Theorem cvnsym 11862

Description: The covers relation is not symmetric.

Assertion

Ref	Expression
cvnsym	|- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A <o B -> -. B <o A))

Proof of Theorem cvnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvpss 11857	. 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A <o B -> A C. B))
2		cvpss 11857	. . . . 5 |- ((B e. CH /\ A e. CH) -> (B <o A -> B C. A))
3	2	ancoms 484	. . . 4 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (B <o A -> B C. A))
4		pssn2lp 2709	. . . . 5 |- -. (B C. A /\ A C. B)
5		imnan 261	. . . . 5 |- ((B C. A -> -. A C. B) <-> -. (B C. A /\ A C. B))
6	4, 5	mpbir 207	. . . 4 |- (B C. A -> -. A C. B)
7	3, 6	syl6 25	. . 3 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (B <o A -> -. A C. B))
8	7	con2d 107	. 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A C. B -> -. B <o A))
9	1, 8	syld 30	1 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A <o B -> -. B <o A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   C. wpss 2594   class class class wbr 3338  CHcch 10430   <o ccv 10466

This theorem is referenced by:  cvnref 11863

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-cv 11851

Copyright terms: Public domain