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Theorem cvmsss2 27093
Description: An open subset of an evenly covered set is evenly covered. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmsss2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  ->  (
( S `  U
)  =/=  (/)  ->  ( S `  V )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    k, V, s, u, v
Allowed substitution hints:    S( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmsss2
Dummy variables  a 
b  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3643 . 2  |-  ( ( S `  U )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( S `  U
) )
2 simpl2 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  V  e.  J )
3 simpl1 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmtop1 27079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  C  e.  Top )
65adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  C  e.  Top )
7 cvmcov.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
87cvmsss 27086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( S `  U )  ->  x  C_  C )
98adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  x  C_  C )
109sselda 3353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  C )
11 cvmcn 27081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
123, 11syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
13 cnima 18828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  V  e.  J )  ->  ( `' F " V )  e.  C
)
1412, 2, 13syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( `' F " V )  e.  C
)
1514adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( `' F " V )  e.  C )
16 inopn 18471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Top  /\  y  e.  C  /\  ( `' F " V )  e.  C )  -> 
( y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  C )
176, 10, 15, 16syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  C )
18 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
1917, 18fmptd 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) : x --> C )
20 frn 5562 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) : x --> C  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  C )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  C
)
227cvmsn0 27087 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S `  U )  ->  x  =/=  (/) )
2322adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  x  =/=  (/) )
24 dmmptg 5332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  _V  ->  dom  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  x )
25 inex1g 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  x  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  _V )
2624, 25mprg 2783 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  x
2726eqeq1i 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  (/)  <->  x  =  (/) )
28 dm0rn0 5052 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  (/) )
2927, 28bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  (/) )
3029necon3bii 2638 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  (/)  <->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) )
3123, 30sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) )
3221, 31jca 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  C  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) ) )
33 inss2 3568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( `' F " V )
34 elpw2g 4452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " V )  e.  C  ->  (
( y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ~P ( `' F " V )  <-> 
( y  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( `' F " V ) ) )
3515, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ~P ( `' F " V )  <-> 
( y  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( `' F " V ) ) )
3633, 35mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ~P ( `' F " V ) )
3736, 18fmptd 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V ) )
38 frn 5562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  ~P ( `' F " V ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  ~P ( `' F " V ) )
40 sspwuni 4253 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  ~P ( `' F " V )  <->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  ( `' F " V ) )
4139, 40sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  ( `' F " V ) )
42 simpl3 988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  V  C_  U )
43 imass2 5201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V 
C_  U  ->  ( `' F " V ) 
C_  ( `' F " U ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( `' F " V )  C_  ( `' F " U ) )
457cvmsuni 27088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( S `  U )  ->  U. x  =  ( `' F " U ) )
4645adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  U. x  =  ( `' F " U ) )
4744, 46sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( `' F " V )  C_  U. x
)
4847sselda 3353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  -> 
z  e.  U. x
)
49 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )
50 ineq1 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  t  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
5150eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  t  ->  (
( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  <->  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
5251rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  x  /\  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  ->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
5349, 52mpan2 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  x  ->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
5453ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
55 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  t  e. 
_V
5655inex1 4430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e. 
_V
5718elrnmpt 5082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  _V  ->  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. y  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
5954, 58sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
60 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  z  e.  t )
61 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  z  e.  ( `' F " V ) )
6260, 61elind 3537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  z  e.  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
63 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( z  e.  w  <->  z  e.  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
6463rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  /\  z  e.  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) z  e.  w )
6559, 62, 64syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  /\  ( t  e.  x  /\  z  e.  t
) )  ->  E. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) z  e.  w )
6665rexlimdvaa 2840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  -> 
( E. t  e.  x  z  e.  t  ->  E. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) z  e.  w ) )
67 eluni2 4092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U. x  <->  E. t  e.  x  z  e.  t )
68 eluni2 4092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U. ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) z  e.  w )
6966, 67, 683imtr4g 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  -> 
( z  e.  U. x  ->  z  e.  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) )
7048, 69mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  z  e.  ( `' F " V ) )  -> 
z  e.  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
7170ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( z  e.  ( `' F " V )  ->  z  e.  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) )
7271ssrdv 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( `' F " V )  C_  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
7341, 72eqssd 3370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( `' F " V ) )
74 eldifsn 3997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } )  <->  ( z  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  /\  z  =/=  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
75 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
7618elrnmpt 5082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. y  e.  x  z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  <->  E. y  e.  x  z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
7850equcoms 1738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  y  ->  (
y  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
7978necon3ai 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  i^i  ( `' F " V ) )  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  -.  t  =  y
)
80 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ( S `  U
) )
81 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  t  e.  x )
