Theorem cvrat4 17076

Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 in [PtakPulmannova] p. 68. Also Lemma 9.2(delta) in [MaedaMaeda] p. 41. (Th. atcvat4i 11969 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrat4.b	|- B = (base` K)
cvrat4.l	|- L = (le` K)
cvrat4.j	|- J = (join` K)
cvrat4.z	|- Z = (0.` K)
cvrat4.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
cvrat4	|- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((X =/= Z /\ PL(XJQ)) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr))))

Distinct variable groups:   A,r   B,r   J,r   K,r   L,r   P,r   Q,r   X,r

Proof of Theorem cvrat4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 17023	. . . . . . . . . 10 |- (K e. HL -> K e. AtLat)
2	1	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> K e. AtLat)
3		simpr1 882	. . . . . . . . 9 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> X e. B)
4		cvrat4.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = (base` K)
5		cvrat4.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = (le` K)
6		cvrat4.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = (0.` K)
7		cvrat4.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = (AtomsNEW` K)
8	4, 5, 6, 7	atlatex 17013	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. AtLat /\ X e. B /\ X =/= Z) -> E.r e. A rLX)
9	8	3exp 1066	. . . . . . . . 9 |- (K e. AtLat -> (X e. B -> (X =/= Z -> E.r e. A rLX)))
10	2, 3, 9	sylc 83	. . . . . . . 8 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (X =/= Z -> E.r e. A rLX))
11	10	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ P = Q) -> (X =/= Z -> E.r e. A rLX))
12		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (P = Q -> (PL(QJr) <-> QL(QJr)))
13		hllat 17026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (K e. HL -> K e. LatNEW)
14	13	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ r e. A) -> K e. LatNEW)
15		simpr3 884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> Q e. A)
16	4, 7	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Q e. A -> Q e. B)
17	15, 16	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> Q e. B)
18	17	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ r e. A) -> Q e. B)
19	4, 7	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (r e. A -> r e. B)
20	19	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ r e. A) -> r e. B)
21		cvrat4.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- J = (join` K)
22	4, 5, 21	latlej1 16861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. LatNEW /\ Q e. B /\ r e. B) -> QL(QJr))
23	14, 18, 20, 22	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ r e. A) -> QL(QJr))
24	12, 23	syl5bir 227	. . . . . . . . . . . . 13 |- (P = Q -> (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ r e. A) -> PL(QJr)))
25	24	exp3a 405	. . . . . . . . . . . 12 |- (P = Q -> ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (r e. A -> PL(QJr))))
26	25	impcom 378	. . . . . . . . . . 11 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ P = Q) -> (r e. A -> PL(QJr)))
27	26	anim2d 620	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ P = Q) -> ((rLX /\ r e. A) -> (rLX /\ PL(QJr))))
28	27	exp3a 405	. . . . . . . . 9 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ P = Q) -> (rLX -> (r e. A -> (rLX /\ PL(QJr)))))
29	28	com23 36	. . . . . . . 8 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ P = Q) -> (r e. A -> (rLX -> (rLX /\ PL(QJr)))))
30	29	reximdvai 2201	. . . . . . 7 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ P = Q) -> (E.r e. A rLX -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr))))
31	11, 30	syld 30	. . . . . 6 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ P = Q) -> (X =/= Z -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr))))
32	31	ex 402	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (P = Q -> (X =/= Z -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))))
33	32	a1i 8	. . . 4 |- (PL(XJQ) -> ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (P = Q -> (X =/= Z -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr))))))
34	33	com4l 43	. . 3 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (P = Q -> (X =/= Z -> (PL(XJQ) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr))))))
35	34	imp4a 391	. 2 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (P = Q -> ((X =/= Z /\ PL(XJQ)) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))))
