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Theorem cvmsss2 29999
Description: An open subset of an evenly covered set is evenly covered. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmsss2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  ->  (
( S `  U
)  =/=  (/)  ->  ( S `  V )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    k, V, s, u, v
Allowed substitution hints:    S( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmsss2
Dummy variables  a 
b  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3772 . 2  |-  ( ( S `  U )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( S `  U
) )
2 simpl2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  V  e.  J )
3 simpl1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmtop1 29985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  C  e.  Top )
65adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  C  e.  Top )
7 cvmcov.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
87cvmsss 29992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( S `  U )  ->  x  C_  C )
98adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  x  C_  C )
109sselda 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  C )
11 cvmcn 29987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
123, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
13 cnima 20273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  V  e.  J )  ->  ( `' F " V )  e.  C
)
1412, 2, 13syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( `' F " V )  e.  C
)
1514adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( `' F " V )  e.  C )
16 inopn 19921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Top  /\  y  e.  C  /\  ( `' F " V )  e.  C )  -> 
( y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  C )
176, 10, 15, 16syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  C )
18 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
1917, 18fmptd 6059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) : x --> C )
20 frn 5750 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) : x --> C  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  C )
2119, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  C
)
227cvmsn0 29993 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S `  U )  ->  x  =/=  (/) )
2322adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  x  =/=  (/) )
24 dmmptg 5349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  _V  ->  dom  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  x )
25 inex1g 4565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  x  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  _V )
2624, 25mprg 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  x
2726eqeq1i 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  (/)  <->  x  =  (/) )
28 dm0rn0 5068 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  (/) )
2927, 28bitr3i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  (/) )
3029necon3bii 2693 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  (/)  <->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) )
3123, 30sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) )
3221, 31jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  C  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) ) )
33 inss2 3684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( `' F " V )
34 elpw2g 4585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " V )  e.  C  ->  (
( y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ~P ( `' F " V )  <-> 
( y  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( `' F " V ) ) )
3515, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ~P ( `' F " V )  <-> 
( y  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( `' F " V ) ) )
3633, 35mpbiri 237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ~P ( `' F " V ) )
3736, 18fmptd 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V ) )
38 frn 5750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  ~P ( `' F " V ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  ~P ( `' F " V ) )
40 sspwuni 4386 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  ~P ( `' F " V )  <->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  ( `' F " V ) )
4139, 40sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  ( `' F " V ) )
42 simpl3 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  V  C_  U )
43 imass2 5221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V 
C_  U  ->  ( `' F " V ) 
C_  ( `' F " U ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( `' F " V )  C_  ( `' F " U ) )
457cvmsuni 29994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( S `  U )  ->  U. x  =  ( `' F " U ) )
4645adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  U. x  =  ( `' F " U ) )
4744, 46sseqtr4d 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( `' F " V )  C_  U. x
)
4847sselda 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  -> 
z  e.  U. x
)
49 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )
50 ineq1 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  t  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
5150eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  t  ->  (
( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  <->  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
5251rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  x  /\  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  ->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
5349, 52mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  x  ->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
5453ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
55 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  t  e. 
_V
5655inex1 4563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e. 
