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Theorem cvmsss2 24914
Description: An open subset of an evenly covered set is evenly covered. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmsss2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( ( S ` U ) =/= (/) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   k, V, s, u, v
Allowed substitution hints:   S( v, u, k, s)
Proof of Theorem cvmsss2
Dummy variables a b t w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3597 . 2 |- ( ( S ` U ) =/= (/) <-> E. x x e. ( S ` U ) )
2 simpl2 961 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> V e. J )
3 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
4 cvmtop1 24900 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> C e. Top )
65adantr 452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> C e. Top )
7 cvmcov.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
87cvmsss 24907 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( S ` U ) -> x C_ C )
98adantl 453 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> x C_ C )
109sselda 3308 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> y e. C )
11 cvmcn 24902 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
123, 11syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> F e. ( C Cn J ) )
13 cnima 17283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( C Cn J ) /\ V e. J ) -> ( `' F " V ) e. C )
1412, 2, 13syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) e. C )
1514adantr 452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( `' F " V ) e. C )
16 inopn 16927 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Top /\ y e. C /\ ( `' F " V ) e. C ) -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. C )
176, 10, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. C )
18 eqid 2404 . . . . . . . . 9 |- ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) )
1917, 18fmptd 5852 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> C )
20 frn 5556 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> C -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C )
227cvmsn0 24908 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( S ` U ) -> x =/= (/) )
2322adantl 453 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> x =/= (/) )
24 dmmptg 5326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. x ( y i^i ( `' F " V ) ) e. _V -> dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = x )
25 inex1g 4306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. x -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. _V )
2624, 25mprg 2735 . . . . . . . . . . 11 |- dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = x
2726eqeq1i 2411 . . . . . . . . . 10 |- ( dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) <-> x = (/) )
28 dm0rn0 5045 . . . . . . . . . 10 |- ( dom ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) <-> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) )
2927, 28bitr3i 243 . . . . . . . . 9 |- ( x = (/) <-> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = (/) )
3029necon3bii 2599 . . . . . . . 8 |- ( x =/= (/) <-> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) )
3123, 30sylib 189 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) )
3221, 31jca 519 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C /\ ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) ) )
33 inss2 3522 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i ( `' F " V ) ) C_ ( `' F " V )
34 elpw2g 4323 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " V ) e. C -> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) e. ~P ( `' F " V ) <-> ( y i^i ( `' F " V ) ) C_ ( `' F " V ) ) )
3515, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) e. ~P ( `' F " V ) <-> ( y i^i ( `' F " V ) ) C_ ( `' F " V ) ) )
3633, 35mpbiri 225 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i ( `' F " V ) ) e. ~P ( `' F " V ) )
3736, 18fmptd 5852 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V ) )
38 frn 5556 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) : x --> ~P ( `' F " V ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ~P ( `' F " V ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ~P ( `' F " V ) )
40 sspwuni 4136 . . . . . . . . 9 |- ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ~P ( `' F " V ) <-> U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ( `' F " V ) )
4139, 40sylib 189 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ ( `' F " V ) )
42 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> V C_ U )
43 imass2 5199 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V C_ U -> ( `' F " V ) C_ ( `' F " U ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) C_ ( `' F " U ) )
457cvmsuni 24909 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( S ` U ) -> U. x = ( `' F " U ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U. x = ( `' F " U ) )
4744, 46sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) C_ U. x )
4847sselda 3308 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> z e. U. x )
49 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) )
50 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = t -> ( y i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) )
5150eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = t -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) <-> ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
5251rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. x /\ ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) ) -> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
5349, 52mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. x -> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
5453ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
55 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- t e. _V
5655inex1 4304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V
5718elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
5954, 58sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
60 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> z e. t )
61 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> z e. ( `' F " V ) )
62 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) <-> ( z e. t /\ z e. ( `' F " V ) ) )
6360, 61, 62sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) )
64 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( z e. w <-> z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
6564rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( t i^i ( `' F " V ) ) e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) /\ z e. ( t i^i ( `' F " V ) ) ) -> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w )
