Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvr1 Structured version   Unicode version

Theorem cvr1 34206
Description: A Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 26950 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvr1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvr1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvr1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvr1.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvr1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvr1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  P ) ) )

Proof of Theorem cvr1
StepHypRef Expression
1 hlomcmcv 34153 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
) )
2 cvr1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 cvr1.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 cvr1.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 cvr1.c . . 3  |-  C  =  (  <o  `  K )
6 cvr1.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
72, 3, 4, 5, 6cvlcvr1 34136 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )
81, 7syl3an1 1261 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   joincjn 15427   CLatccla 15590   OMLcoml 33972    <o ccvr 34059   Atomscatm 34060   CvLatclc 34062   HLchlt 34147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-lat 15529  df-clat 15591  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148
This theorem is referenced by:  cvr2N  34207  hlrelat3  34208  cvrval3  34209  cvrval4N  34210  cvrexchlem  34215  cvratlem  34217  cvrat3  34238  3dim0  34253  2dim  34266  1cvrjat  34271  llncvrlpln2  34353  lplnexllnN  34360  lplncvrlvol2  34411  lhp2lt  34797
  Copyright terms: Public domain W3C validator