82 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
837cvmsdisj 27089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( S `
 U )  /\  t  e.  x  /\  y  e.  x )  ->  ( t  =  y  \/  ( t  i^i  y )  =  (/) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  (
t  =  y  \/  ( t  i^i  y
)  =  (/) ) )
8584ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  ( -.  t  =  y  ->  ( t  i^i  y
)  =  (/) ) )
86 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( t  i^i  y
)
87 sseq0 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  C_  ( t  i^i  y )  /\  (
t  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( t  i^i  y
)  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) )
8886, 87mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) )
8979, 85, 88syl56 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  i^i  ( `' F " V ) )  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) ) )
90 neeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( z  =/=  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  <-> 
( y  i^i  ( `' F " V ) )  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
91 ineq2 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
92 inindir 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )
9391, 92syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  ( ( t  i^i  y
)  i^i  ( `' F " V ) ) )
9493eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  <->  (
( t  i^i  y
)  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) ) )
9590, 94imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( z  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  ( (
t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) )  <->  ( ( y  i^i  ( `' F " V ) )  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  ( (
t  i^i  y )  i^i  ( `' F " V ) )  =  (/) ) ) )
9689, 95syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J
)  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U
)  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  /\  y  e.  x )  ->  (
z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( z  =/=  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) ) )
9796rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( E. y  e.  x  z  =  ( y  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( z  =/=  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) ) )
9877, 97syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
z  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  ->  (
z  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) ) )
9998imp3a 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( z  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  /\  z  =/=  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  ->  (
( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
10074, 99syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } )  -> 
( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
101100ralrimiv 2796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { ( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) )
102 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  C_  t
103 resabs1 5136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  C_  t  ->  ( ( F  |`  t
)  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  |`  t )  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
1057cvmshmeo 27090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( S `
 U )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t
)  e.  ( ( Ct  t ) Homeo ( Jt  U ) ) )
106105adantll 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t )  e.  ( ( Ct  t )
Homeo ( Jt  U ) ) )
1075adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  C  e.  Top )
1089sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  t  e.  C )
109 elssuni 4118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  C  ->  t  C_ 
U. C )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  t  C_ 
U. C )
111 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. C  =  U. C
112111restuni 18725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  Top  /\  t  C_  U. C )  ->  t  =  U. ( Ct  t ) )
113107, 110, 112syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  t  =  U. ( Ct  t ) )
114102, 113syl5sseq 3401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) 
C_  U. ( Ct  t ) )
115 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Ct  t )  =  U. ( Ct  t )
116115hmeores 19303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  |`  t
)  e.  ( ( Ct  t ) Homeo ( Jt  U ) )  /\  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) 
C_  U. ( Ct  t ) )  ->  ( ( F  |`  t )  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( Jt  U )t  ( ( F  |`  t ) " (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) ) )
117106, 114, 116syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( F  |`  t
)  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( ( Jt  U )t  ( ( F  |`  t
) " ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) ) )
118104, 117syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( ( Jt  U )t  ( ( F  |`  t
) " ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) ) )
119102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) 
C_  t )
120 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  t  e.  x )
121 restabs 18728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  C_  t  /\  t  e.  x )  ->  ( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
122107, 119, 120, 121syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
123 incom 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( ( `' F " V )  i^i  t
)
124 cnvresima 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( F  |`  t
) " V )  =  ( ( `' F " V )  i^i  t )
125123, 124eqtr4i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  =  ( `' ( F  |`  t ) " V
)
126125imaeq2i 5164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  |`  t ) " ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( ( F  |`  t ) " ( `' ( F  |`  t ) " V
) )
1273adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
128 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  x  e.  ( S `  U
) )
1297cvmsf1o 27091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  x  e.  ( S `  U
)  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> U )
130127, 128, 120, 129syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> U )
131 f1ofo 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> U  ->  ( F  |`  t ) : t
-onto-> U )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  t ) : t -onto-> U )
13342adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  V  C_  U )
134 foimacnv 5655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  |`  t
) : t -onto-> U  /\  V  C_  U
)  ->  ( ( F  |`  t ) "
( `' ( F  |`  t ) " V
) )  =  V )
135132, 133, 134syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( F  |`  t
) " ( `' ( F  |`  t
) " V ) )  =  V )
136126, 135syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( F  |`  t
) " ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  V )
137136oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( Jt  U )t  ( ( F  |`  t ) " (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )  =  ( ( Jt  U )t  V ) )
138 cvmtop2 27080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  J  e.  Top )
1393, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  J  e.  Top )
1407cvmsrcl 27083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( S `  U )  ->  U  e.  J )
141140adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  U  e.  J )
142 restabs 18728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  V  C_  U  /\  U  e.  J )  ->  (
( Jt  U )t  V )  =  ( Jt  V ) )
143139, 42, 141, 142syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( ( Jt  U )t  V )  =  ( Jt  V ) )
144143adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( Jt  U )t  V )  =  ( Jt  V ) )
145137, 144eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( Jt  U )t  ( ( F  |`  t ) " (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )  =  ( Jt  V ) )
146122, 145oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  (
( ( Ct  t )t  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( Jt  U )t  ( ( F  |`  t ) " (
t  i^i  ( `' F " V ) ) ) ) )  =  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( Jt  V ) ) )
147118, 146eleqtrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) )
148101, 147jca 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  /\  t  e.  x )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) )
149148ralrimiva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  A. t  e.  x  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { ( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) )
15056rgenw 2781 . . . . . . . . 9  |-  A. t  e.  x  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  e. 
