Theorem cvratlem 32787

Description: Lemma for cvrat 32788. (atcvatlem 25724 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrat.b	|- B = ( Base ` K )
cvrat.s	|- .< = ( lt ` K )
cvrat.j	|- .\/ = ( join ` K )
cvrat.z	|- .0. = ( 0. ` K )
cvrat.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
cvratlem	|- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) /\ ( X =/= .0. /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) )

Proof of Theorem cvratlem

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 32727	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. AtLat )
2	1	adantr 462	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> K e. AtLat )
3		simpr1 989	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> X e. B )
4		cvrat.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
5		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		cvrat.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0. ` K )
7		cvrat.a	. . . . . 6 |- A = ( Atoms ` K )
8	4, 5, 6, 7	atlex 32683	. . . . 5 |- ( ( K e. AtLat /\ X e. B /\ X =/= .0. ) -> E. r e. A r ( le ` K ) X )
9	8	3expia 1184	. . . 4 |- ( ( K e. AtLat /\ X e. B ) -> ( X =/= .0. -> E. r e. A r ( le ` K ) X ) )
10	2, 3, 9	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> ( X =/= .0. -> E. r e. A r ( le ` K ) X ) )
11	1	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> K e. AtLat )
12		simp22 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> P e. A )
13		simp3 985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> r e. A )
14	5, 7	atcmp 32678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. AtLat /\ P e. A /\ r e. A ) -> ( P ( le ` K ) r <-> P = r ) )
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P ( le ` K ) r <-> P = r ) )
16		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P = r -> ( P ( le ` K ) X <-> r ( le ` K ) X ) )
17	16	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P = r -> ( r ( le ` K ) X -> P ( le ` K ) X ) )
18	15, 17	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P ( le ` K ) r -> ( r ( le ` K ) X -> P ( le ` K ) X ) ) )
19	18	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( P ( le ` K ) r -> P ( le ` K ) X ) ) )
20		con3 134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P ( le ` K ) r -> P ( le ` K ) X ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> -. P ( le ` K ) r ) )
21	19, 20	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( -. P ( le ` K ) X -> -. P ( le ` K ) r ) ) )
22	21	imp3a 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) -> -. P ( le ` K ) r ) )
23		simp1 983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> K e. HL )
24	4, 7	atbase 32656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. A -> r e. B )
25	24	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> r e. B )
26		cvrat.j	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .\/ = ( join ` K )
27		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
28	4, 5, 26, 27, 7	cvr1 32776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ r e. B /\ P e. A ) -> ( -. P ( le ` K ) r <-> r ( <o ` K ) ( r .\/ P ) ) )
29	23, 25, 12, 28	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( -. P ( le ` K ) r <-> r ( <o ` K ) ( r .\/ P ) ) )
30	22, 29	sylibd 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) -> r ( <o ` K ) ( r .\/ P ) ) )
31	30	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) ) -> r ( <o ` K ) ( r .\/ P ) )
32		hllat 32730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
33	32	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> K e. Lat )
34	4, 7	atbase 32656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. A -> P e. B )
35	12, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> P e. B )
36	4, 26	latjcom 15225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ r e. B ) -> ( P .\/ r ) = ( r .\/ P ) )
37	33, 35, 25, 36	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P .\/ r ) = ( r .\/ P ) )
38	37	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) ) -> ( P .\/ r ) = ( r .\/ P ) )
39	31, 38	breqtrrd 4315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) ) -> r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) )
40	39	adantrrl 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) )
41	5, 26, 7	hlatlej1 32741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ r e. A ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
42	23, 12, 13, 41	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
43	42	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
44	5, 7	atcmp 32678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. AtLat /\ r e. A /\ P e. A ) -> ( r ( le ` K ) P <-> r = P ) )
45	11, 13, 12, 44	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) P <-> r = P ) )
46		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = P -> ( r ( le ` K ) X <-> P ( le ` K ) X ) )
47	46	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = P -> ( r ( le ` K ) X -> P ( le ` K ) X ) )
48	45, 47	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) P -> ( r ( le ` K ) X -> P ( le ` K ) X ) ) )
49	48	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( r ( le ` K ) P -> P ( le ` K ) X ) ) )
50		con3 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r ( le ` K ) P -> P ( le ` K ) X ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> -. r ( le ` K ) P ) )
51	49, 50	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( -. P ( le ` K ) X -> -. r ( le ` K ) P ) ) )
52	51	imp32 433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) ) -> -. r ( le ` K ) P )
53	52	adantrrl 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> -. r ( le ` K ) P )
54		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> r ( le ` K ) X )
55		simp21 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> X e. B )
56		simp23 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> Q e. A )
57	4, 7	atbase 32656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Q e. A -> Q e. B )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> Q e. B )
59	4, 26	latjcl 15217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Q e. B ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
60	33, 35, 58, 59	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
61	23, 55, 60	3jca 1163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( K e. HL /\ X e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) )
62		cvrat.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .< = ( lt ` K )
63	5, 62	pltle 15127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
64	63	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) /\ X .< ( P .\/ Q ) ) -> X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
