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Theorem cvmscld 27076
Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on  T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmscld  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    T, s, u, v    u, A, v
Allowed substitution hints:    A( k, s)    S( v, u, k, s)    T( k)

Proof of Theorem cvmscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmtop1 27063 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
213ad2ant1 1004 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  C  e.  Top )
3 cvmcov.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
43cvmsuni 27072 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
543ad2ant2 1005 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
63cvmsss 27070 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  C_  C )
763ad2ant2 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  C )
87unissd 4112 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  C_ 
U. C )
95, 8eqsstr3d 3388 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U ) 
C_  U. C )
10 eqid 2441 . . . . . 6  |-  U. C  =  U. C
1110restuni 18666 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U ) 
C_  U. C )  -> 
( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
122, 9, 11syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
1312difeq1d 3470 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A }
) ) )
14 unisng 4104 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  T  ->  U. { A }  =  A
)
15143ad2ant3 1006 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. { A }  =  A
)
1615uneq2d 3507 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A ) )
17 uniun 4107 . . . . . 6  |-  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( U. ( T  \  { A } )  u. 
U. { A }
)
18 undif1 3751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( T  u.  { A } )
19 simp3 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  T )
2019snssd 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  { A }  C_  T )
21 ssequn2 3526 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  T  <->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2318, 22syl5eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  T )
2423unieqd 4098 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  U. T )
2524, 5eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( `' F " U ) )
2617, 25syl5eqr 2487 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( `' F " U ) )
2716, 26eqtr3d 2475 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  A
)  =  ( `' F " U ) )
28 difss 3480 . . . . . . 7  |-  ( T 
\  { A }
)  C_  T
2928unissi 4111 . . . . . 6  |-  U. ( T  \  { A }
)  C_  U. T
3029, 5syl5sseq 3401 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  C_  ( `' F " U ) )
31 uniiun 4220 . . . . . . . 8  |-  U. ( T  \  { A }
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x
3231ineq2i 3546 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
33 incom 3540 . . . . . . 7  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )
34 iunin2 4231 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
3532, 33, 343eqtr4i 2471 . . . . . 6  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )
36 eldifsn 3997 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( T  \  { A } )  <->  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )
37 necom 2691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  A  <->  A  =/=  x )
38 df-ne 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =/=  x  <->  -.  A  =  x )
3937, 38bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  A  =  x )
403cvmsdisj 27073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x )  =  (/) ) )
41403expa 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4241ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( -.  A  =  x  ->  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4339, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  (
x  =/=  A  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4443impr 616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4536, 44sylan2b 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  ( T  \  { A } ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4645iuneq2dv 4189 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
47463adant1 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
48 iun0 4223 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/)  =  (/)
4947, 48syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  (/) )
5035, 49syl5eq 2485 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  (/) )
51 uneqdifeq 3764 . . . . 5  |-  ( ( U. ( T  \  { A } )  C_  ( `' F " U )  /\  ( U. ( T  \  { A }
)  i^i  A )  =  (/) )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5230, 50, 51syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5327, 52mpbid 210 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
5413, 53eqtr3d 2475 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
55 uniexg 6376 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  e.  _V )
56553ad2ant2 1005 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  e.  _V )
575, 56eqeltrrd 2516 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
58 resttop 18664 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V )  -> 
( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top )
592, 57, 58syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( Ct  ( `' F " U ) )  e.  Top )
60 elssuni 4118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  T  ->  x  C_ 
U. T )
6160adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_ 
U. T )
625adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
6361, 62sseqtrd 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_  ( `' F " U ) )
64 df-ss 3339 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( `' F " U )  <->  ( x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
6563, 64sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
662adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  C  e.  Top )
6757adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
687sselda 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  C )
69 elrestr 14363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V  /\  x  e.  C )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7165, 70eqeltrrd 2516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7271ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7372ssrdv 3359 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7473ssdifssd 3491 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  \  { A }
)  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
75 uniopn 18410 . . . 4  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  ( T  \  { A } ) 
C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7659, 74, 75syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
77 eqid 2441 . . . 4  |-  U. ( Ct  ( `' F " U ) )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) )
7877opncld 18537 . . 3  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7959, 76, 78syl2anc 656 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
8054, 79eqeltrrd 2516 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   U_ciun 4168    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835    |` cres 4838   "cima 4839   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355   Topctop 18398   Clsdccld 18520   Homeochmeo 19226   CovMap ccvm 27058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cld 18523  df-cvm 27059
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  27084  cvmlift2lem9  27114  cvmlift3lem6  27127
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