Theorem cvmscld 27076

Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
cvmscld	|- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   T, s, u, v   u, A, v

Allowed substitution hints:   A( k, s)   S( v, u, k, s)   T( k)

Proof of Theorem cvmscld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmtop1 27063	. . . . . 6 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
2	1	3ad2ant1 1004	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> C e. Top )
3		cvmcov.1	. . . . . . . 8 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
4	3	cvmsuni 27072	. . . . . . 7 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T = ( `' F " U ) )
5	4	3ad2ant2 1005	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
6	3	cvmsss 27070	. . . . . . . 8 |- ( T e. ( S ` U ) -> T C_ C )
7	6	3ad2ant2 1005	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ C )
8	7	unissd 4112	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T C_ U. C )
9	5, 8	eqsstr3d 3388	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) C_ U. C )
10		eqid 2441	. . . . . 6 |- U. C = U. C
11	10	restuni 18666	. . . . 5 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) C_ U. C ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
12	2, 9, 11	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
13	12	difeq1d 3470	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) )
14		unisng 4104	. . . . . . 7 |- ( A e. T -> U. { A } = A )
15	14	3ad2ant3 1006	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. { A } = A )
16	15	uneq2d 3507	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. A ) )
17		uniun 4107	. . . . . 6 |- U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } )
18		undif1 3751	. . . . . . . . 9 |- ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( T u. { A } )
19		simp3 985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. T )
20	19	snssd 4015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> { A } C_ T )
21		ssequn2 3526	. . . . . . . . . 10 |- ( { A } C_ T <-> ( T u. { A } ) = T )
22	20, 21	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T u. { A } ) = T )
23	18, 22	syl5eq 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = T )
24	23	unieqd 4098	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = U. T )
25	24, 5	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( `' F " U ) )
26	17, 25	syl5eqr 2487	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( `' F " U ) )
27	16, 26	eqtr3d 2475	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) )
28		difss 3480	. . . . . . 7 |- ( T \ { A } ) C_ T
29	28	unissi 4111	. . . . . 6 |- U. ( T \ { A } ) C_ U. T
30	29, 5	syl5sseq 3401	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) )
31		uniiun 4220	. . . . . . . 8 |- U. ( T \ { A } ) = U_ x e. ( T \ { A } ) x
32	31	ineq2i 3546	. . . . . . 7 |- ( A i^i U. ( T \ { A } ) ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
33		incom 3540	. . . . . . 7 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = ( A i^i U. ( T \ { A } ) )
34		iunin2 4231	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
35	32, 33, 34	3eqtr4i 2471	. . . . . 6 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x )
36		eldifsn 3997	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( T \ { A } ) <-> ( x e. T /\ x =/= A ) )
37		necom 2691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x =/= A <-> A =/= x )
38		df-ne 2606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A =/= x <-> -. A = x )
39	37, 38	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x =/= A <-> -. A = x )
40	3	cvmsdisj 27073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
41	40	3expa 1182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
42	41	ord 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( -. A = x -> ( A i^i x ) = (/) ) )
43	39, 42	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x =/= A -> ( A i^i x ) = (/) ) )
44	43	impr 616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ ( x e. T /\ x =/= A ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
45	36, 44	sylan2b 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. ( T \ { A } ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
46	45	iuneq2dv 4189	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
47	46	3adant1 1001	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
48		iun0 4223	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) (/) = (/)
49	47, 48	syl6eq 2489	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = (/) )
50	35, 49	syl5eq 2485	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) )
51		uneqdifeq 3764	. . . . 5 |- ( ( U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) /\ ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
52	30, 50, 51	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
53	27, 52	mpbid 210	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
54	13, 53	eqtr3d 2475	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
55		uniexg 6376	. . . . . 6 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T e. _V )
56	55	3ad2ant2 1005	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T e. _V )
57	5, 56	eqeltrrd 2516	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
58		resttop 18664	. . . 4 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
59	2, 57, 58	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
60		elssuni 4118	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. T -> x C_ U. T )
61	60	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ U. T )
62	5	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
63	61, 62	sseqtrd 3389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ ( `' F " U ) )
64		df-ss 3339	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( `' F " U ) <-> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
65	63, 64	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
66	2	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> C e. Top )
67	57	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
68	7	sselda 3353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. C )
69		elrestr 14363	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V /\ x e. C ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
71	65, 70	eqeltrrd 2516	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
72	71	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( x e. T -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
73	72	ssrdv 3359	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
74	73	ssdifssd 3491	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
75		uniopn 18410	. . . 4 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
76	59, 74, 75	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
77		eqid 2441	. . . 4 |- U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) )
78	77	opncld 18537	. . 3 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
79	59, 76, 78	syl2anc 656	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
80	54, 79	eqeltrrd 2516	1 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   u. cun 3323   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   U_ciun 4168   e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   |` cres 4838   "cima 4839   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾_t crest 14355   Topctop 18398   Clsdccld 18520   Homeochmeo 19226   CovMap ccvm 27058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cld 18523  df-cvm 27059

This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  27084  cvmlift2lem9  27114  cvmlift3lem6  27127