ((XMY)CY <-> ((oc` K)` Y)C((oc` K)` (XMY))))
41	8, 39, 9, 40	syl111anc 1100	. . 3 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XMY)CY <-> ((oc` K)` Y)C((oc` K)` (XMY))))
42	33, 37, 41	3imtr4d 602	. 2 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XC(XJY) -> (XMY)CY))
43	5, 42	impbid 574	1 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XMY)CY <-> XC(XJY)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  joincjn 16766  meetcmee 16767  LatNEWclat 16834  occoc 16836  OPcops 16837  OLcol 16839   <o_NEW ccvr 16980  HLchlt 16983

This theorem is referenced by:  cvrat3 17075

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-p0 16841  df-lat 16847  df-clat 16848  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-atlat 16986  df-hlat 17017

Copyright terms: Public domain