6659, 63, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) /\ ( t e. x /\ z e. t ) ) -> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w )
6766rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> ( E. t e. x z e. t -> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w ) )
68 eluni2 3979 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U. x <-> E. t e. x z e. t )
69 eluni2 3979 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) z e. w )
7067, 68, 693imtr4g 262 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> ( z e. U. x -> z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ) )
7148, 70mpd 15 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ z e. ( `' F " V ) ) -> z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
7271ex 424 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( z e. ( `' F " V ) -> z e. U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ) )
7372ssrdv 3314 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( `' F " V ) C_ U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
7441, 73eqssd 3325 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) )
75 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) <-> ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) /\ z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
76 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
7718elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. _V -> ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x z = ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) <-> E. y e. x z = ( y i^i ( `' F " V ) ) )
7950equcoms 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = y -> ( y i^i ( `' F " V ) ) = ( t i^i ( `' F " V ) ) )
8079necon3ai 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> -. t = y )
81 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> x e. ( S ` U ) )
82 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> t e. x )
83 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> y e. x )
847cvmsdisj 24910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( S ` U ) /\ t e. x /\ y e. x ) -> ( t = y \/ ( t i^i y ) = (/) ) )
8581, 82, 83, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( t = y \/ ( t i^i y ) = (/) ) )
8685ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( -. t = y -> ( t i^i y ) = (/) ) )
87 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) C_ ( t i^i y )
88 sseq0 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) C_ ( t i^i y ) /\ ( t i^i y ) = (/) ) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) )
8987, 88mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t i^i y ) = (/) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) )
9080, 86, 89syl56 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) ) )
91 neeq1 2575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) <-> ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
92 ineq2 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i ( y i^i ( `' F " V ) ) ) )
93 inindir 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i ( y i^i ( `' F " V ) ) )
9492, 93syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) )
9594eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) <-> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) ) )
9691, 95imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) <-> ( ( y i^i ( `' F " V ) ) =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i y ) i^i ( `' F " V ) ) = (/) ) ) )
9790, 96syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) /\ y e. x ) -> ( z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
9897rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( E. y e. x z = ( y i^i ( `' F " V ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
9978, 98syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) -> ( z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
10099imp3a 421 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( z e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) /\ z =/= ( t i^i ( `' F " V ) ) ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
10175, 100syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) -> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
102101ralrimiv 2748 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) )
103 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t
104 resabs1 5134 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t -> ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
105103, 104ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) )
1067cvmshmeo 24911 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( S ` U ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) e. ( ( C ↾t t ) Homeo ( J ↾t U ) ) )
107106adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) e. ( ( C ↾t t ) Homeo ( J ↾t U ) ) )
1085adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> C e. Top )
1099sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t e. C )
110 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. C -> t C_ U. C )
111109, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t C_ U. C )
112 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. C = U. C
113112restuni 17180 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. Top /\ t C_ U. C ) -> t = U. ( C ↾t t ) )
114108, 111, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t = U. ( C ↾t t ) )
115103, 114syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ U. ( C ↾t t ) )
116 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( C ↾t t ) = U. ( C ↾t t )
117116hmeores 17756 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F |` t ) e. ( ( C ↾t t ) Homeo ( J ↾t U ) ) /\ ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ U. ( C ↾t t ) ) -> ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) )
118107, 115, 117syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( F |` t ) |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) )
119105, 118syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) )
120103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t )
121 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> t e. x )
122 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Top /\ ( t i^i ( `' F " V ) ) C_ t /\ t e. x ) -> ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
123108, 120, 121, 122syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
124 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( ( `' F " V ) i^i t )
125 cnvresima 5318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( F |` t ) " V ) = ( ( `' F " V ) i^i t )
126124, 125eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t i^i ( `' F " V ) ) = ( `' ( F |` t ) " V )
127126imaeq2i 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = ( ( F |` t ) " ( `' ( F |` t ) " V ) )
1283adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> F e. ( C CovMap J ) )
