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Theorem cvmsss2 27093
Description: An open subset of an evenly covered set is evenly covered. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmsss2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( ( S ` U ) =/= (/) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   k, V, s, u, v
Allowed substitution hints:   S( v, u, k, s)
Proof of Theorem cvmsss2
Dummy variables a b t w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3643 . 2 |- ( ( S ` U ) =/= (/) <-> E. x x e. ( S ` U ) )
2 simpl2 987 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> V e. J )
3 simpl1 986 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
4 cvmtop1 27079 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> C e. Top )
65adantr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> C e. Top )
7 cvmcov.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
87cvmsss 27086 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( S ` U ) -> x C_ C )
98adantl 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> x C_ C )
109sselda 3353 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> y e. C )
11 cvmcn 27081 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
123, 11syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> F e. ( C Cn J ) )
13 cnima 18828 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( C Cn J ) /\ V e. J ) -> ( `' F " V ) e. C )
1412, 2, 13syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) e. C )
1514adantr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( `' F " V ) e. C )
16 inopn 18471 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Top /\ y e. C /\ ( `' F " V ) e. C ) -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. C )
176, 10, 15, 16syl3anc 1213 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. C )
18 eqid 2441 . . . . . . . . 9 |- ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) )
1917, 18fmptd 5864 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> C )
20 frn 5562 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> C -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C )
227cvmsn0 27087 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( S ` U ) -> x =/= (/) )
2322adantl 463 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> x =/= (/) )
24 dmmptg 5332 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. x ( y i^i ( `' F " V ) ) e. _V -> dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = x )
25 inex1g 4432 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. x -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. _V )
2624, 25mprg 2783 . . . . . . . . . . 11 |- dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = x
2726eqeq1i 2448 . . . . . . . . . 10 |- ( dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) <-> x = (/) )
28 dm0rn0 5052 . . . . . . . . . 10 |- ( dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) <-> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) )
2927, 28bitr3i 251 . . . . . . . . 9 |- ( x = (/) <-> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) )
3029necon3bii 2638 . . . . . . . 8 |- ( x =/= (/) <-> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) )
3123, 30sylib 196 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) )
3221, 31jca 529 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C /\ ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) ) )
33 inss2 3568 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i ( `' F " V ) ) C_ ( `' F " V )
34 elpw2g 4452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " V ) e. C -> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) e. ~P ( `' F " V ) <-> ( y i^i ( `' F " V ) ) C_ ( `' F " V ) ) )
3515, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) e. ~P ( `' F " V ) <-> ( y i^i ( `' F " V ) ) C_ ( `' F " V ) ) )
3633, 35mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. ~P ( `' F " V ) )
3736, 18fmptd 5864 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V ) )
38 frn 5562 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ~P ( `' F " V ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ~P ( `' F " V ) )
40 sspwuni 4253 . . . . . . . . 9 |- ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ~P ( `' F " V ) <-> U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ( `' F " V ) )
4139, 40sylib 196 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ( `' F " V ) )
42 simpl3 988 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> V C_ U )
43 imass2 5201 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V C_ U -> ( `' F " V ) C_ ( `' F " U ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) C_ ( `' F " U ) )
457cvmsuni 27088 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( S ` U ) -> U. x = ( `' F " U ) )
4645adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U. x = ( `' F " U ) )
4744, 46sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) C_ U. x )
4847sselda 3353 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> z e. U. x )
49 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) )
50 ineq1 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = t -> ( y i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) )
5150eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = t -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) <-> ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
5251rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. x /\ ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) ) -> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
5349, 52mpan2 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. x -> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
5453ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
55 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- t e. _V
5655inex1 4430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V
5718elrnmpt 5082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
5954, 58sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
60 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> z e. t )
61 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> z e. ( `' F " V ) )
6260, 61elind 3537 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) )
63 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( z e. w <-> z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
6463rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) /\ z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) ) -> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w )
6559, 62, 64syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w )
6665rexlimdvaa 2840 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> ( E. t e. x z e. t -> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w ) )
67 eluni2 4092 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U. x <-> E. t e. x z e. t )
68 eluni2 4092 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w )
6966, 67, 683imtr4g 270 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> ( z e. U. x -> z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ) )
7048, 69mpd 15 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
7170ex 434 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( z e. ( `' F " V ) -> z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ) )
7271ssrdv 3359 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) C_ U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
7341, 72eqssd 3370 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) )
74 eldifsn 3997 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) <-> ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) /\ z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
75 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
7618elrnmpt 5082 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. _V -> ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x z = ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x z = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
7850equcoms 1738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = y -> ( y i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) )
7978necon3ai 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> -. t = y )
80 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> x e. ( S ` U ) )
81 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> t e. x )
82 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> y e. x )
837cvmsdisj 27089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( S ` U ) /\ t e. x /\ y e. x ) -> ( t = y \/ ( t i^i y ) = (/) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( t = y \/ ( t i^i y ) = (/) ) )
8584ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( -. t = y -> ( t i^i y ) = (/) ) )
86 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) C_ ( t i^i y )
87 sseq0 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) C_ ( t i^i y ) /\ ( t i^i y ) = (/) ) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) )
8886, 87mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t i^i y ) = (/) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) )
8979, 85, 88syl56 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) ) )
90 neeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) <-> ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
91 ineq2 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
92 inindir 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i ( y i^i ( `' F " V ) ) )