36	13	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> K e. LatNEW)
37	4, 5, 21	latleeqj2 16865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. LatNEW /\ Q e. B /\ X e. B) -> (QLX <-> (XJQ) = X))
38	36, 17, 3, 37	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (QLX <-> (XJQ) = X))
39	38	biimpa 460	. . . . . . . . . . . 12 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ QLX) -> (XJQ) = X)
40	39	breq2d 3350	. . . . . . . . . . 11 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ QLX) -> (PL(XJQ) <-> PLX))
41	40	biimpa 460	. . . . . . . . . 10 |- ((((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ QLX) /\ PL(XJQ)) -> PLX)
42	41	expl 420	. . . . . . . . 9 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((QLX /\ PL(XJQ)) -> PLX))
43		simpr2 883	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> P e. A)
44	4, 7	atombase 17003	. . . . . . . . . . 11 |- (P e. A -> P e. B)
45	43, 44	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> P e. B)
46	4, 5, 21	latlej2 16862	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. LatNEW /\ Q e. B /\ P e. B) -> PL(QJP))
47	36, 17, 45, 46	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> PL(QJP))
48	42, 47	jctird 663	. . . . . . . 8 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((QLX /\ PL(XJQ)) -> (PLX /\ PL(QJP))))
49	48, 43	jctild 662	. . . . . . 7 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((QLX /\ PL(XJQ)) -> (P e. A /\ (PLX /\ PL(QJP)))))
50	49	imp 377	. . . . . 6 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ (QLX /\ PL(XJQ))) -> (P e. A /\ (PLX /\ PL(QJP))))
51	50	anassrs 489	. . . . 5 |- ((((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ QLX) /\ PL(XJQ)) -> (P e. A /\ (PLX /\ PL(QJP))))
52		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (r = P -> (rLX <-> PLX))
53		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (r = P -> (QJr) = (QJP))
54	53	breq2d 3350	. . . . . . 7 |- (r = P -> (PL(QJr) <-> PL(QJP)))
55	52, 54	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (r = P -> ((rLX /\ PL(QJr)) <-> (PLX /\ PL(QJP))))
56	55	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- ((P e. A /\ (PLX /\ PL(QJP))) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))
57	51, 56	syl 12	. . . 4 |- ((((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ QLX) /\ PL(XJQ)) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))
58	57	adantrl 430	. . 3 |- ((((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ QLX) /\ (X =/= Z /\ PL(XJQ))) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))
59	58	exp31 407	. 2 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (QLX -> ((X =/= Z /\ PL(XJQ)) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))))
60		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- (meet` K) = (meet` K)
61	4, 5, 21, 60, 7	cvrat3 17075	. . . . . . . . 9 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((P =/= Q /\ -. QLX /\ PL(XJQ)) -> (X(meet` K)(PJQ)) e. A))
62	61	3expd 1085	. . . . . . . 8 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (P =/= Q -> (-. QLX -> (PL(XJQ) -> (X(meet` K)(PJQ)) e. A))))
63	62	imp4c 393	. . . . . . 7 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ)) -> (X(meet` K)(PJQ)) e. A))
64	4, 21	latjcl 16852	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. LatNEW /\ P e. B /\ Q e. B) -> (PJQ) e. B)
65	36, 45, 17, 64	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (PJQ) e. B)
66	4, 5, 60	latmle1 16871	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ (PJQ) e. B) -> (X(meet` K)(PJQ))LX)
67	36, 3, 65, 66	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (X(meet` K)(PJQ))LX)
68	67	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> (X(meet` K)(PJQ))LX)
69		simpll 448	. . . . . . . . . . 11 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> K e. HL)
70	62	imp44 398	. . . . . . . . . . . 12 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> (X(meet` K)(PJQ)) e. A)
71		simplr2 919	. . . . . . . . . . . 12 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> P e. A)
72	17	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> Q e. B)
73	70, 71, 72	3jca 1050	. . . . . . . . . . 11 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B))
74	69, 73	jca 310	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> (K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B)))
75		hlol 17024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (K e. HL -> K e. OL)
