Theorem cvmscld 28358

Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
cvmscld	|- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   T, s, u, v   u, A, v

Allowed substitution hints:   A( k, s)   S( v, u, k, s)   T( k)

Proof of Theorem cvmscld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmtop1 28345	. . . . . 6 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
2	1	3ad2ant1 1017	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> C e. Top )
3		cvmcov.1	. . . . . . . 8 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
4	3	cvmsuni 28354	. . . . . . 7 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T = ( `' F " U ) )
5	4	3ad2ant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
6	3	cvmsss 28352	. . . . . . . 8 |- ( T e. ( S ` U ) -> T C_ C )
7	6	3ad2ant2 1018	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ C )
8	7	unissd 4269	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T C_ U. C )
9	5, 8	eqsstr3d 3539	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) C_ U. C )
10		eqid 2467	. . . . . 6 |- U. C = U. C
11	10	restuni 19429	. . . . 5 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) C_ U. C ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
12	2, 9, 11	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
13	12	difeq1d 3621	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) )
14		unisng 4261	. . . . . . 7 |- ( A e. T -> U. { A } = A )
15	14	3ad2ant3 1019	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. { A } = A )
16	15	uneq2d 3658	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. A ) )
17		uniun 4264	. . . . . 6 |- U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } )
18		undif1 3902	. . . . . . . . 9 |- ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( T u. { A } )
19		simp3 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. T )
20	19	snssd 4172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> { A } C_ T )
21		ssequn2 3677	. . . . . . . . . 10 |- ( { A } C_ T <-> ( T u. { A } ) = T )
22	20, 21	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T u. { A } ) = T )
23	18, 22	syl5eq 2520	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = T )
24	23	unieqd 4255	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = U. T )
25	24, 5	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( `' F " U ) )
26	17, 25	syl5eqr 2522	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( `' F " U ) )
27	16, 26	eqtr3d 2510	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) )
28		difss 3631	. . . . . . 7 |- ( T \ { A } ) C_ T
29	28	unissi 4268	. . . . . 6 |- U. ( T \ { A } ) C_ U. T
30	29, 5	syl5sseq 3552	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) )
31		uniiun 4378	. . . . . . . 8 |- U. ( T \ { A } ) = U_ x e. ( T \ { A } ) x
32	31	ineq2i 3697	. . . . . . 7 |- ( A i^i U. ( T \ { A } ) ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
33		incom 3691	. . . . . . 7 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = ( A i^i U. ( T \ { A } ) )
34		iunin2 4389	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
35	32, 33, 34	3eqtr4i 2506	. . . . . 6 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x )
36		eldifsn 4152	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( T \ { A } ) <-> ( x e. T /\ x =/= A ) )
37		necom 2736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x =/= A <-> A =/= x )
38		df-ne 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A =/= x <-> -. A = x )
39	37, 38	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x =/= A <-> -. A = x )
40	3	cvmsdisj 28355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
41	40	3expa 1196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
42	41	ord 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( -. A = x -> ( A i^i x ) = (/) ) )
43	39, 42	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x =/= A -> ( A i^i x ) = (/) ) )
44	43	impr 619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ ( x e. T /\ x =/= A ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
45	36, 44	sylan2b 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. ( T \ { A } ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
46	45	iuneq2dv 4347	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
47	46	3adant1 1014	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
48		iun0 4381	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) (/) = (/)
49	47, 48	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = (/) )
50	35, 49	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) )
51		uneqdifeq 3915	. . . . 5 |- ( ( U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) /\ ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
52	30, 50, 51	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
53	27, 52	mpbid 210	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
54	13, 53	eqtr3d 2510	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
55		uniexg 6579	. . . . . 6 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T e. _V )
56	55	3ad2ant2 1018	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T e. _V )
57	5, 56	eqeltrrd 2556	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
58		resttop 19427	. . . 4 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
59	2, 57, 58	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
60		elssuni 4275	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. T -> x C_ U. T )
61	60	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ U. T )
62	5	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
63	61, 62	sseqtrd 3540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ ( `' F " U ) )
64		df-ss 3490	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( `' F " U ) <-> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
65	63, 64	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
66	2	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> C e. Top )
67	57	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
68	7	sselda 3504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. C )
69		elrestr 14680	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V /\ x e. C ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
71	65, 70	eqeltrrd 2556	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
72	71	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( x e. T -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
73	72	ssrdv 3510	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
74	73	ssdifssd 3642	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
75		uniopn 19173	. . . 4 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
76	59, 74, 75	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
77		eqid 2467	. . . 4 |- U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) )
78	77	opncld 19300	. . 3 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
79	59, 76, 78	syl2anc 661	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
80	54, 79	eqeltrrd 2556	1 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   U_ciun 4325   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   |` cres 5001   "cima 5002   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾_t crest 14672   Topctop 19161   Clsdccld 19283   Homeochmeo 19989   CovMap ccvm 28340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cld 19286  df-cvm 28341

This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  28366  cvmlift2lem9  28396  cvmlift3lem6  28409