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Theorem cvratlem 34094
Description: Lemma for cvrat 34095. (atcvatlem 26968 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrat.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
cvrat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvratlem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  X  .<  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) )

Proof of Theorem cvratlem
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlatl 34034 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  AtLat )
3 simpr1 997 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  X  e.  B )
4 cvrat.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 cvrat.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
7 cvrat.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
84, 5, 6, 7atlex 33990 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  E. r  e.  A  r ( le `  K ) X )
983expia 1193 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  e.  B )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r ( le `  K ) X ) )
102, 3, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r ( le `  K ) X ) )
1113ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  AtLat )
12 simp22 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  P  e.  A )
13 simp3 993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  A )
145, 7atcmp 33985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  P  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  ( P ( le `  K ) r  <->  P  =  r ) )
1511, 12, 13, 14syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P ( le `  K ) r  <->  P  =  r ) )
16 breq1 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  =  r  ->  ( P ( le `  K ) X  <->  r ( le `  K ) X ) )
1716biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  =  r  ->  (
r ( le `  K ) X  ->  P ( le `  K ) X ) )
1815, 17syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P ( le `  K ) r  -> 
( r ( le
`  K ) X  ->  P ( le
`  K ) X ) ) )
1918com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( P ( le
`  K ) r  ->  P ( le
`  K ) X ) ) )
20 con3 134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P ( le `  K ) r  ->  P ( le `  K ) X )  ->  ( -.  P
( le `  K
) X  ->  -.  P ( le `  K ) r ) )
2119, 20syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  -.  P
( le `  K
) r ) ) )
2221impd 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X )  ->  -.  P ( le `  K ) r ) )
23 simp1 991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  HL )
244, 7atbase 33963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  B )
25243ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  B )
26 cvrat.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .\/  =  ( join `  K )
27 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
284, 5, 26, 27, 7cvr1 34083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P ( le `  K ) r  <->  r (  <o  `  K ) ( r 
.\/  P ) ) )
2923, 25, 12, 28syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( -.  P ( le `  K ) r  <->  r (  <o  `  K ) ( r  .\/  P ) ) )
3022, 29sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X )  ->  r
(  <o  `  K )
( r  .\/  P
) ) )
3130imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X ) )  ->  r (  <o  `  K ) ( r  .\/  P ) )
32 hllat 34037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
33323ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
344, 7atbase 33963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
3512, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  P  e.  B )
364, 26latjcom 15537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( P  .\/  r
)  =  ( r 
.\/  P ) )
3733, 35, 25, 36syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P  .\/  r )  =  ( r  .\/  P
) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X ) )  ->  ( P  .\/  r )  =  ( r  .\/  P ) )
3931, 38breqtrrd 4468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X ) )  ->  r (  <o  `  K ) ( P  .\/  r ) )
4039adantrrl 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  r
(  <o  `  K )
( P  .\/  r
) )
415, 26, 7hlatlej1 34048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  P ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) )
4223, 12, 13, 41syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  P
( le `  K
) ( P  .\/  r ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  P
( le `  K
) ( P  .\/  r ) )
445, 7atcmp 33985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  r  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) P  <->  r  =  P ) )
4511, 13, 12, 44syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) P  <->  r  =  P ) )
46 breq1 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  P  ->  (
r ( le `  K ) X  <->  P ( le `  K ) X ) )
4746biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  P  ->  (
r ( le `  K ) X  ->  P ( le `  K ) X ) )
4845, 47syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) P  -> 
( r ( le
`  K ) X  ->  P ( le
`  K ) X ) ) )
4948com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( r ( le
`  K ) P  ->  P ( le
`  K ) X ) ) )
50 con3 134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r ( le `  K ) P  ->  P ( le `  K ) X )  ->  ( -.  P
( le `  K
) X  ->  -.  r ( le `  K ) P ) )
5149, 50syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  -.  r
( le `  K
) P ) ) )
5251imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X ) )  ->  -.  r
( le `  K
) P )
5352adantrrl 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  -.  r ( le `  K ) P )
54 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
r ( le `  K ) X )
55 simp21 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  X  e.  B )
56 simp23 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  Q  e.  A )
574, 7atbase 33963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  Q  e.  B )
594, 26latjcl 15529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
6033, 35, 58, 59syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B )
6123, 55, 603jca 1171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B ) )
62 cvrat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .<  =  ( lt `  K )
635, 62pltle 15439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X  .<  ( P  .\/  Q )  ->  X ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) )  ->  X
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
6561, 64sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  X  .<  ( P  .\/  Q
) )  ->  X
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
6665adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  X ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) )
67 hlpos 34039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
68673ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  Poset )
694, 5postr 15431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
r  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B ) )  ->  ( ( r ( le `  K
) X  /\  X
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )  ->  r
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
7068, 25, 55, 60, 69syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  X ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) )  ->  r ( le `  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( r ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )  ->  r
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
7254, 66, 71mp2and 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
r ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) )
7372adantrrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  r
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
744, 5, 26, 7hlexch1 34055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( r  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  B
