Theorem cvmsval 27160

Description: Elementhood in the set S of all even coverings of an open set in J. S is an even covering of U if it is a nonempty collection of disjoint open sets in C whose union is the preimage of U, such that each set u e. S is homeomorphic under F to U. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
cvmsval	|- ( C e. V -> ( T e. ( S ` U ) <-> ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   T, s, u, v   k, V, s, u, v

Allowed substitution hints:   S( v, u, k, s)   T( k)

Proof of Theorem cvmsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmcov.1	. . 3 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
2	1	cvmsi 27159	. 2 |- ( T e. ( S ` U ) -> ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
3		3anass 969	. . 3 |- ( ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) <-> ( U e. J /\ ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
4		id 22	. . . . . . . 8 |- ( U e. J -> U e. J )
5		pwexg 4481	. . . . . . . . 9 |- ( C e. V -> ~P C e. _V )
6		difexg 4445	. . . . . . . . 9 |- ( ~P C e. _V -> ( ~P C \ { (/) } ) e. _V )
7		rabexg 4447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P C \ { (/) } ) e. _V -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( C e. V -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } e. _V )
9		imaeq2 5170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = U -> ( `' F " k ) = ( `' F " U ) )
10	9	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U -> ( U. s = ( `' F " k ) <-> U. s = ( `' F " U ) ) )
11		oveq2 6104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = U -> ( J ↾t k ) = ( J ↾t U ) )
12	11	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = U -> ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) = ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) )
13	12	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = U -> ( ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) <-> ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) )
14	13	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = U -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
15	14	ralbidv 2740	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
16	10, 15	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( k = U -> ( ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) <-> ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
17	16	rabbidv 2969	. . . . . . . . 9 |- ( k = U -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } )
18	17, 1	fvmptg 5777	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. J /\ { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } e. _V ) -> ( S ` U ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } )
19	4, 8, 18	syl2anr 478	. . . . . . 7 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( S ` U ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } )
20	19	eleq2d 2510	. . . . . 6 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ( S ` U ) <-> T e. { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } ) )
21		unieq 4104	. . . . . . . . . 10 |- ( s = T -> U. s = U. T )
22	21	eqeq1d 2451	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( U. s = ( `' F " U ) <-> U. T = ( `' F " U ) ) )
23		difeq1 3472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = T -> ( s \ { u } ) = ( T \ { u } ) )
24	23	raleqdv 2928	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = T -> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) <-> A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
25	24	anbi1d 704	. . . . . . . . . 10 |- ( s = T -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) <-> ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
26	25	raleqbi1dv 2930	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) <-> A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
27	22, 26	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( s = T -> ( ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) <-> ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
28	27	elrab 3122	. . . . . . 7 |- ( T e. { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } <-> ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
29		eldifsn 4005	. . . . . . . . 9 |- ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) <-> ( T e. ~P C /\ T =/= (/) ) )
30		elpw2g 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. V -> ( T e. ~P C <-> T C_ C ) )
31	30	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ~P C <-> T C_ C ) )
32	31	anbi1d 704	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( ( T e. ~P C /\ T =/= (/) ) <-> ( T C_ C /\ T =/= (/) ) ) )
33	29, 32	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) <-> ( T C_ C /\ T =/= (/) ) ) )
34	33	anbi1d 704	. . . . . . 7 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) <-> ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
35	28, 34	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } <-> ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
36	20, 35	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ( S ` U ) <-> ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
37	36	biimprd 223	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) -> T e. ( S ` U ) ) )
38	37	expimpd 603	. . 3 |- ( C e. V -> ( ( U e. J /\ ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) -> T e. ( S ` U ) ) )
39	3, 38	syl5bi 217	. 2 |- ( C e. V -> ( ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) -> T e. ( S ` U ) ) )
40	2, 39	impbid2 204	1 |- ( C e. V -> ( T e. ( S ` U ) <-> ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   \ cdif 3330   i^i cin 3332   C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   {csn 3882   U.cuni 4096   e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   |` cres 4847   "cima 4848   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   ↾_t crest 14364   Homeochmeo 19331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fv 5431  df-ov 6099

This theorem is referenced by:  cvmsss2  27168