Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmscld Structured version   Unicode version

Theorem cvmscld 28358
 Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 t t
Assertion
Ref Expression
cvmscld CovMap t
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem cvmscld
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmtop1 28345 . . . . . 6 CovMap
213ad2ant1 1017 . . . . 5 CovMap
3 cvmcov.1 . . . . . . . 8 t t
43cvmsuni 28354 . . . . . . 7
543ad2ant2 1018 . . . . . 6 CovMap
63cvmsss 28352 . . . . . . . 8
763ad2ant2 1018 . . . . . . 7 CovMap
87unissd 4269 . . . . . 6 CovMap
95, 8eqsstr3d 3539 . . . . 5 CovMap
10 eqid 2467 . . . . . 6
1110restuni 19429 . . . . 5 t
122, 9, 11syl2anc 661 . . . 4 CovMap t
1312difeq1d 3621 . . 3 CovMap t
14 unisng 4261 . . . . . . 7
15143ad2ant3 1019 . . . . . 6 CovMap
1615uneq2d 3658 . . . . 5 CovMap
17 uniun 4264 . . . . . 6
18 undif1 3902 . . . . . . . . 9
19 simp3 998 . . . . . . . . . . 11 CovMap
2019snssd 4172 . . . . . . . . . 10 CovMap
21 ssequn2 3677 . . . . . . . . . 10
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . 9 CovMap
2318, 22syl5eq 2520 . . . . . . . 8 CovMap
2423unieqd 4255 . . . . . . 7 CovMap
2524, 5eqtrd 2508 . . . . . 6 CovMap
2617, 25syl5eqr 2522 . . . . 5 CovMap
2716, 26eqtr3d 2510 . . . 4 CovMap
28 difss 3631 . . . . . . 7
2928unissi 4268 . . . . . 6
3029, 5syl5sseq 3552 . . . . 5 CovMap
31 uniiun 4378 . . . . . . . 8
3231ineq2i 3697 . . . . . . 7
33 incom 3691 . . . . . . 7
34 iunin2 4389 . . . . . . 7
3532, 33, 343eqtr4i 2506 . . . . . 6
36 eldifsn 4152 . . . . . . . . . 10
37 necom 2736 . . . . . . . . . . . . 13
38 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38bitri 249 . . . . . . . . . . . 12
403cvmsdisj 28355 . . . . . . . . . . . . . 14
41403expa 1196 . . . . . . . . . . . . 13
4241ord 377 . . . . . . . . . . . 12
4339, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
4443impr 619 . . . . . . . . . 10
4536, 44sylan2b 475 . . . . . . . . 9
4645iuneq2dv 4347 . . . . . . . 8
47463adant1 1014 . . . . . . 7 CovMap
48 iun0 4381 . . . . . . 7
4947, 48syl6eq 2524 . . . . . 6 CovMap
5035, 49syl5eq 2520 . . . . 5 CovMap
51 uneqdifeq 3915 . . . . 5
5230, 50, 51syl2anc 661 . . . 4 CovMap
5327, 52mpbid 210 . . 3 CovMap
5413, 53eqtr3d 2510 . 2 CovMap t
55 uniexg 6579 . . . . . 6
56553ad2ant2 1018 . . . . 5 CovMap
575, 56eqeltrrd 2556 . . . 4 CovMap
58 resttop 19427 . . . 4 t
592, 57, 58syl2anc 661 . . 3 CovMap t
60 elssuni 4275 . . . . . . . . . . 11
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10 CovMap
625adantr 465 . . . . . . . . . 10 CovMap
6361, 62sseqtrd 3540 . . . . . . . . 9 CovMap
64 df-ss 3490 . . . . . . . . 9
6563, 64sylib 196 . . . . . . . 8 CovMap
662adantr 465 . . . . . . . . 9 CovMap
6757adantr 465 . . . . . . . . 9 CovMap
687sselda 3504 . . . . . . . . 9 CovMap
69 elrestr 14680 . . . . . . . . 9 t
7066, 67, 68, 69syl3anc 1228 . . . . . . . 8 CovMap t
7165, 70eqeltrrd 2556 . . . . . . 7 CovMap t
7271ex 434 . . . . . 6 CovMap t
7372ssrdv 3510 . . . . 5 CovMap t
7473ssdifssd 3642 . . . 4 CovMap t
75 uniopn 19173 . . . 4 t t t
7659, 74, 75syl2anc 661 . . 3 CovMap t
77 eqid 2467 . . . 4 t t
7877opncld 19300 . . 3 t t t t
7959, 76, 78syl2anc 661 . 2 CovMap t t
8054, 79eqeltrrd 2556 1 CovMap t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   cun 3474   cin 3475   wss 3476  c0 3785  cpw 4010  csn 4027  cuni 4245  ciun 4325   cmpt 4505  ccnv 4998   cres 5001  cima 5002  cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾t crest 14672  ctop 19161  ccld 19283  chmeo 19989   CovMap ccvm 28340 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cld 19286  df-cvm 28341 This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  28366  cvmlift2lem9  28396  cvmlift3lem6  28409
 Copyright terms: Public domain W3C validator