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Theorem cvmscld 27301
Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on  T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmscld  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    T, s, u, v    u, A, v
Allowed substitution hints:    A( k, s)    S( v, u, k, s)    T( k)

Proof of Theorem cvmscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmtop1 27288 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
213ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  C  e.  Top )
3 cvmcov.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
43cvmsuni 27297 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
543ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
63cvmsss 27295 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  C_  C )
763ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  C )
87unissd 4218 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  C_ 
U. C )
95, 8eqsstr3d 3494 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U ) 
C_  U. C )
10 eqid 2452 . . . . . 6  |-  U. C  =  U. C
1110restuni 18893 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U ) 
C_  U. C )  -> 
( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
122, 9, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
1312difeq1d 3576 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A }
) ) )
14 unisng 4210 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  T  ->  U. { A }  =  A
)
15143ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. { A }  =  A
)
1615uneq2d 3613 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A ) )
17 uniun 4213 . . . . . 6  |-  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( U. ( T  \  { A } )  u. 
U. { A }
)
18 undif1 3857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( T  u.  { A } )
19 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  T )
2019snssd 4121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  { A }  C_  T )
21 ssequn2 3632 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  T  <->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2318, 22syl5eq 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  T )
2423unieqd 4204 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  U. T )
2524, 5eqtrd 2493 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( `' F " U ) )
2617, 25syl5eqr 2507 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( `' F " U ) )
2716, 26eqtr3d 2495 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  A
)  =  ( `' F " U ) )
28 difss 3586 . . . . . . 7  |-  ( T 
\  { A }
)  C_  T
2928unissi 4217 . . . . . 6  |-  U. ( T  \  { A }
)  C_  U. T
3029, 5syl5sseq 3507 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  C_  ( `' F " U ) )
31 uniiun 4326 . . . . . . . 8  |-  U. ( T  \  { A }
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x
3231ineq2i 3652 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
33 incom 3646 . . . . . . 7  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )
34 iunin2 4337 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
3532, 33, 343eqtr4i 2491 . . . . . 6  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )
36 eldifsn 4103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( T  \  { A } )  <->  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )
37 necom 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  A  <->  A  =/=  x )
38 df-ne 2647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =/=  x  <->  -.  A  =  x )
3937, 38bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  A  =  x )
403cvmsdisj 27298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x )  =  (/) ) )
41403expa 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4241ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( -.  A  =  x  ->  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4339, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  (
x  =/=  A  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4443impr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4536, 44sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  ( T  \  { A } ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4645iuneq2dv 4295 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
47463adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
48 iun0 4329 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/)  =  (/)
4947, 48syl6eq 2509 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  (/) )
5035, 49syl5eq 2505 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  (/) )
51 uneqdifeq 3870 . . . . 5  |-  ( ( U. ( T  \  { A } )  C_  ( `' F " U )  /\  ( U. ( T  \  { A }
)  i^i  A )  =  (/) )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5230, 50, 51syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5327, 52mpbid 210 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
5413, 53eqtr3d 2495 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
55 uniexg 6482 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  e.  _V )
56553ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  e.  _V )
575, 56eqeltrrd 2541 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
58 resttop 18891 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V )  -> 
( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top )
592, 57, 58syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( Ct  ( `' F " U ) )  e.  Top )
60 elssuni 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  T  ->  x  C_ 
U. T )
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_ 
U. T )
625adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
6361, 62sseqtrd 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_  ( `' F " U ) )
64 df-ss 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( `' F " U )  <->  ( x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
6563, 64sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
662adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  C  e.  Top )
6757adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
687sselda 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  C )
69 elrestr 14481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V  /\  x  e.  C )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7165, 70eqeltrrd 2541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7271ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7372ssrdv 3465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7473ssdifssd 3597 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  \  { A }
)  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
75 uniopn 18637 . . . 4  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  ( T  \  { A } ) 
C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7659, 74, 75syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
77 eqid 2452 . . . 4  |-  U. ( Ct  ( `' F " U ) )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) )
7877opncld 18764 . . 3  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7959, 76, 78syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
8054, 79eqeltrrd 2541 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   {crab 2800   _Vcvv 3072    \ cdif 3428    u. cun 3429    i^i cin 3430    C_ wss 3431   (/)c0 3740   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4194   U_ciun 4274    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4942    |` cres 4945   "cima 4946   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   ↾t crest 14473   Topctop 18625   Clsdccld 18747   Homeochmeo 19453   CovMap ccvm 27283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-fin 7419  df-fi 7767  df-rest 14475  df-topgen 14496  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-cld 18750  df-cvm 27284
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  27309  cvmlift2lem9  27339  cvmlift3lem6  27352
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