Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvr2N Structured version   Unicode version

Theorem cvr2N 33067
Description: Less-than and covers equivalence in a Hilbert lattice. (chcv2 25772 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cvr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvr2.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvr2.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvr2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvr2N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X  .<  ( X  .\/  P )  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )

Proof of Theorem cvr2N
StepHypRef Expression
1 hllat 33020 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
213ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
3 simp2 989 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  X  e.  B )
4 cvr2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cvr2.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
64, 5atbase 32946 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
763ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  B )
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
9 cvr2.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
10 cvr2.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
114, 8, 9, 10latnle 15267 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  P  e.  B )  ->  ( -.  P ( le `  K ) X  <->  X  .<  ( X 
.\/  P ) ) )
122, 3, 7, 11syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P ( le `  K ) X  <->  X  .<  ( X 
.\/  P ) ) )
13 cvr2.c . . 3  |-  C  =  (  <o  `  K )
144, 8, 10, 13, 5cvr1 33066 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P ( le `  K ) X  <->  X C ( X 
.\/  P ) ) )
1512, 14bitr3d 255 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X  .<  ( X  .\/  P )  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   lecple 14257   ltcplt 15123   joincjn 15126   Latclat 15227    <o ccvr 32919   Atomscatm 32920   HLchlt 33007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-poset 15128  df-plt 15140  df-lub 15156  df-glb 15157  df-join 15158  df-meet 15159  df-p0 15221  df-lat 15228  df-clat 15290  df-oposet 32833  df-ol 32835  df-oml 32836  df-covers 32923  df-ats 32924  df-atl 32955  df-cvlat 32979  df-hlat 33008
This theorem is referenced by:  cvrval4N  33070
  Copyright terms: Public domain W3C validator