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Theorem cvrat3 33395
Description: A condition implying that a certain lattice element is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 25945 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrat3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrat3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrat3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrat3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrat3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )

Proof of Theorem cvrat3
StepHypRef Expression
1 cvrat3.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrat3.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cvrat3.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
5 cvrat3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
61, 2, 3, 4, 5cvr1 33363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <-> 
X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Q ) ) )
763adant3r2 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Q ) ) )
87biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  -.  Q  .<_  X )  ->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Q ) )
98adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  ->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Q ) )
10 hllat 33317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  Lat )
12 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  A )
131, 5atbase 33243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  B )
15 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  A )
161, 5atbase 33243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  B )
181, 3latjcom 15340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
1911, 14, 17, 18syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
2019oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X  .\/  ( Q 
.\/  P ) ) )
21 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  X  e.  B )
221, 3latjass 15376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Q  e.  B  /\  P  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( X  .\/  ( Q  .\/  P ) ) )
2311, 21, 17, 14, 22syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( X  .\/  ( Q  .\/  P ) ) )
2420, 23eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( X  .\/  Q
)  .\/  P )
)
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( X  .\/  Q
)  .\/  P )
)
261, 3latjcl 15332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( X  .\/  Q
)  e.  B )
2711, 21, 17, 26syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  Q )  e.  B )
281, 2, 3latjlej2 15347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( X  .\/  Q
)  e.  B  /\  ( X  .\/  Q )  e.  B ) )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  ( ( X 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( X  .\/  Q )  .\/  ( X  .\/  Q ) ) ) )
2911, 14, 27, 27, 28syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  ( ( X  .\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( X  .\/  Q )  .\/  ( X  .\/  Q ) ) ) )
3029imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( X  .\/  Q )  .\/  ( X 
.\/  Q ) ) )
3125, 30eqbrtrd 4413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( ( X  .\/  Q ) 
.\/  ( X  .\/  Q ) ) )
321, 3latjidm 15355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( ( X  .\/  Q )  .\/  ( X 
.\/  Q ) )  =  ( X  .\/  Q ) )
3311, 27, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  ( X  .\/  Q ) )  =  ( X  .\/  Q
) )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  ( X  .\/  Q ) )  =  ( X  .\/  Q
) )
3531, 34breqtrd 4417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( X 
.\/  Q ) )
36 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
372, 3, 5hlatlej2 33329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3836, 12, 15, 37syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q
) )
391, 3latjcl 15332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
4011, 14, 17, 39syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B )
411, 2, 3latjlej2 15347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  Q
)  ->  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
4211, 17, 40, 21, 41syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
4338, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
451, 3latjcl 15332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  e.  B )
4611, 21, 40, 45syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
471, 2latasymb 15335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  ( X  .\/  Q )  e.  B )  ->  (
( ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( X  .\/  Q )  /\  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )  <->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X 
.\/  Q ) ) )
4811, 46, 27, 47syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( X  .\/  Q )  /\  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )  <->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X 
.\/  Q ) ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( X  .\/  Q )  /\  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )  <->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X 
.\/  Q ) ) )
5035, 44, 49mpbi2and 912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X  .\/  Q ) )
5150breq2d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X (  <o  `  K
) ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  <->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Q ) ) )
5251adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  -> 
( X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  ( P  .\/  Q ) )  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Q ) ) )
539, 52mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  ->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) ) )
5453ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
55 cvrat3.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
561, 3, 55, 4cvrexch 33373 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K
) ( P  .\/  Q )  <->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
5736, 21, 40, 56syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K )
( P  .\/  Q
)  <->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
5854, 57sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
5958adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
601, 55latmcl 15333 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  B )
6111, 21, 40, 60syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
621, 3, 4, 5cvrat2 33382 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A )
63623expia 1190 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)  ->  ( ( P  =/=  Q  /\  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A ) )
6436, 61, 12, 15, 63syl13anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
6564expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K )
( P  .\/  Q
)  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q
) )  e.  A
) )
6659, 65syld 44 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A ) )
6766exp4b 607 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =/=  Q  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( P  .<_  ( X 
.\/  Q )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A ) ) ) )
68673impd 1202 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   lecple 14356   joincjn 15225   meetcmee 15226   Latclat 15326    <o ccvr 33216   Atomscatm 33217   HLchlt 33304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-poset 15227  df-plt 15239  df-lub 15255  df-glb 15256  df-join 15257  df-meet 15258  df-p0 15320  df-lat 15327  df-clat 15389  df-oposet 33130  df-ol 33132  df-oml 33133  df-covers 33220  df-ats 33221  df-atl 33252  df-cvlat 33276  df-hlat 33305
This theorem is referenced by:  cvrat4  33396  2atjm  33398  1cvrat  33429  2llnma1b  33739
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