)  /\  -.  r
( le `  K
) P )  -> 
( r ( le
`  K ) ( P  .\/  Q )  ->  Q ( le
`  K ) ( P  .\/  r ) ) )
75743expia 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( r  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  B
) )  ->  ( -.  r ( le `  K ) P  -> 
( r ( le
`  K ) ( P  .\/  Q )  ->  Q ( le
`  K ) ( P  .\/  r ) ) ) )
7675impd 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( r  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  B
) )  ->  (
( -.  r ( le `  K ) P  /\  r ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )  ->  Q
( le `  K
) ( P  .\/  r ) ) )
7723, 13, 56, 35, 76syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( -.  r ( le `  K ) P  /\  r ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )  ->  Q
( le `  K
) ( P  .\/  r ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( -.  r ( le `  K ) P  /\  r ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )  ->  Q
( le `  K
) ( P  .\/  r ) ) )
7953, 73, 78mp2and 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  Q
( le `  K
) ( P  .\/  r ) )
804, 26latjcl 15529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( P  .\/  r
)  e.  B )
8133, 35, 25, 80syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P  .\/  r )  e.  B )
824, 5, 26latjle12 15540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  Q  e.  B  /\  ( P  .\/  r
)  e.  B ) )  ->  ( ( P ( le `  K ) ( P 
.\/  r )  /\  Q ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) )  <-> 
( P  .\/  Q
) ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) ) )
8333, 35, 58, 81, 82syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( P ( le
`  K ) ( P  .\/  r )  /\  Q ( le
`  K ) ( P  .\/  r ) )  <->  ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) ) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( P ( le
`  K ) ( P  .\/  r )  /\  Q ( le
`  K ) ( P  .\/  r ) )  <->  ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) ) )
8543, 79, 84mpbi2and 914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P  .\/  r
) )
865, 26, 7hlatlej1 34048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) )
8723, 12, 56, 86syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  P
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  P
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
894, 5, 26latjle12 15540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  r  e.  B  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  B ) )  ->  ( ( P ( le `  K ) ( P 
.\/  Q )  /\  r ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  <-> 
( P  .\/  r
) ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )
9033, 35, 25, 60, 89syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( P ( le
`  K ) ( P  .\/  Q )  /\  r ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  r ) ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( P ( le
`  K ) ( P  .\/  Q )  /\  r ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  r ) ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
9288, 73, 91mpbi2and 914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  ( P  .\/  r ) ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )
9333, 60, 813jca 1171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  ( P 
.\/  r )  e.  B ) )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  ( P 
.\/  r )  e.  B ) )
954, 5latasymb 15532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  ( P  .\/  r )  e.  B )  ->  (
( ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P 
.\/  r )  /\  ( P  .\/  r ) ( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r ) ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P 
.\/  r )  /\  ( P  .\/  r ) ( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r ) ) )
9785, 92, 96mpbi2and 914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r
) )
98 breq2 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r )  ->  ( X  .<  ( P  .\/  Q )  <->  X  .<  ( P 
.\/  r ) ) )
9998biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
.<  ( P  .\/  Q
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r
)  ->  X  .<  ( P  .\/  r ) ) )
10099adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  .<  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  =  ( P  .\/  r
)  ->  X  .<  ( P  .\/  r ) ) )
101100ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  =  ( P 
.\/  r )  ->  X  .<  ( P  .\/  r ) ) )
10297, 101mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  X  .<  ( P  .\/  r
) )
1034, 5, 62, 27cvrnbtwn3 33950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
r  e.  B  /\  ( P  .\/  r )  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  r
(  <o  `  K )
( P  .\/  r
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  <-> 
r  =  X ) )
104103biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
r  e.  B  /\  ( P  .\/  r )  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  r
(  <o  `  K )
( P  .\/  r
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  ->  r  =  X ) )
1051043expia 1193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
r  e.  B  /\  ( P  .\/  r )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( r (  <o  `  K ) ( P 
.\/  r )  -> 
( ( r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  ->  r  =  X ) ) )
10668, 25, 81, 55, 105syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r (  <o  `  K
) ( P  .\/  r )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  ->  r  =  X ) ) )
107106exp4a 606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r (  <o  `  K
) ( P  .\/  r )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( X  .<  ( P  .\/  r )  -> 
r  =  X ) ) ) )
108107com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( r (  <o  `  K ) ( P 
.\/  r )  -> 
( X  .<  ( P  .\/  r )  -> 
r  =  X ) ) ) )
109108imp4b 590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  r
( le `  K
) X )  -> 
( ( r ( 
<o  `  K ) ( P  .\/  r )  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  ->  r  =  X ) )
110109adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( r (  <o  `  K ) ( P 
.\/  r )  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  -> 
r  =  X ) )
11140, 102, 110mp2and 679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  r  =  X )
112 simpl3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  r  e.  A )
113111, 112eqeltrrd 2551 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  X  e.  A )
114113exp45 614 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( X  .<  ( P  .\/  Q )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) ) ) )
1151143expa 1191 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( X  .<  ( P  .\/  Q )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) ) ) )
116115rexlimdva 2950 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( E. r  e.  A  r ( le `  K ) X  -> 
( X  .<  ( P  .\/  Q )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) ) ) )
11710, 116syld 44 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  ( X  .<  ( P  .\/  Q )  ->  ( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A )
) ) )
118117imp32 433 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  X  .<  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   E.wrex 2810   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   lecple 14553   Posetcpo 15418   ltcplt 15419   joincjn 15422   0.cp0 15515   Latclat 15523    <o ccvr 33936   Atomscatm 33937   AtLatcal 33938   HLchlt 34024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-poset 15424  df-plt 15436  df-lub 15452  df-glb 15453  df-join 15454  df-meet 15455  df-p0 15517  df-lat 15524  df-clat 15586  df-oposet 33850  df-ol 33852  df-oml 33853  df-covers 33940  df-ats 33941  df-atl 33972  df-cvlat 33996  df-hlat 34025
This theorem is referenced by:  cvrat  34095
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