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Theorem cvmsss2 30069
Description: An open subset of an evenly covered set is evenly covered. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmsss2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( ( S ` U ) =/= (/) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   k, V, s, u, v
Allowed substitution hints:   S( v, u, k, s)
Proof of Theorem cvmsss2
Dummy variables a b t w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3732 . 2 |- ( ( S ` U ) =/= (/) <-> E. x x e. ( S ` U ) )
2 simpl2 1034 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> V e. J )
3 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
4 cvmtop1 30055 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> C e. Top )
65adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> C e. Top )
7 cvmcov.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
87cvmsss 30062 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( S ` U ) -> x C_ C )
98adantl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> x C_ C )
109sselda 3418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> y e. C )
11 cvmcn 30057 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
123, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> F e. ( C Cn J ) )
13 cnima 20358 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( C Cn J ) /\ V e. J ) -> ( `' F " V ) e. C )
1412, 2, 13syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) e. C )
1514adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( `' F " V ) e. C )
16 inopn 20006 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Top /\ y e. C /\ ( `' F " V ) e. C ) -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. C )
176, 10, 15, 16syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. C )
18 eqid 2471 . . . . . . . . 9 |- ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) )
1917, 18fmptd 6061 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> C )
20 frn 5747 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> C -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C )
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C )
227cvmsn0 30063 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( S ` U ) -> x =/= (/) )
2322adantl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> x =/= (/) )
24 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. x ( y i^i ( `' F " V ) ) e. _V -> dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = x )
25 inex1g 4539 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. x -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. _V )
2624, 25mprg 2770 . . . . . . . . . . 11 |- dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = x
2726eqeq1i 2476 . . . . . . . . . 10 |- ( dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) <-> x = (/) )
28 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . 10 |- ( dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) <-> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) )
2927, 28bitr3i 259 . . . . . . . . 9 |- ( x = (/) <-> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) )
3029necon3bii 2695 . . . . . . . 8 |- ( x =/= (/) <-> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) )
3123, 30sylib 201 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) )
3221, 31jca 541 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C /\ ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) ) )
33 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i ( `' F " V ) ) C_ ( `' F " V )
34 elpw2g 4564 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " V ) e. C -> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) e. ~P ( `' F " V ) <-> ( y i^i ( `' F " V ) ) C_ ( `' F " V ) ) )
3515, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) e. ~P ( `' F " V ) <-> ( y i^i ( `' F " V ) ) C_ ( `' F " V ) ) )
3633, 35mpbiri 241 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. ~P ( `' F " V ) )
3736, 18fmptd 6061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V ) )
38 frn 5747 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ~P ( `' F " V ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ~P ( `' F " V ) )
40 sspwuni 4360 . . . . . . . . 9 |- ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ~P ( `' F " V ) <-> U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ( `' F " V ) )
4139, 40sylib 201 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ( `' F " V ) )
42 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> V C_ U )
43 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V C_ U -> ( `' F " V ) C_ ( `' F " U ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) C_ ( `' F " U ) )
457cvmsuni 30064 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( S ` U ) -> U. x = ( `' F " U ) )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U. x = ( `' F " U ) )
4744, 46sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) C_ U. x )
4847sselda 3418 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> z e. U. x )
49 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) )
50 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = t -> ( y i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) )
5150eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = t -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) <-> ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
5251rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. x /\ ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) ) -> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
5349, 52mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. x -> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
5453ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
55 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- t e. _V
5655inex1 4537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V
5718elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
5954, 58sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
60 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> z e. t )
61 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> z e. ( `' F " V ) )
6260, 61elind 3609 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) )
63 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( z e. w <-> z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
6463rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) /\ z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) ) -> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w )
6559, 62, 64syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w )
6665rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> ( E. t e. x z e. t -> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w ) )
67 eluni2 4194 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U. x <-> E. t e. x z e. t )
68 eluni2 4194 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w )
6966, 67, 683imtr4g 278 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> ( z e. U. x -> z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ) )
7048, 69mpd 15 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
7170ex 441 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( z e. ( `' F " V ) -> z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ) )
7271ssrdv 3424 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) C_ U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
7341, 72eqssd 3435 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) )
74 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) <-> ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) /\ z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
75 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
7618elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. _V -> ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x z = ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x z = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
7850equcoms 1872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = y -> ( y i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) )
7978necon3ai 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> -. t = y )
80 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> x e. ( S ` U ) )
81 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> t e. x )
82 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> y e. x )
837cvmsdisj 30065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( S ` U ) /\ t e. x /\ y e. x ) -> ( t = y \/ ( t i^i y ) = (/) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( t = y \/ ( t i^i y ) = (/) ) )
8584ord 384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( -. t = y -> ( t i^i y ) = (/) ) )
86 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) C_ ( t i^i y )
87 sseq0 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) C_ ( t i^i y ) /\ ( t i^i y ) = (/) ) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) )
8886, 87mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t i^i y ) = (/) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) )
8979, 85, 88syl56 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) ) )
90 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) <-> ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
91 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
