Theorem cvr1 17054

Description: A Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (Th. chcv1 11927 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvr1.b	|- B = (base` K)
cvr1.l	|- L = (le` K)
cvr1.j	|- J = (join` K)
cvr1.c	|- C = ( <oNEW ` K)
cvr1.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
cvr1	|- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (-. PLX <-> XC(XJP)))

Proof of Theorem cvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 17026	. . . . . . 7 |- (K e. HL -> K e. LatNEW)
2	1	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> K e. LatNEW)
3		simp2 877	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> X e. B)
4		cvr1.b	. . . . . . . 8 |- B = (base` K)
5		cvr1.a	. . . . . . . 8 |- A = (AtomsNEW` K)
6	4, 5	atombase 17003	. . . . . . 7 |- (P e. A -> P e. B)
7	6	3ad2ant3 899	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> P e. B)
8		cvr1.l	. . . . . . 7 |- L = (le` K)
9		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (lt` K) = (lt` K)
10		cvr1.j	. . . . . . 7 |- J = (join` K)
11	4, 8, 9, 10	latnle 16880	. . . . . 6 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ P e. B) -> (-. PLX <-> X(lt` K)(XJP)))
12	2, 3, 7, 11	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (-. PLX <-> X(lt` K)(XJP)))
13	12	biimpd 170	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (-. PLX -> X(lt` K)(XJP)))
14	2	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> K e. LatNEW)
15		simprll 456	. . . . . . . 8 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> z e. B)
16	4, 10	latjcl 16852	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ P e. B) -> (XJP) e. B)
17	2, 3, 7, 16	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (XJP) e. B)
18	17	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> (XJP) e. B)
19		simprrr 459	. . . . . . . 8 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> zL(XJP))
20		simpl1 879	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> K e. HL)
21		simpl2 880	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> X e. B)
22		simprrl 458	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> X(lt` K)z)
23	4, 8, 9, 5	hlrelat1 17049	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ z e. B) -> (X(lt` K)z -> E.q e. A (-. qLX /\ qLz)))
24	23	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ z e. B) /\ X(lt` K)z) -> E.q e. A (-. qLX /\ qLz))
25	20, 21, 15, 22, 24	syl31anc 1103	. . . . . . . . 9 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> E.q e. A (-. qLX /\ qLz))
26		simprrr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> qLz)
27		simplrr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz)) -> zL(XJP))
28	27	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> zL(XJP))
29		simpl1 879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> K e. HL)
30	29, 1	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> K e. LatNEW)
31	4, 5	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (q e. A -> q e. B)
32	31	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> q e. B)
33		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> z e. B)
34		simpl2 880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> X e. B)
35		simpl3 881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> P e. A)
36	35, 6	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> P e. B)
37	30, 34, 36, 16	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> (XJP) e. B)
38	4, 8	lattr 16858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((K e. LatNEW /\ (q e. B /\ z e. B /\ (XJP) e. B)) -> ((qLz /\ zL(XJP)) -> qL(XJP)))
39	30, 32, 33, 37, 38	syl13anc 1102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> ((qLz /\ zL(XJP)) -> qL(XJP)))
40	39	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> ((qLz /\ zL(XJP)) -> qL(XJP)))
41	26, 28, 40	mp2and 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> qL(XJP))
42	4, 8, 10, 5	hlexch 17034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((K e. HL /\ (q e. A /\ P e. A /\ X e. B) /\ -. qLX) -> (qL(XJP) -> PL(XJq)))
43	42	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((K e. HL /\ (q e. A /\ P e. A /\ X e. B)) /\ -. qLX) -> (qL(XJP) -> PL(XJq)))
44		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> q e. A)
45	44, 35, 34	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> (q e. A /\ P e. A /\ X e. B))
46	29, 45	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> (K e. HL /\ (q e. A /\ P e. A /\ X e. B)))
47		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz)) -> -. qLX)
48	43, 46, 47	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> (qL(XJP) -> PL(XJq)))
49	41, 48	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> PL(XJq))
50	4, 8, 10, 5	hlexchb 17035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ q e. A /\ X e. B) /\ -. PLX) -> (PL(XJq) <-> (XJP) = (XJq)))
51	50	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ q e. A /\ X e. B)) /\ -. PLX) -> (PL(XJq) <-> (XJP) = (XJq)))
52	35, 44, 34	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> (P e. A /\ q e. A /\ X e. B))
53	29, 52	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> (K e. HL /\ (P e. A /\ q e. A /\ X e. B)))
54		simpll 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz)) -> -. PLX)
