Theorem cvrcon3b 16994

Description: Contraposition law for the covers relation. (Th. cvcon3 11856 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrcon3b.b	|- B = (base` K)
cvrcon3b.o	|- O = (oc` K)
cvrcon3b.c	|- C = ( <oNEW ` K)

Assertion

Ref	Expression
cvrcon3b	|- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY <-> (O` Y)C(O` X)))

Proof of Theorem cvrcon3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrcon3b.b	. . . 4 |- B = (base` K)
2		eqid 1884	. . . 4 |- (lt` K) = (lt` K)
3		cvrcon3b.o	. . . 4 |- O = (oc` K)
4	1, 2, 3	opltcon3b 16931	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X(lt` K)Y <-> (O` Y)(lt` K)(O` X)))
5		simpl1 879	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> K e. OP)
6		simpl2 880	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> X e. B)
7		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> x e. B)
8	1, 2, 3	opltcon3b 16931	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ x e. B) -> (X(lt` K)x <-> (O` x)(lt` K)(O` X)))
9	5, 6, 7, 8	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> (X(lt` K)x <-> (O` x)(lt` K)(O` X)))
10		simpl3 881	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> Y e. B)
11	1, 2, 3	opltcon3b 16931	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OP /\ x e. B /\ Y e. B) -> (x(lt` K)Y <-> (O` Y)(lt` K)(O` x)))
12	5, 7, 10, 11	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> (x(lt` K)Y <-> (O` Y)(lt` K)(O` x)))
13	9, 12	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> ((X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y) <-> ((O` x)(lt` K)(O` X) /\ (O` Y)(lt` K)(O` x))))
14	1, 3	opoccl 16921	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OP /\ x e. B) -> (O` x) e. B)
15	14	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> (O` x) e. B)
16		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (O` x) -> ((O` Y)(lt` K)y <-> (O` Y)(lt` K)(O` x)))
17		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (O` x) -> (y(lt` K)(O` X) <-> (O` x)(lt` K)(O` X)))
18	16, 17	anbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (O` x) -> (((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X)) <-> ((O` Y)(lt` K)(O` x) /\ (O` x)(lt` K)(O` X))))
19	18	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- (((O` x) e. B /\ ((O` Y)(lt` K)(O` x) /\ (O` x)(lt` K)(O` X))) -> E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X)))
20	19	ex 402	. . . . . . . . 9 |- ((O` x) e. B -> (((O` Y)(lt` K)(O` x) /\ (O` x)(lt` K)(O` X)) -> E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X))))
21	15, 20	syl 12	. . . . . . . 8 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> (((O` Y)(lt` K)(O` x) /\ (O` x)(lt` K)(O` X)) -> E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X))))
22	21	ancomsd 485	. . . . . . 7 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> (((O` x)(lt` K)(O` X) /\ (O` Y)(lt` K)(O` x)) -> E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X))))
23	13, 22	sylbid 220	. . . . . 6 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ x e. B) -> ((X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y) -> E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X))))
24	23	r19.23adva 2216	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y) -> E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X))))
25		simpl1 879	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> K e. OP)
26		simpl3 881	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> Y e. B)
27		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> y e. B)
28	1, 2, 3	opltcon1b 16932	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OP /\ Y e. B /\ y e. B) -> ((O` Y)(lt` K)y <-> (O` y)(lt` K)Y))
29	25, 26, 27, 28	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> ((O` Y)(lt` K)y <-> (O` y)(lt` K)Y))
30		simpl2 880	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> X e. B)
31	1, 2, 3	opltcon2b 16933	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OP /\ y e. B /\ X e. B) -> (y(lt` K)(O` X) <-> X(lt` K)(O` y)))
32	25, 27, 30, 31	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> (y(lt` K)(O` X) <-> X(lt` K)(O` y)))
33	29, 32	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> (((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X)) <-> ((O` y)(lt` K)Y /\ X(lt` K)(O` y))))
34	1, 3	opoccl 16921	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OP /\ y e. B) -> (O` y) e. B)
35	34	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> (O` y) e. B)
36		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (O` y) -> (X(lt` K)x <-> X(lt` K)(O` y)))
37		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (O` y) -> (x(lt` K)Y <-> (O` y)(lt` K)Y))
38	36, 37	anbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (O` y) -> ((X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y) <-> (X(lt` K)(O` y) /\ (O` y)(lt` K)Y)))
39	38	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- (((O` y) e. B /\ (X(lt` K)(O` y) /\ (O` y)(lt` K)Y)) -> E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y))
40	39	ex 402	. . . . . . . . 9 |- ((O` y) e. B -> ((X(lt` K)(O` y) /\ (O` y)(lt` K)Y) -> E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y)))
41	35, 40	syl 12	. . . . . . . 8 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> ((X(lt` K)(O` y) /\ (O` y)(lt` K)Y) -> E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y)))
42	41	ancomsd 485	. . . . . . 7 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> (((O` y)(lt` K)Y /\ X(lt` K)(O` y)) -> E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y)))
43	33, 42	sylbid 220	. . . . . 6 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) /\ y e. B) -> (((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X)) -> E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y)))
44	43	r19.23adva 2216	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X)) -> E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y)))
45	24, 44	impbid 574	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y) <-> E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X))))
46	45	notbid 673	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (-. E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y) <-> -. E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X))))
47	4, 46	anbi12d 690	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((X(lt` K)Y /\ -. E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y)) <-> ((O` Y)(lt` K)(O` X) /\ -. E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X)))))
48		cvrcon3b.c	. . 3 |- C = ( <oNEW ` K)
49	1, 2, 48	cvrval 16988	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY <-> (X(lt` K)Y /\ -. E.x e. B (X(lt` K)x /\ x(lt` K)Y))))
50		simp1 876	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. OP)
51	1, 3	opoccl 16921	. . . 4 |- ((K e. OP /\ Y e. B) -> (O` Y) e. B)
52	51	3adant2 895	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (O` Y) e. B)
53	1, 3	opoccl 16921	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> (O` X) e. B)
54	53	3adant3 896	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (O` X) e. B)
55	1, 2, 48	cvrval 16988	. . 3 |- ((K e. OP /\ (O` Y) e. B /\ (O` X) e. B) -> ((O` Y)C(O` X) <-> ((O` Y)(lt` K)(O` X) /\ -. E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X)))))
56	50, 52, 54, 55	syl111anc 1100	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((O` Y)C(O` X) <-> ((O` Y)(lt` K)(O` X) /\ -. E.y e. B ((O` Y)(lt` K)y /\ y(lt` K)(O` X)))))
57	47, 49, 56	3bitr4d 609	1 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY <-> (O` Y)C(O` X)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  ltcplt 16761  occoc 16836  OPcops 16837   <o_NEW ccvr 16980

This theorem is referenced by:  cvrexch 17060

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-oposet 16905  df-covers 16984

Copyright terms: Public domain