76	75	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> K e. OL)
77	4, 5, 60, 6, 7	atomnle 17016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ Q e. A /\ X e. B) -> (-. QLX <-> (Q(meet` K)X) = Z))
78	76, 2, 15, 3, 77	syl211anc 1106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (-. QLX <-> (Q(meet` K)X) = Z))
79	4, 60	latmcom 16870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K e. LatNEW /\ Q e. B /\ X e. B) -> (Q(meet` K)X) = (X(meet` K)Q))
80	36, 17, 3, 79	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (Q(meet` K)X) = (X(meet` K)Q))
81	80	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((Q(meet` K)X) = Z <-> (X(meet` K)Q) = Z))
82	78, 81	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (-. QLX <-> (X(meet` K)Q) = Z))
83		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((X(meet` K)Q) = Z -> ((Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ)))L(X(meet` K)Q) <-> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ)))LZ))
84	4, 60	latmcl 16853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ (PJQ) e. B) -> (X(meet` K)(PJQ)) e. B)
85	36, 3, 65, 84	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (X(meet` K)(PJQ)) e. B)
86	85, 3, 17	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((X(meet` K)(PJQ)) e. B /\ X e. B /\ Q e. B))
87	36, 86	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (K e. LatNEW /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. B /\ X e. B /\ Q e. B)))
88	4, 5, 60	latmlem2 16877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K e. LatNEW /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. B /\ X e. B /\ Q e. B)) -> ((X(meet` K)(PJQ))LX -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ)))L(Q(meet` K)X)))
89	87, 67, 88	sylc 83	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ)))L(Q(meet` K)X))
90	89, 80	breqtrd 3361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ)))L(X(meet` K)Q))
91	83, 90	syl5cbi 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((X(meet` K)Q) = Z -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ)))LZ))
92		hlop 17025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (K e. HL -> K e. OP)
93	92	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> K e. OP)
94	4, 60	latmcl 16853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K e. LatNEW /\ Q e. B /\ (X(meet` K)(PJQ)) e. B) -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) e. B)
95	36, 17, 85, 94	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) e. B)
96	4, 5, 6	ople0 16917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. OP /\ (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) e. B) -> ((Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ)))LZ <-> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = Z))
97	93, 95, 96	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ)))LZ <-> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = Z))
98	91, 97	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((X(meet` K)Q) = Z -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = Z))
99	82, 98	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (-. QLX -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = Z))
100	99	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ -. QLX) -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = Z)
101	100	adantrl 430	. . . . . . . . . . 11 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ (P =/= Q /\ -. QLX)) -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = Z)
102	101	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = Z)
103	4, 5, 60	latmle2 16872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ (PJQ) e. B) -> (X(meet` K)(PJQ))L(PJQ))
104	36, 3, 65, 103	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (X(meet` K)(PJQ))L(PJQ))
105	4, 21	latjcom 16860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. LatNEW /\ P e. B /\ Q e. B) -> (PJQ) = (QJP))
106	36, 45, 17, 105	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (PJQ) = (QJP))
107	104, 106	breqtrd 3361	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (X(meet` K)(PJQ))L(QJP))
108	107	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> (X(meet` K)(PJQ))L(QJP))
109	13	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B)) -> K e. LatNEW)
110		simpr3 884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B)) -> Q e. B)