65	61, 64	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ X .< ( P .\/ Q ) ) -> X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
66	65	adantrl 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
67		hlpos 32732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
68	67	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> K e. Poset )
69	4, 5	postr 15119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Poset /\ ( r e. B /\ X e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
70	68, 25, 55, 60, 69	syl13anc 1215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
71	70	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
72	54, 66, 71	mp2and 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
73	72	adantrrr 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
74	4, 5, 26, 7	hlexch1 32748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ Q e. A /\ P e. B ) /\ -. r ( le ` K ) P ) -> ( r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
75	74	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ Q e. A /\ P e. B ) ) -> ( -. r ( le ` K ) P -> ( r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) ) )
76	75	imp3a 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ Q e. A /\ P e. B ) ) -> ( ( -. r ( le ` K ) P /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
77	23, 13, 56, 35, 76	syl13anc 1215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( -. r ( le ` K ) P /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
78	77	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( -. r ( le ` K ) P /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
79	53, 73, 78	mp2and 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
80	4, 26	latjcl 15217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ r e. B ) -> ( P .\/ r ) e. B )
81	33, 35, 25, 80	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P .\/ r ) e. B )
82	4, 5, 26	latjle12 15228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Lat /\ ( P e. B /\ Q e. B /\ ( P .\/ r ) e. B ) ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) <-> ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
83	33, 35, 58, 81, 82	syl13anc 1215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) <-> ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
84	83	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) <-> ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
85	43, 79, 84	mpbi2and 907	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
86	5, 26, 7	hlatlej1 32741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
87	23, 12, 56, 86	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
88	87	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
89	4, 5, 26	latjle12 15228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Lat /\ ( P e. B /\ r e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
90	33, 35, 25, 60, 89	syl13anc 1215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
91	90	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
92	88, 73, 91	mpbi2and 907	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
93	33, 60, 81	3jca 1163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ ( P .\/ r ) e. B ) )
94	93	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ ( P .\/ r ) e. B ) )
95	4, 5	latasymb 15220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ ( P .\/ r ) e. B ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) ) )
96	94, 95	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) ) )
97	85, 92, 96	mpbi2and 907	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) )
98		breq2 4293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) -> ( X .< ( P .\/ Q ) <-> X .< ( P .\/ r ) ) )
99	98	biimpcd 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) -> X .< ( P .\/ r ) ) )
100	99	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) -> ( ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) -> X .< ( P .\/ r ) ) )
101	100	ad2antll 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) -> X .< ( P .\/ r ) ) )
102	97, 101	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> X .< ( P .\/ r ) )
103	4, 5, 62, 27	cvrnbtwn3 32643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Poset /\ ( r e. B /\ ( P .\/ r ) e. B /\ X e. B ) /\ r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ r ) ) <-> r = X ) )
104	103	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Poset /\ ( r e. B /\ ( P .\/ r ) e. B /\ X e. B ) /\ r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) )
105	104	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Poset /\ ( r e. B /\ ( P .\/ r ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) ) )
106	68, 25, 81, 55, 105	syl13anc 1215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) ) )
107	106	exp4a 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( X .< ( P .\/ r ) -> r = X ) ) ) )
108	107	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) -> ( X .< ( P .\/ r ) -> r = X ) ) ) )
109	108	imp4b 587	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ r ( le ` K ) X ) -> ( ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) )
110	109	adantrr 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) )
111	40, 102, 110	mp2and 674	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> r = X )
112		simpl3 988	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> r e. A )
113	111, 112	eqeltrrd 2516	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> X e. A )
114	113	exp45 611	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) ) ) )
115	114	3expa 1182	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) ) ) )
116	115	rexlimdva 2839	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> ( E. r e. A r ( le ` K ) X -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) ) ) )
117	10, 116	syld 44	. 2 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> ( X =/= .0. -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) ) ) )
118	117	imp32 433	1 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) /\ ( X =/= .0. /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   E.wrex 2714   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   lecple 14241   Posetcpo 15106   ltcplt 15107   joincjn 15110   0.cp0 15203   Latclat 15211   <o ccvr 32629   Atomscatm 32630   AtLatcal 32631   HLchlt 32717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-poset 15112  df-plt 15124  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-p0 15205  df-lat 15212  df-clat 15274  df-oposet 32543  df-ol 32545  df-oml 32546  df-covers 32633  df-ats 32634  df-atl 32665  df-cvlat 32689  df-hlat 32718

This theorem is referenced by:  cvrat  32788