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Theorem cvrat4 32717
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 in [PtakPulmannova] p. 68. Also Lemma 9.2(delta) in [MaedaMaeda] p. 41. (atcvat4i 27885 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrat4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrat4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrat4.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
cvrat4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrat4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    .\/ , r    K, r    .<_ , r    P, r    Q, r    X, r
Allowed substitution hint:    .0. ( r)

Proof of Theorem cvrat4
StepHypRef Expression
1 hlatl 32635 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
21adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  AtLat )
3 simpr1 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  X  e.  B )
4 cvrat4.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cvrat4.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cvrat4.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
7 cvrat4.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
84, 5, 6, 7atlex 32591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X )
983exp 1204 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( X  e.  B  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) ) )
102, 3, 9sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) )
1110adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) )
12 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  HL )
13 simplr3 1049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  Q  e.  A )
14 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  A )
15 cvrat4.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .\/  =  ( join `  K )
165, 15, 7hlatlej1 32649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  r ) )
1712, 13, 14, 16syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  r
) )
18 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  Q  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
1917, 18syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  =  Q  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  r  e.  A )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
2019expd 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  Q  ->  (
( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
r  e.  A  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2120impcom 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
r  e.  A  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
2221anim2d 567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( r  .<_  X  /\  r  e.  A )  ->  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2322expcomd 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r  .<_  X  -> 
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
2423reximdvai 2904 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( E. r  e.  A  r  .<_  X  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2511, 24syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2625ex 435 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
2726a1i 11 . . . 4  |-  ( P 
.<_  ( X  .\/  Q
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) ) )
2827com4l 87 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) ) )
2928imp4a 592 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
30 hllat 32638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  Lat )
32 simpr3 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  A )
334, 7atbase 32564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  B )
354, 5, 15latleeqj2 16261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  .\/  Q )  =  X ) )
3631, 34, 3, 35syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  .\/  Q )  =  X ) )
3736biimpa 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( X  .\/  Q )  =  X )
3837breq2d 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  <->  P  .<_  X ) )
3938biimpa 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  X )
4039expl 622 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  X ) )
41 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
42 simpr2 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  A )
435, 15, 7hlatlej2 32650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  P ) )
4441, 32, 42, 43syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  P
) )
4540, 44jctird 546 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P
) ) ) )
4645, 42jctild 545 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) ) )
4746impl 624 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) )
48 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( r  =  P  ->  (
r  .<_  X  <->  P  .<_  X ) )
49 oveq2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  P  ->  ( Q  .\/  r )  =  ( Q  .\/  P
) )
5049breq2d 4438 . . . . . . 7  |-  ( r  =  P  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) )
5148, 50anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( r  =  P  ->  (
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) )  <->  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) )
5251rspcev 3188 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5347, 52syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5453adantrl 720 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5554exp31 607 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  X  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
56 simpr 462 . . 3  |-  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )
57 ioran 492 . . . . 5  |-  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  <-> 
( -.  P  =  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
58 df-ne 2627 . . . . . 6  |-  ( P  =/=  Q  <->  -.  P  =  Q )
5958anbi1i 699 . . . . 5  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  <-> 
( -.  P  =  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
6057, 59bitr4i 255 . . . 4  |-  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  <-> 
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
61 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
624, 5, 15, 61, 7cvrat3 32716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
63623expd 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =/=  Q  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( P  .<_  ( X 
.\/  Q )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A ) ) ) )
6463imp4c 594 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
654, 7atbase 32564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
6642, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  B )
674, 15latjcl 16248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
6831, 66, 34, 67syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B )
694, 5, 61latmle1 16273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X )
7031, 3, 68, 69syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X )
7170adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  X )
72 simpll 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
7363imp44 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A
)
74 simplr2 1048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
7534adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  B )
7673, 74, 753jca 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )
7772, 76jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) ) )
784, 5, 61, 6, 7atnle 32592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  Q  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( Q
( meet `  K ) X )  =  .0.  ) )
792, 32, 3, 78syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( Q
( meet `  K ) X )  =  .0.  ) )
804, 61latmcom 16272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Q ( meet `  K ) X )  =  ( X (
meet `  K ) Q ) )
8131, 34, 3, 80syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) X )  =  ( X ( meet `  K ) Q ) )
8281eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) X )  =  .0.  <->  ( X
( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
8379, 82bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( X
( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
844, 61latmcl 16249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B )
8531, 3, 68, 84syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
8685, 3, 343jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B ) )
8731, 86jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B ) ) )
884, 5, 61latmlem2 16279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  .<_  ( Q
( meet `  K ) X ) ) )
8987, 70, 88sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( Q ( meet `  K
) X ) )
9089, 81breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( X ( meet `  K
) Q ) )
91 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X ( meet `  K
) Q )  =  .0.  ->  ( ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( X ( meet `  K
) Q )  <->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  .<_  .0.  )
)
9290, 91syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  .0.  ) )
93 hlop 32637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
9493adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  OP )
954, 61latmcl 16249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  e.  B )
9631, 34, 85, 95syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  e.  B )
974, 5, 6ople0 32462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  e.  B )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  .<_  .0. 
<->  ( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
9894, 96, 97syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  .<_  .0. 
<->  ( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
9992, 98sylibd 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  =  .0.  ) )
10083, 99sylbid 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
101100imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  -.  Q  .<_  X )  -> 
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  )
102101adantrl 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )  ->  ( Q (
meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  .0.  )
103102adantrr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  .0.  )
1044, 5, 61latmle2 16274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) )
10531, 3, 68, 104syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
1064, 15latjcom 16256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
10731, 66, 34, 106syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
108105, 107breqtrd 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( Q 
.\/  P ) )
109108adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  ( Q 
.\/  P ) )
11030adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
111 simpr3 1013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  Q  e.  B )
112 simpr1 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
)
1134, 7atbase 32564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  ->  ( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
1154, 61latmcom 16272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q ) )
116110, 111, 114, 115syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  =  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) ( meet `  K ) Q ) )
117116eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  <->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
1184, 5, 15, 61, 6, 7hlexch3 32665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
)  /\  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  )  -> 
( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  ( Q 
.\/  P )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
1191183expia 1207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  ( Q  .\/  P
)  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
120117, 119sylbid 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( Q 
.\/  P )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
12177, 103, 109, 120syl3c 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) )
12271, 121jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
123122ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
12464, 123jcad 535 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) ) )
125 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  (
r  .<_  X  <->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  X ) )
126 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  r )  =  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) )
127126breq2d 4438 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
128125, 127anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  (
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) )  <->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
129128rspcev 3188 . . . . . 6  |-  ( ( ( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
130124, 129syl6 34 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
131130expd 437 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13260, 131syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13356, 132syl7 70 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13429, 55, 133ecase3d 951 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159   joincjn 16140   meetcmee 16141   0.cp0 16234   Latclat 16242   OPcops 32447   Atomscatm 32538   AtLatcal 32539   HLchlt 32625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626
This theorem is referenced by:  cvrat42  32718  ps-2  32752
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