111		simpr1 882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B)) -> (X(meet` K)(PJQ)) e. A)
112	4, 7	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((X(meet` K)(PJQ)) e. A -> (X(meet` K)(PJQ)) e. B)
113	111, 112	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B)) -> (X(meet` K)(PJQ)) e. B)
114	4, 60	latmcom 16870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. LatNEW /\ Q e. B /\ (X(meet` K)(PJQ)) e. B) -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = ((X(meet` K)(PJQ))(meet` K)Q))
115	109, 110, 113, 114	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B)) -> (Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = ((X(meet` K)(PJQ))(meet` K)Q))
116	115	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B)) -> ((Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = Z <-> ((X(meet` K)(PJQ))(meet` K)Q) = Z))
117	4, 5, 21, 60, 6, 7	hlexch3 17041	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B) /\ ((X(meet` K)(PJQ))(meet` K)Q) = Z) -> ((X(meet` K)(PJQ))L(QJP) -> PL(QJ(X(meet` K)(PJQ)))))
118	117	3expia 1069	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B)) -> (((X(meet` K)(PJQ))(meet` K)Q) = Z -> ((X(meet` K)(PJQ))L(QJP) -> PL(QJ(X(meet` K)(PJQ))))))
119	116, 118	sylbid 220	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. HL /\ ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ P e. A /\ Q e. B)) -> ((Q(meet` K)(X(meet` K)(PJQ))) = Z -> ((X(meet` K)(PJQ))L(QJP) -> PL(QJ(X(meet` K)(PJQ))))))
120	74, 102, 108, 119	syl3c 84	. . . . . . . . 9 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> PL(QJ(X(meet` K)(PJQ))))
121	68, 120	jca 310	. . . . . . . 8 |- (((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) /\ ((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ))) -> ((X(meet` K)(PJQ))LX /\ PL(QJ(X(meet` K)(PJQ)))))
122	121	ex 402	. . . . . . 7 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ)) -> ((X(meet` K)(PJQ))LX /\ PL(QJ(X(meet` K)(PJQ))))))
123	63, 122	jcad 661	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ)) -> ((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ ((X(meet` K)(PJQ))LX /\ PL(QJ(X(meet` K)(PJQ)))))))
124		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (r = (X(meet` K)(PJQ)) -> (rLX <-> (X(meet` K)(PJQ))LX))
125		opreq2 4890	. . . . . . . . 9 |- (r = (X(meet` K)(PJQ)) -> (QJr) = (QJ(X(meet` K)(PJQ))))
126	125	breq2d 3350	. . . . . . . 8 |- (r = (X(meet` K)(PJQ)) -> (PL(QJr) <-> PL(QJ(X(meet` K)(PJQ)))))
127	124, 126	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (r = (X(meet` K)(PJQ)) -> ((rLX /\ PL(QJr)) <-> ((X(meet` K)(PJQ))LX /\ PL(QJ(X(meet` K)(PJQ))))))
128	127	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- (((X(meet` K)(PJQ)) e. A /\ ((X(meet` K)(PJQ))LX /\ PL(QJ(X(meet` K)(PJQ))))) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))
129	123, 128	syl6 25	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (((P =/= Q /\ -. QLX) /\ PL(XJQ)) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr))))
130	129	exp3a 405	. . . 4 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((P =/= Q /\ -. QLX) -> (PL(XJQ) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))))
131		ioran 331	. . . . 5 |- (-. (P = Q \/ QLX) <-> (-. P = Q /\ -. QLX))
132		df-ne 2019	. . . . . 6 |- (P =/= Q <-> -. P = Q)
133	132	anbi1i 539	. . . . 5 |- ((P =/= Q /\ -. QLX) <-> (-. P = Q /\ -. QLX))
134	131, 133	bitr4i 193	. . . 4 |- (-. (P = Q \/ QLX) <-> (P =/= Q /\ -. QLX))
135	130, 134	syl5ib 223	. . 3 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (-. (P = Q \/ QLX) -> (PL(XJQ) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))))
136		simpr 350	. . 3 |- ((X =/= Z /\ PL(XJQ)) -> PL(XJQ))
137	135, 136	syl7 26	. 2 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> (-. (P = Q \/ QLX) -> ((X =/= Z /\ PL(XJQ)) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr)))))
138	35, 59, 137	ecase3d 827	1 |- ((K e. HL /\ (X e. B /\ P e. A /\ Q e. A)) -> ((X =/= Z /\ PL(XJQ)) -> E.r e. A (rLX /\ PL(QJr))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  joincjn 16766  meetcmee 16767  0.cp0 16832  LatNEWclat 16834  OPcops 16837  OLcol 16839  AtomsNEWcatm 16981  AtLatcal 16982  HLchlt 16983

This theorem is referenced by:  cvrat42 17077  ps2 17079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-p0 16841  df-lat 16847  df-clat 16848  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-atlat 16986  df-hlat 17017

Copyright terms: Public domain