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Theorem cvmsi 27084
Description: One direction of cvmsval 27085. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmsi  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( U  e.  J  /\  ( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    T, s, u, v
Allowed substitution hints:    S( v, u, k, s)    T( k)

Proof of Theorem cvmsi
StepHypRef Expression
1 cvmcov.1 . . 3  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
21cvmsrcl 27083 . 2  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U  e.  J )
3 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U  ->  ( `' F " k )  =  ( `' F " U ) )
43eqeq2d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  U  ->  ( U. s  =  ( `' F " k )  <->  U. s  =  ( `' F " U ) ) )
5 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  U  ->  ( Jt  k )  =  ( Jt  U ) )
65oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  U  ->  (
( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) )  =  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) )
76eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  U  ->  (
( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) )
87anbi2d 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
98ralbidv 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  U  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
104, 9anbi12d 705 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  U  ->  (
( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
1110rabbidv 2962 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  U  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  =  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) } )
1211, 1fvmptss2 5790 . . . . . . 7  |-  ( S `
 U )  C_  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) }
1312sseli 3349 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  e.  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) } )
14 unieq 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  U. s  =  U. T )
1514eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  ( U. s  =  ( `' F " U )  <->  U. T  =  ( `' F " U ) ) )
16 difeq1 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  T  ->  (
s  \  { u } )  =  ( T  \  { u } ) )
1716raleqdv 2921 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  T  ->  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/) 
<-> 
A. v  e.  ( T  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
1817anbi1d 699 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) )  <-> 
( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
1918raleqbi1dv 2923 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) )  <->  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
2015, 19anbi12d 705 . . . . . . 7  |-  ( s  =  T  ->  (
( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) )  <-> 
( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  { u }
) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
2120elrab 3114 . . . . . 6  |-  ( T  e.  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) }  <->  ( T  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
2213, 21sylib 196 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( T  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  { u }
) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
2322simpld 456 . . . 4  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) )
24 eldifsn 3997 . . . 4  |-  ( T  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  <->  ( T  e.  ~P C  /\  T  =/=  (/) ) )
2523, 24sylib 196 . . 3  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( T  e.  ~P C  /\  T  =/=  (/) ) )
26 elpwi 3866 . . . 4  |-  ( T  e.  ~P C  ->  T  C_  C )
2726anim1i 565 . . 3  |-  ( ( T  e.  ~P C  /\  T  =/=  (/) )  -> 
( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) ) )
2825, 27syl 16 . 2  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) ) )
2922simprd 460 . 2  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) )
302, 28, 293jca 1163 1  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( U  e.  J  /\  ( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  U ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835    |` cres 4838   "cima 4839   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355   Homeochmeo 19285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-ov 6093
This theorem is referenced by:  cvmsval  27085  cvmsss  27086  cvmsn0  27087  cvmsuni  27088  cvmsdisj  27089  cvmshmeo  27090
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