Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrat3 Unicode version

Theorem cvrat3 29924
Description: A condition implying that a certain lattice element is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 23852 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrat3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrat3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrat3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrat3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrat3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )

Proof of Theorem cvrat3
StepHypRef Expression
1 cvrat3.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrat3.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cvrat3.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
5 cvrat3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
61, 2, 3, 4, 5cvr1 29892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <-> 
X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Q ) ) )
763adant3r2 1163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Q ) ) )
87biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  -.  Q  .<_  X )  ->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Q ) )
98adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  ->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Q ) )
10 hllat 29846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1110adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  Lat )
12 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  A )
131, 5atbase 29772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  B )
15 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  A )
161, 5atbase 29772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  B )
181, 3latjcom 14443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
1911, 14, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
2019oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X  .\/  ( Q 
.\/  P ) ) )
21 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  X  e.  B )
221, 3latjass 14479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Q  e.  B  /\  P  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( X  .\/  ( Q  .\/  P ) ) )
2311, 21, 17, 14, 22syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( X  .\/  ( Q  .\/  P ) ) )
2420, 23eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( X  .\/  Q
)  .\/  P )
)
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( X  .\/  Q
)  .\/  P )
)
261, 3latjcl 14434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( X  .\/  Q
)  e.  B )
2711, 21, 17, 26syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  Q )  e.  B )
281, 2, 3latjlej2 14450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( X  .\/  Q
)  e.  B  /\  ( X  .\/  Q )  e.  B ) )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  ( ( X 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( X  .\/  Q )  .\/  ( X  .\/  Q ) ) ) )
2911, 14, 27, 27, 28syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  ( ( X  .\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( X  .\/  Q )  .\/  ( X  .\/  Q ) ) ) )
3029imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( X  .\/  Q )  .\/  ( X 
.\/  Q ) ) )
3125, 30eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( ( X  .\/  Q ) 
.\/  ( X  .\/  Q ) ) )
321, 3latjidm 14458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( ( X  .\/  Q )  .\/  ( X 
.\/  Q ) )  =  ( X  .\/  Q ) )
3311, 27, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  ( X  .\/  Q ) )  =  ( X  .\/  Q
) )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X  .\/  Q
)  .\/  ( X  .\/  Q ) )  =  ( X  .\/  Q
) )
3531, 34breqtrd 4196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( X 
.\/  Q ) )
36 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
372, 3, 5hlatlej2 29858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3836, 12, 15, 37syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q
) )
391, 3latjcl 14434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
4011, 14, 17, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B )
411, 2, 3latjlej2 14450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  Q
)  ->  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
4211, 17, 40, 21, 41syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
4338, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
451, 3latjcl 14434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  e.  B )
4611, 21, 40, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
471, 2latasymb 14438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  ( X  .\/  Q )  e.  B )  ->  (
( ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( X  .\/  Q )  /\  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )  <->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X 
.\/  Q ) ) )
4811, 46, 27, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( X  .\/  Q )  /\  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )  <->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X 
.\/  Q ) ) )
4948adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( X  .\/  Q )  /\  ( X  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )  <->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X 
.\/  Q ) ) )
5035, 44, 49mpbi2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( X  .\/  Q ) )
5150breq2d 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X (  <o  `  K
) ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) )  <->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Q ) ) )
5251adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  -> 
( X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  ( P  .\/  Q ) )  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Q ) ) )
539, 52mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  ->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) ) )
5453ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
55 cvrat3.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
561, 3, 55, 4cvrexch 29902 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K
) ( P  .\/  Q )  <->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
5736, 21, 40, 56syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K )
( P  .\/  Q
)  <->  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
5854, 57sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
5958adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
601, 55latmcl 14435 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  B )
6111, 21, 40, 60syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
621, 3, 4, 5cvrat2 29911 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A )
63623expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)  ->  ( ( P  =/=  Q  /\  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A ) )
6436, 61, 12, 15, 63syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
6564expdimp 427 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) (  <o  `  K )
( P  .\/  Q
)  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q
) )  e.  A
) )
6659, 65syld 42 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A ) )
6766exp4b 591 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =/=  Q  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( P  .<_  ( X 
.\/  Q )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A ) ) ) )
68673impd 1167 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429    <o ccvr 29745   Atomscatm 29746   HLchlt 29833
This theorem is referenced by:  cvrat4  29925  2atjm  29927  1cvrat  29958  2llnma1b  30268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834
  Copyright terms: Public domain W3C validator