129 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> x e. ( S ` U ) )
1307cvmsf1o 24912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ x e. ( S ` U ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) : t -1-1-onto-> U )
131128, 129, 121, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) : t -1-1-onto-> U )
132 f1ofo 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F |` t ) : t -1-1-onto-> U -> ( F |` t ) : t -onto-> U )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` t ) : t -onto-> U )
13442adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> V C_ U )
135 foimacnv 5651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F |` t ) : t -onto-> U /\ V C_ U ) -> ( ( F |` t ) " ( `' ( F |` t ) " V ) ) = V )
136133, 134, 135syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( F |` t ) " ( `' ( F |` t ) " V ) ) = V )
137127, 136syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) = V )
138137oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) = ( ( J ↾t U ) ↾t V ) )
139 cvmtop2 24901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> J e. Top )
1403, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> J e. Top )
1417cvmsrcl 24904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( S ` U ) -> U e. J )
142141adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> U e. J )
143 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ V C_ U /\ U e. J ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t V ) = ( J ↾t V ) )
144140, 42, 142, 143syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t V ) = ( J ↾t V ) )
145144adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t V ) = ( J ↾t V ) )
146138, 145eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) = ( J ↾t V ) )
147123, 146oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( ( ( C ↾t t ) ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( ( J ↾t U ) ↾t ( ( F |` t ) " ( t i^i ( `' F " V ) ) ) ) ) = ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) )
148119, 147eleqtrd 2480 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) )
149102, 148jca 519 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) /\ t e. x ) -> ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
150149ralrimiva 2749 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> A. t e. x ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
15156rgenw 2733 . . . . . . . . 9 |- A. t e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V
15250cbvmptv 4260 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( t e. x |-> ( t i^i ( `' F " V ) ) )
153 sneq 3785 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> { w } = { ( t i^i ( `' F " V ) ) } )
154153difeq2d 3425 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) = ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) )
155 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( w i^i z ) = ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) )
156155eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( w i^i z ) = (/) <-> ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
157154, 156raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) <-> A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) ) )
158 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
159 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( C ↾t w ) = ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) )
160159oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) = ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) )
161158, 160eleq12d 2472 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) <-> ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
162157, 161anbi12d 692 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( t i^i ( `' F " V ) ) -> ( ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) <-> ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) )
163152, 162ralrnmpt 5837 . . . . . . . . 9 |- ( A. t e. x ( t i^i ( `' F " V ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) <-> A. t e. x ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) )
164151, 163ax-mp 8 . . . . . . . 8 |- ( A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) <-> A. t e. x ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { ( t i^i ( `' F " V ) ) } ) ( ( t i^i ( `' F " V ) ) i^i z ) = (/) /\ ( F |` ( t i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( ( C ↾t ( t i^i ( `' F " V ) ) ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
165150, 164sylibr 204 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) )
16674, 165jca 519 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) /\ A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) )
1677cvmscbv 24898 . . . . . . . 8 |- S = ( a e. J |-> { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " a ) /\ A. w e. b ( A. z e. ( b \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) } )
168167cvmsval 24906 . . . . . . 7 |- ( C e. Top -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) <-> ( V e. J /\ ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C /\ ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) ) /\ ( U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) /\ A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) ) ) )
1695, 168syl 16 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) <-> ( V e. J /\ ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) C_ C /\ ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) =/= (/) ) /\ ( U. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) = ( `' F " V ) /\ A. w e. ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) ( A. z e. ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) \ { w } ) ( w i^i z ) = (/) /\ ( F |` w ) e. ( ( C ↾t w ) Homeo ( J ↾t V ) ) ) ) ) ) )
1702, 32, 166, 169mpbir3and 1137 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) )
171 ne0i 3594 . . . . 5 |- ( ran ( y e. x |-> ( y i^i ( `' F " V ) ) ) e. ( S ` V ) -> ( S ` V ) =/= (/) )
172170, 171syl 16 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) /\ x e. ( S ` U ) ) -> ( S ` V ) =/= (/) )
173172ex 424 . . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( x e. ( S ` U ) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
174173exlimdv 1643 . 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( E. x x e. ( S ` U ) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
1751, 174syl5bi 209 1 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ V e. J /\ V C_ U ) -> ( ( S ` U ) =/= (/) -> ( S ` V ) =/= (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913   Cn ccn 17242   Homeo chmeo 17738   CovMap ccvm 24895
This theorem is referenced by:  cvmcov2  24915
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-hmeo 17740  df-cvm 24896
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