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Theorem cvmscld 28982
Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on  T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmscld  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    T, s, u, v    u, A, v
Allowed substitution hints:    A( k, s)    S( v, u, k, s)    T( k)

Proof of Theorem cvmscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmtop1 28969 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
213ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  C  e.  Top )
3 cvmcov.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
43cvmsuni 28978 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
543ad2ant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
63cvmsss 28976 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  C_  C )
763ad2ant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  C )
87unissd 4259 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  C_ 
U. C )
95, 8eqsstr3d 3524 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U ) 
C_  U. C )
10 eqid 2454 . . . . . 6  |-  U. C  =  U. C
1110restuni 19830 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U ) 
C_  U. C )  -> 
( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
122, 9, 11syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
1312difeq1d 3607 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A }
) ) )
14 unisng 4251 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  T  ->  U. { A }  =  A
)
15143ad2ant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. { A }  =  A
)
1615uneq2d 3644 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A ) )
17 uniun 4254 . . . . . 6  |-  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( U. ( T  \  { A } )  u. 
U. { A }
)
18 undif1 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( T  u.  { A } )
19 simp3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  T )
2019snssd 4161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  { A }  C_  T )
21 ssequn2 3663 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  T  <->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2318, 22syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  T )
2423unieqd 4245 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  U. T )
2524, 5eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( `' F " U ) )
2617, 25syl5eqr 2509 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( `' F " U ) )
2716, 26eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  A
)  =  ( `' F " U ) )
28 difss 3617 . . . . . . 7  |-  ( T 
\  { A }
)  C_  T
2928unissi 4258 . . . . . 6  |-  U. ( T  \  { A }
)  C_  U. T
3029, 5syl5sseq 3537 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  C_  ( `' F " U ) )
31 uniiun 4368 . . . . . . . 8  |-  U. ( T  \  { A }
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x
3231ineq2i 3683 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
33 incom 3677 . . . . . . 7  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )
34 iunin2 4379 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
3532, 33, 343eqtr4i 2493 . . . . . 6  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )
36 eldifsn 4141 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( T  \  { A } )  <->  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )
37 nesym 2726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  A  =  x )
383cvmsdisj 28979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x )  =  (/) ) )
39383expa 1194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4039ord 375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( -.  A  =  x  ->  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4137, 40syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  (
x  =/=  A  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4241impr 617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4336, 42sylan2b 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  ( T  \  { A } ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4443iuneq2dv 4337 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
45443adant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
46 iun0 4371 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/)  =  (/)
4745, 46syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  (/) )
4835, 47syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  (/) )
49 uneqdifeq 3904 . . . . 5  |-  ( ( U. ( T  \  { A } )  C_  ( `' F " U )  /\  ( U. ( T  \  { A }
)  i^i  A )  =  (/) )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5030, 48, 49syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5127, 50mpbid 210 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
5213, 51eqtr3d 2497 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
53 uniexg 6570 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  e.  _V )
54533ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  e.  _V )
555, 54eqeltrrd 2543 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
56 resttop 19828 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V )  -> 
( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top )
572, 55, 56syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( Ct  ( `' F " U ) )  e.  Top )
58 elssuni 4264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  T  ->  x  C_ 
U. T )
5958adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_ 
U. T )
605adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
6159, 60sseqtrd 3525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_  ( `' F " U ) )
62 df-ss 3475 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( `' F " U )  <->  ( x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
6361, 62sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
642adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  C  e.  Top )
6555adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
667sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  C )
67 elrestr 14918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V  /\  x  e.  C )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
6864, 65, 66, 67syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
6963, 68eqeltrrd 2543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7069ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7170ssrdv 3495 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7271ssdifssd 3628 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  \  { A }
)  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
73 uniopn 19573 . . . 4  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  ( T  \  { A } ) 
C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7457, 72, 73syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
75 eqid 2454 . . . 4  |-  U. ( Ct  ( `' F " U ) )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) )
7675opncld 19701 . . 3  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7757, 74, 76syl2anc 659 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7852, 77eqeltrrd 2543 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235   U_ciun 4315    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987    |` cres 4990   "cima 4991   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾t crest 14910   Topctop 19561   Clsdccld 19684   Homeochmeo 20420   CovMap ccvm 28964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cld 19687  df-cvm 28965
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  28990  cvmlift2lem9  29020  cvmlift3lem6  29033
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