_V
5718elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  _V  ->  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
5954, 58sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
60 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  z  e.  t )
61 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  z  e.  ( `' F " V ) )
6260, 61elind 3651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  z  e.  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
63 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( z  e.  w  <->  z  e.  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
6463rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  /\  z  e.  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) z  e.  w )
6559, 62, 64syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  E. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) z  e.  w )
6665rexlimdvaa 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  -> 
( E. t  e.  x  z  e.  t  ->  E. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) z  e.  w ) )
67 eluni2 4221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U. x  <->  E. t  e.  x  z  e.  t )
68 eluni2 4221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U. ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) z  e.  w )
6966, 67, 683imtr4g 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  -> 
( z  e.  U. x  ->  z  e.  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) )
7048, 69mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  -> 
z  e.  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
7170ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( z  e.  ( `' F " V )  ->  z  e.  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) )
7271ssrdv 3471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( `' F " V )  C_  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
7341, 72eqssd 3482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( `' F " V ) )
74 eldifsn 4123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } )  <->  ( z  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  /\  z  =/=  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
75 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
7618elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. y  e.  x  z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. y  e.  x  z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
7850equcoms 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  y  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
7978necon3ai 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  i^i  ( `' F " V ) )  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  -.  t  =  y
)
80 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ( S `  U
) )
81 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  t  e.  x )
82 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
837cvmsdisj 29995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( S `
 U )  /\  t  e.  x  /\  y  e.  x )  ->  ( t  =  y  \/  ( t  i^i  y )  =  (/) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  (
t  =  y  \/  ( t  i^i  y
)  =  (/) ) )
8584ord 379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  ( -.  t  =  y  ->  ( t  i^i  y
)  =  (/) ) )
86 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( t  i^i  y
)
87 sseq0 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( t  i^i  y )  /\  (
t  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( t  i^i  y
)  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) )
8886, 87mpan 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) )
8979, 85, 88syl56 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  i^i  ( `' F " V ) )  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) ) )
90 neeq1 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( z  =/=  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  <-> 
( y  i^i  ( `' F " V ) )  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
91 ineq2 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
92 inindir 3681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
9391, 92syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  ( ( t  i^i  y
)  i^i  ( `' F " V ) ) )
9493eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  <->  (
( t  i^i  y
)  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) ) )
9590, 94imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( z  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  ( (
t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) )  <->  ( ( y  i^i  ( `' F " V ) )  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  ( (
t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) ) ) )
9689, 95syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  (
z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( z  =/=  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) ) )
9796rexlimdva 2918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( E. y  e.  x  z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( z  =/=  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) ) )
9877, 97syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
z  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  ->  (
z  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) ) )
9998impd 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( z  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  /\  z  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  ->  (
( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
10074, 99syl5bi 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } )  -> 
( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
101100ralrimiv 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { ( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) )
102 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  C_  t
103 resabs1 5150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  C_  t  ->  ( ( F  |`  t
)  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  |`  t )  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
1057cvmshmeo 29996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( S `
 U )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t
)  e.  ( ( Ct  t ) Homeo ( Jt  U ) ) )
106105adantll 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t )  e.  ( ( Ct  t )
Homeo ( Jt  U ) ) )
1075adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  C  e.  Top )
1089sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  t  e.  C )
109 elssuni 4246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  C  ->  t  C_ 
U. C )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  t  C_ 
U. C )
111 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. C  =  U. C
112111restuni 20170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  Top  /\  t  C_  U. C )  ->  t  =  U. ( Ct  t ) )
113107, 110, 112syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  t  =  U. ( Ct  t ) )
114102, 113syl5sseq 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) 
C_  U. ( Ct  t ) )
115 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Ct  t )  =  U. ( Ct  t )
116115hmeores 20778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  |`  t
)  e.  ( ( Ct  t ) Homeo ( Jt  U ) )  /\  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) 
C_  U. ( Ct  t ) )  ->  ( ( F  |`  t )  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( Jt  U )t  ( ( F  |`  t ) " (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) ) )
117106, 114, 116syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( F  |`  t
)  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( ( Jt  U )t  ( ( F  |`  t
) " ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) ) )
118104, 117syl5eqelr 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( ( Jt  U )t  ( ( F  |`  t
) " ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) ) )
119102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) 
C_  t )
120 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  t  e.  x )
121 restabs 20173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  C_  t  /\  t  e.  x )  ->  ( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