_V
15150cbvmptv 4380 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( t  e.  x  |->  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
152 sneq 3884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  ->  { w }  =  { ( t  i^i  ( `' F " V ) ) } )
153152difeq2d 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
)  =  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) )
154 ineq1 3542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( w  i^i  z
)  =  ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z ) )
155154eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( w  i^i  z )  =  (/)  <->  (
( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
156153, 155raleqbidv 2929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  <->  A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
157 reseq2 5101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( F  |`  w
)  =  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
158 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( Ct  w )  =  ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) )
159158oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( Ct  w )
Homeo ( Jt  V ) )  =  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( Jt  V ) ) )
160157, 159eleq12d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( F  |`  w )  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) )  <->  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )
Homeo ( Jt  V ) ) ) )
161156, 160anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( t  i^i  ( `' F " V ) )  -> 
( ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) )  <->  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) )
162151, 161ralrnmpt 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  x  (
t  i^i  ( `' F " V ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
w } ) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w )  e.  ( ( Ct  w )
Homeo ( Jt  V ) ) )  <->  A. t  e.  x  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { ( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  (
t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) )
163150, 162ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) )  <->  A. t  e.  x  ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
( t  i^i  ( `' F " V ) ) } ) ( ( t  i^i  ( `' F " V ) )  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( ( Ct  ( t  i^i  ( `' F " V ) ) ) Homeo ( Jt  V ) ) ) )
164149, 163sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  \  {
w } ) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w )  e.  ( ( Ct  w )
Homeo ( Jt  V ) ) ) )
16573, 164jca 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( U. ran  (
y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( `' F " V )  /\  A. w  e. 
ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) )
1667cvmscbv 27077 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( a  e.  J  |->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. w  e.  b  ( A. z  e.  ( b  \  {
w } ) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w )  e.  ( ( Ct  w )
Homeo ( Jt  a ) ) ) ) } )
167166cvmsval 27085 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Top  ->  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( S `  V )  <-> 
( V  e.  J  /\  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
C_  C  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) )  /\  ( U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( `' F " V )  /\  A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) ) ) )
1685, 167syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( S `  V )  <->  ( V  e.  J  /\  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  C_  C  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =/=  (/) )  /\  ( U. ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  =  ( `' F " V )  /\  A. w  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) ( A. z  e.  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) ) 
\  { w }
) ( w  i^i  z )  =  (/)  /\  ( F  |`  w
)  e.  ( ( Ct  w ) Homeo ( Jt  V ) ) ) ) ) ) )
1692, 32, 165, 168mpbir3and 1166 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( S `  V ) )
170 ne0i 3640 . . . . 5  |-  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( y  i^i  ( `' F " V ) ) )  e.  ( S `  V )  ->  ( S `  V )  =/=  (/) )
171169, 170syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  ( S `  U ) )  -> 
( S `  V
)  =/=  (/) )
172171ex 434 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  ->  (
x  e.  ( S `
 U )  -> 
( S `  V
)  =/=  (/) ) )
173172exlimdv 1695 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  ->  ( E. x  x  e.  ( S `  U )  ->  ( S `  V )  =/=  (/) ) )
1741, 173syl5bi 217 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  V  e.  J  /\  V  C_  U )  ->  (
( S `  U
)  =/=  (/)  ->  ( S `  V )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837    |` cres 4838   "cima 4839   -->wf 5411   -onto->wfo 5413   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355   Topctop 18457    Cn ccn 18787   Homeochmeo 19285   CovMap ccvm 27074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cn 18790  df-hmeo 19287  df-cvm 27075
This theorem is referenced by:  cvmcov2  27094
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