Theorem cvmsval 24906

Description: Elementhood in the set S of all even coverings of an open set in J. S is an even covering of U if it is a nonempty collection of disjoint open sets in C whose union is the preimage of U, such that each set u e. S is homeomorphic under F to U. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
cvmsval	|- ( C e. V -> ( T e. ( S ` U ) <-> ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   T, s, u, v   k, V, s, u, v

Allowed substitution hints:   S( v, u, k, s)   T( k)

Proof of Theorem cvmsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmcov.1	. . 3 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
2	1	cvmsi 24905	. 2 |- ( T e. ( S ` U ) -> ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
3		3anass 940	. . 3 |- ( ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) <-> ( U e. J /\ ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
4		id 20	. . . . . . . 8 |- ( U e. J -> U e. J )
5		pwexg 4343	. . . . . . . . 9 |- ( C e. V -> ~P C e. _V )
6		difexg 4311	. . . . . . . . 9 |- ( ~P C e. _V -> ( ~P C \ { (/) } ) e. _V )
7		rabexg 4313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P C \ { (/) } ) e. _V -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( C e. V -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } e. _V )
9		imaeq2 5158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = U -> ( `' F " k ) = ( `' F " U ) )
10	9	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U -> ( U. s = ( `' F " k ) <-> U. s = ( `' F " U ) ) )
11		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = U -> ( J ↾t k ) = ( J ↾t U ) )
12	11	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = U -> ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) = ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) )
13	12	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = U -> ( ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) <-> ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) )
14	13	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = U -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
15	14	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
16	10, 15	anbi12d 692	. . . . . . . . . 10 |- ( k = U -> ( ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) <-> ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
17	16	rabbidv 2908	. . . . . . . . 9 |- ( k = U -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } )
18	17, 1	fvmptg 5763	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. J /\ { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } e. _V ) -> ( S ` U ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } )
19	4, 8, 18	syl2anr 465	. . . . . . 7 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( S ` U ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } )
20	19	eleq2d 2471	. . . . . 6 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ( S ` U ) <-> T e. { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } ) )
21		unieq 3984	. . . . . . . . . 10 |- ( s = T -> U. s = U. T )
22	21	eqeq1d 2412	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( U. s = ( `' F " U ) <-> U. T = ( `' F " U ) ) )
23		difeq1 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = T -> ( s \ { u } ) = ( T \ { u } ) )
24	23	raleqdv 2870	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = T -> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) <-> A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
25	24	anbi1d 686	. . . . . . . . . 10 |- ( s = T -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) <-> ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
26	25	raleqbi1dv 2872	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) <-> A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
27	22, 26	anbi12d 692	. . . . . . . 8 |- ( s = T -> ( ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) <-> ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
28	27	elrab 3052	. . . . . . 7 |- ( T e. { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } <-> ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
29		eldifsn 3887	. . . . . . . . 9 |- ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) <-> ( T e. ~P C /\ T =/= (/) ) )
30		elpw2g 4323	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. V -> ( T e. ~P C <-> T C_ C ) )
31	30	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ~P C <-> T C_ C ) )
32	31	anbi1d 686	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( ( T e. ~P C /\ T =/= (/) ) <-> ( T C_ C /\ T =/= (/) ) ) )
33	29, 32	syl5bb 249	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) <-> ( T C_ C /\ T =/= (/) ) ) )
34	33	anbi1d 686	. . . . . . 7 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) <-> ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
35	28, 34	syl5bb 249	. . . . . 6 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } <-> ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
36	20, 35	bitrd 245	. . . . 5 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ( S ` U ) <-> ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
37	36	biimprd 215	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) -> T e. ( S ` U ) ) )
38	37	expimpd 587	. . 3 |- ( C e. V -> ( ( U e. J /\ ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) -> T e. ( S ` U ) ) )
39	3, 38	syl5bi 209	. 2 |- ( C e. V -> ( ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) -> T e. ( S ` U ) ) )
40	2, 39	impbid2 196	1 |- ( C e. V -> ( T e. ( S ` U ) <-> ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   |` cres 4839   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾_t crest 13603   Homeo chmeo 17738

This theorem is referenced by:  cvmsss2  24914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043