Theorem cvmscld 28982

Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
cvmscld	|- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   T, s, u, v   u, A, v

Allowed substitution hints:   A( k, s)   S( v, u, k, s)   T( k)

Proof of Theorem cvmscld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmtop1 28969	. . . . . 6 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
2	1	3ad2ant1 1015	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> C e. Top )
3		cvmcov.1	. . . . . . . 8 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
4	3	cvmsuni 28978	. . . . . . 7 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T = ( `' F " U ) )
5	4	3ad2ant2 1016	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
6	3	cvmsss 28976	. . . . . . . 8 |- ( T e. ( S ` U ) -> T C_ C )
7	6	3ad2ant2 1016	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ C )
8	7	unissd 4259	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T C_ U. C )
9	5, 8	eqsstr3d 3524	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) C_ U. C )
10		eqid 2454	. . . . . 6 |- U. C = U. C
11	10	restuni 19830	. . . . 5 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) C_ U. C ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
12	2, 9, 11	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
13	12	difeq1d 3607	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) )
14		unisng 4251	. . . . . . 7 |- ( A e. T -> U. { A } = A )
15	14	3ad2ant3 1017	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. { A } = A )
16	15	uneq2d 3644	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. A ) )
17		uniun 4254	. . . . . 6 |- U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } )
18		undif1 3891	. . . . . . . . 9 |- ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( T u. { A } )
19		simp3 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. T )
20	19	snssd 4161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> { A } C_ T )
21		ssequn2 3663	. . . . . . . . . 10 |- ( { A } C_ T <-> ( T u. { A } ) = T )
22	20, 21	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T u. { A } ) = T )
23	18, 22	syl5eq 2507	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = T )
24	23	unieqd 4245	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = U. T )
25	24, 5	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( `' F " U ) )
26	17, 25	syl5eqr 2509	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( `' F " U ) )
27	16, 26	eqtr3d 2497	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) )
28		difss 3617	. . . . . . 7 |- ( T \ { A } ) C_ T
29	28	unissi 4258	. . . . . 6 |- U. ( T \ { A } ) C_ U. T
30	29, 5	syl5sseq 3537	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) )
31		uniiun 4368	. . . . . . . 8 |- U. ( T \ { A } ) = U_ x e. ( T \ { A } ) x
32	31	ineq2i 3683	. . . . . . 7 |- ( A i^i U. ( T \ { A } ) ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
33		incom 3677	. . . . . . 7 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = ( A i^i U. ( T \ { A } ) )
34		iunin2 4379	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
35	32, 33, 34	3eqtr4i 2493	. . . . . 6 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x )
36		eldifsn 4141	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( T \ { A } ) <-> ( x e. T /\ x =/= A ) )
37		nesym 2726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x =/= A <-> -. A = x )
38	3	cvmsdisj 28979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
39	38	3expa 1194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
40	39	ord 375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( -. A = x -> ( A i^i x ) = (/) ) )
41	37, 40	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x =/= A -> ( A i^i x ) = (/) ) )
42	41	impr 617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ ( x e. T /\ x =/= A ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
43	36, 42	sylan2b 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. ( T \ { A } ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
44	43	iuneq2dv 4337	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
45	44	3adant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
46		iun0 4371	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) (/) = (/)
47	45, 46	syl6eq 2511	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = (/) )
48	35, 47	syl5eq 2507	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) )
49		uneqdifeq 3904	. . . . 5 |- ( ( U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) /\ ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
50	30, 48, 49	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
51	27, 50	mpbid 210	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
52	13, 51	eqtr3d 2497	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
53		uniexg 6570	. . . . . 6 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T e. _V )
54	53	3ad2ant2 1016	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T e. _V )
55	5, 54	eqeltrrd 2543	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
56		resttop 19828	. . . 4 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
57	2, 55, 56	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
58		elssuni 4264	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. T -> x C_ U. T )
59	58	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ U. T )
60	5	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
61	59, 60	sseqtrd 3525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ ( `' F " U ) )
62		df-ss 3475	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( `' F " U ) <-> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
63	61, 62	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
64	2	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> C e. Top )
65	55	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
66	7	sselda 3489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. C )
67		elrestr 14918	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V /\ x e. C ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
68	64, 65, 66, 67	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
69	63, 68	eqeltrrd 2543	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
70	69	ex 432	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( x e. T -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
71	70	ssrdv 3495	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
72	71	ssdifssd 3628	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
73		uniopn 19573	. . . 4 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
74	57, 72, 73	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
75		eqid 2454	. . . 4 |- U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) )
76	75	opncld 19701	. . 3 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
77	57, 74, 76	syl2anc 659	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
78	52, 77	eqeltrrd 2543	1 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235   U_ciun 4315   |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   |` cres 4990   "cima 4991   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾_t crest 14910   Topctop 19561   Clsdccld 19684   Homeochmeo 20420   CovMap ccvm 28964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cld 19687  df-cvm 28965

This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  28990  cvmlift2lem9  29020  cvmlift3lem6  29033