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Theorem cvmscld 30068
Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on  T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmscld  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    T, s, u, v    u, A, v
Allowed substitution hints:    A( k, s)    S( v, u, k, s)    T( k)

Proof of Theorem cvmscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmtop1 30055 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
213ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  C  e.  Top )
3 cvmcov.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
43cvmsuni 30064 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
543ad2ant2 1052 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
63cvmsss 30062 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  C_  C )
763ad2ant2 1052 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  C )
87unissd 4214 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  C_ 
U. C )
95, 8eqsstr3d 3453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U ) 
C_  U. C )
10 eqid 2471 . . . . . 6  |-  U. C  =  U. C
1110restuni 20255 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U ) 
C_  U. C )  -> 
( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
122, 9, 11syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
1312difeq1d 3539 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A }
) ) )
14 unisng 4206 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  T  ->  U. { A }  =  A
)
15143ad2ant3 1053 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. { A }  =  A
)
1615uneq2d 3579 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A ) )
17 uniun 4209 . . . . . 6  |-  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( U. ( T  \  { A } )  u. 
U. { A }
)
18 undif1 3833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( T  u.  { A } )
19 simp3 1032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  T )
2019snssd 4108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  { A }  C_  T )
21 ssequn2 3598 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  T  <->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2220, 21sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2318, 22syl5eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  T )
2423unieqd 4200 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  U. T )
2524, 5eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( `' F " U ) )
2617, 25syl5eqr 2519 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( `' F " U ) )
2716, 26eqtr3d 2507 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  A
)  =  ( `' F " U ) )
28 difss 3549 . . . . . . 7  |-  ( T 
\  { A }
)  C_  T
2928unissi 4213 . . . . . 6  |-  U. ( T  \  { A }
)  C_  U. T
3029, 5syl5sseq 3466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  C_  ( `' F " U ) )
31 uniiun 4322 . . . . . . . 8  |-  U. ( T  \  { A }
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x
3231ineq2i 3622 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
33 incom 3616 . . . . . . 7  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )
34 iunin2 4333 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
3532, 33, 343eqtr4i 2503 . . . . . 6  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )
36 eldifsn 4088 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( T  \  { A } )  <->  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )
37 nesym 2699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  A  =  x )
383cvmsdisj 30065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x )  =  (/) ) )
39383expa 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4039ord 384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( -.  A  =  x  ->  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4137, 40syl5bi 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  (
x  =/=  A  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4241impr 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4336, 42sylan2b 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  ( T  \  { A } ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4443iuneq2dv 4291 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
45443adant1 1048 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
46 iun0 4325 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/)  =  (/)
4745, 46syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  (/) )
4835, 47syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  (/) )
49 uneqdifeq 3847 . . . . 5  |-  ( ( U. ( T  \  { A } )  C_  ( `' F " U )  /\  ( U. ( T  \  { A }
)  i^i  A )  =  (/) )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5030, 48, 49syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5127, 50mpbid 215 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
5213, 51eqtr3d 2507 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
53 uniexg 6607 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  e.  _V )
54533ad2ant2 1052 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  e.  _V )
555, 54eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
56 resttop 20253 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V )  -> 
( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top )
572, 55, 56syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( Ct  ( `' F " U ) )  e.  Top )
58 elssuni 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  T  ->  x  C_ 
U. T )
5958adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_ 
U. T )
605adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
6159, 60sseqtrd 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_  ( `' F " U ) )
62 df-ss 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( `' F " U )  <->  ( x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
6361, 62sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
642adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  C  e.  Top )
6555adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
667sselda 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  C )
67 elrestr 15405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V  /\  x  e.  C )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
6864, 65, 66, 67syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
6963, 68eqeltrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7069ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7170ssrdv 3424 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7271ssdifssd 3560 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  \  { A }
)  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
73 uniopn 20004 . . . 4  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  ( T  \  { A } ) 
C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7457, 72, 73syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
75 eqid 2471 . . . 4  |-  U. ( Ct  ( `' F " U ) )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) )
7675opncld 20125 . . 3  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7757, 74, 76syl2anc 673 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7852, 77eqeltrrd 2550 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838    |` cres 4841   "cima 4842   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994   Clsdccld 20108   Homeochmeo 20845   CovMap ccvm 30050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cvm 30051
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  30076  cvmlift2lem9  30106  cvmlift3lem6  30119
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