92 inindir 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i ( y i^i ( `' F " V ) ) )
9391, 92syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) )
9493eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) <-> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) ) )
9590, 94imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) <-> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) ) ) )
9689, 95syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
9796rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( E. y e. x z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
9877, 97syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
9998impd 438 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) /\ z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
10074, 99syl5bi 225 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
101100ralrimiv 2808 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) )
102 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t
103 resabs1 5139 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t -> ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) )
1057cvmshmeo 30066 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( S ` U ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) e. ( ( C ↾t t ) Homeo ( J ↾t U ) ) )
106105adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) e. ( ( C ↾t t ) Homeo ( J ↾t U ) ) )
1075adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> C e. Top )
1089sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t e. C )
109 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. C -> t C_ U. C )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t C_ U. C )
111 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. C = U. C
112111restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. Top /\ t C_ U. C ) -> t = U. ( C ↾t t ) )
113107, 110, 112syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t = U. ( C ↾t t ) )
114102, 113syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ U. ( C ↾t t ) )
115 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( C ↾t t ) = U. ( C ↾t t )
116115hmeores 20863 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F |` t ) e. ( ( C ↾t t ) Homeo ( J ↾t U ) ) /\ ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ U. ( C ↾t t ) ) -> ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) )
117106, 114, 116syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) )
118104, 117syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) )
119102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t )
120 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t e. x )
121 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Top /\ ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t /\ t e. x ) -> ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
122107, 119, 120, 121syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
123 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( ( `' F " V ) i^i t )
124 cnvresima 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( F |` t ) " V ) = ( ( `' F " V ) i^i t )
125123, 124eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( `' ( F |` t ) " V )
126125imaeq2i 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( ( F |` t ) " ( `' ( F |` t ) " V ) )
1273adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> F e. ( C CovMap J ) )
128 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> x e. ( S ` U ) )
1297cvmsf1o 30067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ x e. ( S ` U ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) : t -1-1-onto-> U )
130127, 128, 120, 129syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) : t -1-1-onto-> U )
131 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F |` t ) : t -1-1-onto-> U -> ( F |` t ) : t -onto-> U )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) : t -onto-> U )
13342adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> V C_ U )
134 foimacnv 5845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F |` t ) : t -onto-> U /\ V C_ U ) -> ( ( F |` t ) " ( `' ( F |` t ) " V ) ) = V )
135132, 133, 134syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( F |` t ) " ( `' ( F |` t ) " V ) ) = V )
136126, 135syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = V )
137136oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) = ( ( J ↾t U ) ↾t V ) )
138 cvmtop2 30056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> J e. Top )
1393, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> J e. Top )
1407cvmsrcl 30059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( S ` U ) -> U e. J )
141140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U e. J )
142 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ V C_ U /\ U e. J ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t V ) = ( J ↾t V ) )
143139, 42, 141, 142syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t V ) = ( J ↾t V ) )
144143adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t V ) = ( J ↾t V ) )
145137, 144eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) = ( J ↾t V ) )
146122, 145oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) = ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) )
147118, 146eleqtrd 2551 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) )
148101, 147jca 541 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
149148ralrimiva 2809 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> A. t e. x ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
15056rgenw 2768 . . . . . . . . 9 |- A. t e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V
15150cbvmptv 4488 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( t e. x |-> ( t i^i ( `' F " V ) ) )
152 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> { w } = { ( t i^i ( `' F " V ) ) } )
153152difeq2d 3540 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) = ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) )
154 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( w i^i z ) = ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) )
155154eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( w i^i z ) = (/) <-> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
156153, 155raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) <-> A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
157 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
158 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( C ↾t w ) = ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
159158oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) = ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) )
160157, 159eleq12d 2543 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) <-> ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
161156, 160anbi12d 725 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) <-> ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) )
162151, 161ralrnmpt 6046 . . . . . . . . 9 |- ( A. t e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) <-> A. t e. x ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) )
163150, 162ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) <-> A. t e. x ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
164149, 163sylibr 217 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
16573, 164jca 541 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) /\ A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) )
1667cvmscbv 30053 . . . . . . . 8 |- S = ( a e. J |-> { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " a ) /\ A. w e. b ( A. z e. ( b \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) } )
167166cvmsval 30061 . . . . . . 7 |- ( C e. Top -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) <-> ( V e. J /\ ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C /\ ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) ) /\ ( U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) /\ A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) ) ) )
1685, 167syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) <-> ( V e. J /\ ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C /\ ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) ) /\ ( U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) /\ A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) ) ) )
1692, 32, 165, 168mpbir3and 1213 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) )
170 ne0i 3728 . . . . 5 |- ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) -> ( S ` V ) =/= (/) )
171169, 170syl 17 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( S ` V ) =/= (/) )
172171ex 441 . . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( x e. ( S ` U ) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
173172exlimdv 1787 . 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( E. x x e. ( S ` U ) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
1741, 173syl5bi 225 1 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( ( S ` U ) =/= (/) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994   Cn ccn 20317   Homeochmeo 20845   CovMap ccvm 30050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-hmeo 20847  df-cvm 30051
This theorem is referenced by:  cvmcov2  30070
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