9391, 92syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) )
9493eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) <-> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) ) )
9590, 94imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) <-> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) ) ) )
9689, 95syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
9796rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( E. y e. x z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
9877, 97syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
9998imp3a 431 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) /\ z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
10074, 99syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
101100ralrimiv 2796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) )
102 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t
103 resabs1 5136 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t -> ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) )
1057cvmshmeo 27090 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( S ` U ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) e. ( ( C ↾t t ) Homeo ( J ↾t U ) ) )
106105adantll 708 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) e. ( ( C ↾t t ) Homeo ( J ↾t U ) ) )
1075adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> C e. Top )
1089sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t e. C )
109 elssuni 4118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. C -> t C_ U. C )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t C_ U. C )
111 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. C = U. C
112111restuni 18725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. Top /\ t C_ U. C ) -> t = U. ( C ↾t t ) )
113107, 110, 112syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t = U. ( C ↾t t ) )
114102, 113syl5sseq 3401 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ U. ( C ↾t t ) )
115 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( C ↾t t ) = U. ( C ↾t t )
116115hmeores 19303 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F |` t ) e. ( ( C ↾t t ) Homeo ( J ↾t U ) ) /\ ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ U. ( C ↾t t ) ) -> ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) )
117106, 114, 116syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) )
118104, 117syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) )
119102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t )
120 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t e. x )
121 restabs 18728 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Top /\ ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t /\ t e. x ) -> ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
122107, 119, 120, 121syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
123 incom 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( ( `' F " V ) i^i t )
124 cnvresima 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( F |` t ) " V ) = ( ( `' F " V ) i^i t )
125123, 124eqtr4i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( `' ( F |` t ) " V )
126125imaeq2i 5164 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( ( F |` t ) " ( `' ( F |` t ) " V ) )
1273adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> F e. ( C CovMap J ) )
128 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> x e. ( S ` U ) )
1297cvmsf1o 27091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ x e. ( S ` U ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) : t -1-1-onto-> U )
130127, 128, 120, 129syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) : t -1-1-onto-> U )
131 f1ofo 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F |` t ) : t -1-1-onto-> U -> ( F |` t ) : t -onto-> U )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) : t -onto-> U )
13342adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> V C_ U )
134 foimacnv 5655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F |` t ) : t -onto-> U /\ V C_ U ) -> ( ( F |` t ) " ( `' ( F |` t ) " V ) ) = V )
135132, 133, 134syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( F |` t ) " ( `' ( F |` t ) " V ) ) = V )
136126, 135syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = V )
137136oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) = ( ( J ↾t U ) ↾t V ) )
138 cvmtop2 27080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> J e. Top )
1393, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> J e. Top )
1407cvmsrcl 27083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( S ` U ) -> U e. J )
141140adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U e. J )
142 restabs 18728 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ V C_ U /\ U e. J ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t V ) = ( J ↾t V ) )
143139, 42, 141, 142syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t V ) = ( J ↾t V ) )
144143adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t V ) = ( J ↾t V ) )
145137, 144eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) = ( J ↾t V ) )
146122, 145oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) = ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) )
147118, 146eleqtrd 2517 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) )
148101, 147jca 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
149148ralrimiva 2797 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> A. t e. x ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
15056rgenw 2781 . . . . . . . . 9 |- A. t e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V
15150cbvmptv 4380 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( t e. x |-> ( t i^i ( `' F " V ) ) )
152 sneq 3884 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> { w } = { ( t i^i ( `' F " V ) ) } )
153152difeq2d 3471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) = ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) )
154 ineq1 3542 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( w i^i z ) = ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) )
155154eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( w i^i z ) = (/) <-> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
156153, 155raleqbidv 2929 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) <-> A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
157 reseq2 5101 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
158 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( C ↾t w ) = ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
159158oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) = ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) )
160157, 159eleq12d 2509 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) <-> ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
161156, 160anbi12d 705 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) <-> ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) )
162151, 161ralrnmpt 5849 . . . . . . . . 9 |- ( A. t e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) <-> A. t e. x ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) )
163150, 162ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) <-> A. t e. x ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
164149, 163sylibr 212 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
16573, 164jca 529 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) /\ A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) )
1667cvmscbv 27077 . . . . . . . 8 |- S = ( a e. J |-> { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " a ) /\ A. w e. b ( A. z e. ( b \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) } )
167166cvmsval 27085 . . . . . . 7 |- ( C e. Top -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) <-> ( V e. J /\ ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C /\ ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) ) /\ ( U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) /\ A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) ) ) )
1685, 167syl 16 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) <-> ( V e. J /\ ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C /\ ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) ) /\ ( U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) /\ A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) ) ) )
1692, 32, 165, 168mpbir3and 1166 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) )
170 ne0i 3640 . . . . 5 |- ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) -> ( S ` V ) =/= (/) )
171169, 170syl 16 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( S ` V ) =/= (/) )
172171ex 434 . . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( x e. ( S ` U ) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
173172exlimdv 1695 . 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( E. x x e. ( S ` U ) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
1741, 173syl5bi 217 1 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( ( S ` U ) =/= (/) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   |` cres 4838   "cima 4839   -->wf 5411   -onto->wfo 5413   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355   Topctop 18457   Cn ccn 18787   Homeochmeo 19285   CovMap ccvm 27074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cn 18790  df-hmeo 19287  df-cvm 27075
This theorem is referenced by:  cvmcov2  27094
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