122107, 119, 120, 121syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
123 incom 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( ( `' F " V )  i^i  t
)
124 cnvresima 5341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( F  |`  t
) " V )  =  ( ( `' F " V )  i^i  t )
125123, 124eqtr4i 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( `' ( F  |`  t ) " V
)
126125imaeq2i 5183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  |`  t ) " ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( ( F  |`  t ) " ( `' ( F  |`  t ) " V
) )
1273adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
128 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  x  e.  ( S `  U
) )
1297cvmsf1o 29997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  x  e.  ( S `  U
)  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> U )
130127, 128, 120, 129syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> U )
131 f1ofo 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> U  ->  ( F  |`  t ) : t
-onto-> U )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t ) : t -onto-> U )
13342adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  V  C_  U )
134 foimacnv 5846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  |`  t
) : t -onto-> U  /\  V  C_  U
)  ->  ( ( F  |`  t ) "
( `' ( F  |`  t ) " V
) )  =  V )
135132, 133, 134syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( F  |`  t
) " ( `' ( F  |`  t
) " V ) )  =  V )
136126, 135syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( F  |`  t
) " ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  V )
137136oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( Jt  U )t  ( ( F  |`  t ) " (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )  =  ( ( Jt  U )t  V ) )
138 cvmtop2 29986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  J  e.  Top )
1393, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  J  e.  Top )
1407cvmsrcl 29989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( S `  U )  ->  U  e.  J )
141140adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  U  e.  J )
142 restabs 20173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  V  C_  U  /\  U  e.  J )  ->  (
( Jt  U )t  V )  =  ( Jt  V ) )
143139, 42, 141, 142syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( ( Jt  U )t  V )  =  ( Jt  V ) )
144143adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( Jt  U )t  V )  =  ( Jt  V ) )
145137, 144eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( Jt  U )t  ( ( F  |`  t ) " (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )  =  ( Jt  V ) )
146122, 145oveq12d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( Jt  U )t  ( ( F  |`  t ) " (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) )  =  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( Jt  V ) ) )
147118, 146eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) )
148101, 147jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) )
149148ralrimiva 2840 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  A. t  e.  x  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { ( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) )
15056rgenw 2787 . . . . . . . . 9  |-  A. t  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e. 
_V
15150cbvmptv 4514 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( t  e.  x  |->  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
152 sneq 4007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  { w }  =  { ( t  i^i  ( `' F " V ) ) } )
153152difeq2d 3584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
)  =  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) )
154 ineq1 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( w  i^i  z
)  =  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z ) )
155154eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( w  i^i  z )  =  (/)  <->  (
( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
156153, 155raleqbidv 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  <->  A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
157 reseq2 5117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( F  |`  w
)  =  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
158 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( Ct  w )  =  ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
159158oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( Ct  w )
Homeo ( Jt  V ) )  =  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( Jt  V ) ) )
160157, 159eleq12d 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( F  |`  w )  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) )  <->  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( Jt  V ) ) ) )
161156, 160anbi12d 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) )  <->  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) )
162151, 161ralrnmpt 6044 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  x  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
w } ) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w )  e.  ( ( Ct  w )
Homeo ( Jt  V ) ) )  <->  A. t  e.  x  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { ( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) )
163150, 162ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) )  <->  A. t  e.  x  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) )
164149, 163sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
w } ) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w )  e.  ( ( Ct  w )
Homeo ( Jt  V ) ) ) )
16573, 164jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( U. ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( `' F " V )  /\  A. w  e. 
ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) )
1667cvmscbv 29983 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( a  e.  J  |->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. w  e.  b  ( A. z  e.  ( b  \  {
w } ) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w )  e.  ( ( Ct  w )
Homeo ( Jt  a ) ) ) ) } )
167166cvmsval 29991 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Top  ->  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( S `  V )  <-> 
( V  e.  J  /\  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  C  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) )  /\  ( U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( `' F " V )  /\  A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) ) ) )
1685, 167syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( S `  V )  <->  ( V  e.  J  /\  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  C  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) )  /\  ( U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( `' F " V )  /\  A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) ) ) )
1692, 32, 165, 168mpbir3and 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( S `  V ) )
170 ne0i 3768 . . . . 5  |-  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( S `  V )  ->  ( S `  V )  =/=  (/) )
171169, 170syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( S `  V
)  =/=  (/) )
172171ex 436 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  ->  (
x  e.  ( S `
 U )  -> 
( S `  V
)  =/=  (/) ) )
173172exlimdv 1769 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  ->  ( E. x  x  e.  ( S `  U )  ->  ( S `  V )  =/=  (/) ) )
1741, 173syl5bi 221 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  ->  (
( S `  U
)  =/=  (/)  ->  ( S `  V )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   U.cuni 4217    |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   ran crn 4852    |` cres 4853   "cima 4854   -->wf 5595   -onto->wfo 5597   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   ↾t crest 15312   Topctop 19909    Cn ccn 20232   Homeochmeo 20760   CovMap ccvm 29980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-fin 7579  df-fi 7929  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-cn 20235  df-hmeo 20762  df-cvm 29981
This theorem is referenced by:  cvmcov2  30000
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