55	51, 53, 54	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> (PL(XJq) <-> (XJP) = (XJq)))
56	49, 55	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> (XJP) = (XJq))
57	4, 8, 10	latjle12 16863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((K e. LatNEW /\ (X e. B /\ q e. B /\ z e. B)) -> ((XLz /\ qLz) <-> (XJq)Lz))
58	30, 34, 32, 33, 57	syl13anc 1102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> ((XLz /\ qLz) <-> (XJq)Lz))
59	58	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> ((XLz /\ qLz) <-> (XJq)Lz))
60	8, 9	pltle 16782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ z e. B) -> (X(lt` K)z -> XLz))
61	60	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ z e. B) /\ X(lt` K)z) -> XLz)
62	29, 34, 33	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> (K e. HL /\ X e. B /\ z e. B))
63		simplrl 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz)) -> X(lt` K)z)
64	61, 62, 63	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> XLz)
65	59, 64, 26	mpbi2and 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> (XJq)Lz)
66	56, 65	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) /\ ((-. PLX /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP))) /\ (-. qLX /\ qLz))) -> (XJP)Lz)
67	66	exp44 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ (z e. B /\ q e. A)) -> (-. PLX -> ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> ((-. qLX /\ qLz) -> (XJP)Lz))))
68	67	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (z e. B -> (q e. A -> (-. PLX -> ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> ((-. qLX /\ qLz) -> (XJP)Lz))))))
69	68	com34 40	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (z e. B -> (-. PLX -> (q e. A -> ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> ((-. qLX /\ qLz) -> (XJP)Lz))))))
70	69	imp3a 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> ((z e. B /\ -. PLX) -> (q e. A -> ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> ((-. qLX /\ qLz) -> (XJP)Lz)))))
71	70	com34 40	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> ((z e. B /\ -. PLX) -> ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> (q e. A -> ((-. qLX /\ qLz) -> (XJP)Lz)))))
72	71	imp32 390	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> (q e. A -> ((-. qLX /\ qLz) -> (XJP)Lz)))
73	72	r19.23adv 2215	. . . . . . . . 9 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> (E.q e. A (-. qLX /\ qLz) -> (XJP)Lz))
74	25, 73	mpd 29	. . . . . . . 8 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> (XJP)Lz)
75	4, 8, 14, 15, 18, 19, 74	latasymd 16859	. . . . . . 7 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ ((z e. B /\ -. PLX) /\ (X(lt` K)z /\ zL(XJP)))) -> z = (XJP))
76	75	exp44 416	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (z e. B -> (-. PLX -> ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> z = (XJP)))))
77	76	imp 377	. . . . 5 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) /\ z e. B) -> (-. PLX -> ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> z = (XJP))))
78	77	r19.21adva 2182	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (-. PLX -> A.z e. B ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> z = (XJP))))
79	13, 78	jcad 661	. . 3 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (-. PLX -> (X(lt` K)(XJP) /\ A.z e. B ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> z = (XJP)))))
80		cvr1.c	. . . . 5 |- C = ( <oNEW ` K)
81	4, 8, 9, 80	cvrval2 16991	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ (XJP) e. B) -> (XC(XJP) <-> (X(lt` K)(XJP) /\ A.z e. B ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> z = (XJP)))))
82	81, 17	syld3an3 1142	. . 3 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (XC(XJP) <-> (X(lt` K)(XJP) /\ A.z e. B ((X(lt` K)z /\ zL(XJP)) -> z = (XJP)))))
83	79, 82	sylibrd 221	. 2 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (-. PLX -> XC(XJP)))
84	4, 9, 80	cvrlt 16989	. . . . . 6 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ (XJP) e. B) /\ XC(XJP)) -> X(lt` K)(XJP))
85	84	ex 402	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ (XJP) e. B) -> (XC(XJP) -> X(lt` K)(XJP)))
86	16, 1	syl3an1 1130	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. B) -> (XJP) e. B)
87	85, 86	syld3an3 1142	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. B) -> (XC(XJP) -> X(lt` K)(XJP)))
88	11, 1	syl3an1 1130	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. B) -> (-. PLX <-> X(lt` K)(XJP)))
89	87, 88	sylibrd 221	. . 3 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. B) -> (XC(XJP) -> -. PLX))
90	89, 6	syl3an3 1132	. 2 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (XC(XJP) -> -. PLX))
91	83, 90	impbid 574	1 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ P e. A) -> (-. PLX <-> XC(XJP)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  ltcplt 16761  joincjn 16766  LatNEWclat 16834   <o_NEW ccvr 16980  AtomsNEWcatm 16981  HLchlt 16983

This theorem is referenced by:  cvr2 17055  cvrp 17056  cvrexchlem 17059  cvratlem 17061  cvrat3 17075

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-p0 16841  df-lat 16847  df-clat 16848  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-atlat 16986  df-hlat 17017

Copyright terms: Public domain