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Theorem cvmsi 28977
Description: One direction of cvmsval 28978. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmsi  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( U  e.  J  /\  ( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    T, s, u, v
Allowed substitution hints:    S( v, u, k, s)    T( k)

Proof of Theorem cvmsi
StepHypRef Expression
1 cvmcov.1 . . 3  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
21cvmsrcl 28976 . 2  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U  e.  J )
3 imaeq2 5321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U  ->  ( `' F " k )  =  ( `' F " U ) )
43eqeq2d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  U  ->  ( U. s  =  ( `' F " k )  <->  U. s  =  ( `' F " U ) ) )
5 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  U  ->  ( Jt  k )  =  ( Jt  U ) )
65oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  U  ->  (
( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) )  =  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) )
76eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  U  ->  (
( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) )
87anbi2d 701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
98ralbidv 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  U  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
104, 9anbi12d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  U  ->  (
( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
1110rabbidv 3098 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  U  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  =  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) } )
1211, 1fvmptss2 5951 . . . . . . 7  |-  ( S `
 U )  C_  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) }
1312sseli 3485 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  e.  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) } )
14 unieq 4243 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  U. s  =  U. T )
1514eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  ( U. s  =  ( `' F " U )  <->  U. T  =  ( `' F " U ) ) )
16 difeq1 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  T  ->  (
s  \  { u } )  =  ( T  \  { u } ) )
1716raleqdv 3057 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  T  ->  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/) 
<-> 
A. v  e.  ( T  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
1817anbi1d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) )  <-> 
( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
1918raleqbi1dv 3059 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) )  <->  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
2015, 19anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( s  =  T  ->  (
( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) )  <-> 
( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  { u }
) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
2120elrab 3254 . . . . . 6  |-  ( T  e.  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) }  <->  ( T  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
2213, 21sylib 196 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( T  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  { u }
) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
2322simpld 457 . . . 4  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) )
24 eldifsn 4141 . . . 4  |-  ( T  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  <->  ( T  e.  ~P C  /\  T  =/=  (/) ) )
2523, 24sylib 196 . . 3  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( T  e.  ~P C  /\  T  =/=  (/) ) )
26 elpwi 4008 . . . 4  |-  ( T  e.  ~P C  ->  T  C_  C )
2726anim1i 566 . . 3  |-  ( ( T  e.  ~P C  /\  T  =/=  (/) )  -> 
( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) ) )
2825, 27syl 16 . 2  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) ) )
2922simprd 461 . 2  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
302, 28, 293jca 1174 1  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( U  e.  J  /\  ( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   {crab 2808    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987    |` cres 4990   "cima 4991   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾t crest 14913   Homeochmeo 20423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273
This theorem is referenced by:  cvmsval  28978  cvmsss  28979  cvmsn0  28980  cvmsuni  28981  cvmsdisj  28982  cvmshmeo  28983
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