Theorem cvmscld 29948

Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
cvmscld	|- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   T, s, u, v   u, A, v

Allowed substitution hints:   A( k, s)   S( v, u, k, s)   T( k)

Proof of Theorem cvmscld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmtop1 29935	. . . . . 6 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
2	1	3ad2ant1 1026	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> C e. Top )
3		cvmcov.1	. . . . . . . 8 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
4	3	cvmsuni 29944	. . . . . . 7 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T = ( `' F " U ) )
5	4	3ad2ant2 1027	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
6	3	cvmsss 29942	. . . . . . . 8 |- ( T e. ( S ` U ) -> T C_ C )
7	6	3ad2ant2 1027	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ C )
8	7	unissd 4186	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T C_ U. C )
9	5, 8	eqsstr3d 3442	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) C_ U. C )
10		eqid 2428	. . . . . 6 |- U. C = U. C
11	10	restuni 20120	. . . . 5 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) C_ U. C ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
12	2, 9, 11	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
13	12	difeq1d 3525	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) )
14		unisng 4178	. . . . . . 7 |- ( A e. T -> U. { A } = A )
15	14	3ad2ant3 1028	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. { A } = A )
16	15	uneq2d 3563	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. A ) )
17		uniun 4181	. . . . . 6 |- U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } )
18		undif1 3815	. . . . . . . . 9 |- ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( T u. { A } )
19		simp3 1007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. T )
20	19	snssd 4088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> { A } C_ T )
21		ssequn2 3582	. . . . . . . . . 10 |- ( { A } C_ T <-> ( T u. { A } ) = T )
22	20, 21	sylib 199	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T u. { A } ) = T )
23	18, 22	syl5eq 2474	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = T )
24	23	unieqd 4172	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = U. T )
25	24, 5	eqtrd 2462	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( `' F " U ) )
26	17, 25	syl5eqr 2476	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( `' F " U ) )
27	16, 26	eqtr3d 2464	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) )
28		difss 3535	. . . . . . 7 |- ( T \ { A } ) C_ T
29	28	unissi 4185	. . . . . 6 |- U. ( T \ { A } ) C_ U. T
30	29, 5	syl5sseq 3455	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) )
31		uniiun 4295	. . . . . . . 8 |- U. ( T \ { A } ) = U_ x e. ( T \ { A } ) x
32	31	ineq2i 3604	. . . . . . 7 |- ( A i^i U. ( T \ { A } ) ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
33		incom 3598	. . . . . . 7 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = ( A i^i U. ( T \ { A } ) )
34		iunin2 4306	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
35	32, 33, 34	3eqtr4i 2460	. . . . . 6 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x )
36		eldifsn 4068	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( T \ { A } ) <-> ( x e. T /\ x =/= A ) )
37		nesym 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x =/= A <-> -. A = x )
38	3	cvmsdisj 29945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
39	38	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
40	39	ord 378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( -. A = x -> ( A i^i x ) = (/) ) )
41	37, 40	syl5bi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x =/= A -> ( A i^i x ) = (/) ) )
42	41	impr 623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ ( x e. T /\ x =/= A ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
43	36, 42	sylan2b 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. ( T \ { A } ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
44	43	iuneq2dv 4264	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
45	44	3adant1 1023	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
46		iun0 4298	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) (/) = (/)
47	45, 46	syl6eq 2478	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = (/) )
48	35, 47	syl5eq 2474	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) )
49		uneqdifeq 3829	. . . . 5 |- ( ( U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) /\ ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
50	30, 48, 49	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
51	27, 50	mpbid 213	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
52	13, 51	eqtr3d 2464	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
53		uniexg 6546	. . . . . 6 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T e. _V )
54	53	3ad2ant2 1027	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T e. _V )
55	5, 54	eqeltrrd 2507	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
56		resttop 20118	. . . 4 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
57	2, 55, 56	syl2anc 665	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
58		elssuni 4191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. T -> x C_ U. T )
59	58	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ U. T )
60	5	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
61	59, 60	sseqtrd 3443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ ( `' F " U ) )
62		df-ss 3393	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( `' F " U ) <-> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
63	61, 62	sylib 199	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
64	2	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> C e. Top )
65	55	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
66	7	sselda 3407	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. C )
67		elrestr 15270	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V /\ x e. C ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
68	64, 65, 66, 67	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
69	63, 68	eqeltrrd 2507	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
70	69	ex 435	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( x e. T -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
71	70	ssrdv 3413	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
72	71	ssdifssd 3546	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
73		uniopn 19869	. . . 4 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
74	57, 72, 73	syl2anc 665	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
75		eqid 2428	. . . 4 |- U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) )
76	75	opncld 19990	. . 3 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
77	57, 74, 76	syl2anc 665	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
78	52, 77	eqeltrrd 2507	1 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   {crab 2718   _Vcvv 3022   \ cdif 3376   u. cun 3377   i^i cin 3378   C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   {csn 3941   U.cuni 4162   U_ciun 4242   |-> cmpt 4425   `'ccnv 4795   |` cres 4798   "cima 4799   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   ↾_t crest 15262   Topctop 19859   Clsdccld 19973   Homeochmeo 20710   CovMap ccvm 29930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528  df-fi 7878  df-rest 15264  df-topgen 15285  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-cld 19976  df-cvm 29931

This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  29956  cvmlift2lem9  29986  cvmlift3lem6  29999