Theorem cvmscld 30068

Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
cvmscld	|- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   T, s, u, v   u, A, v

Allowed substitution hints:   A( k, s)   S( v, u, k, s)   T( k)

Proof of Theorem cvmscld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmtop1 30055	. . . . . 6 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
2	1	3ad2ant1 1051	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> C e. Top )
3		cvmcov.1	. . . . . . . 8 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
4	3	cvmsuni 30064	. . . . . . 7 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T = ( `' F " U ) )
5	4	3ad2ant2 1052	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
6	3	cvmsss 30062	. . . . . . . 8 |- ( T e. ( S ` U ) -> T C_ C )
7	6	3ad2ant2 1052	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ C )
8	7	unissd 4214	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T C_ U. C )
9	5, 8	eqsstr3d 3453	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) C_ U. C )
10		eqid 2471	. . . . . 6 |- U. C = U. C
11	10	restuni 20255	. . . . 5 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) C_ U. C ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
12	2, 9, 11	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
13	12	difeq1d 3539	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) )
14		unisng 4206	. . . . . . 7 |- ( A e. T -> U. { A } = A )
15	14	3ad2ant3 1053	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. { A } = A )
16	15	uneq2d 3579	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. A ) )
17		uniun 4209	. . . . . 6 |- U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } )
18		undif1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( T u. { A } )
19		simp3 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. T )
20	19	snssd 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> { A } C_ T )
21		ssequn2 3598	. . . . . . . . . 10 |- ( { A } C_ T <-> ( T u. { A } ) = T )
22	20, 21	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T u. { A } ) = T )
23	18, 22	syl5eq 2517	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = T )
24	23	unieqd 4200	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = U. T )
25	24, 5	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( ( T \ { A } ) u. { A } ) = ( `' F " U ) )
26	17, 25	syl5eqr 2519	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. U. { A } ) = ( `' F " U ) )
27	16, 26	eqtr3d 2507	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) )
28		difss 3549	. . . . . . 7 |- ( T \ { A } ) C_ T
29	28	unissi 4213	. . . . . 6 |- U. ( T \ { A } ) C_ U. T
30	29, 5	syl5sseq 3466	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) )
31		uniiun 4322	. . . . . . . 8 |- U. ( T \ { A } ) = U_ x e. ( T \ { A } ) x
32	31	ineq2i 3622	. . . . . . 7 |- ( A i^i U. ( T \ { A } ) ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
33		incom 3616	. . . . . . 7 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = ( A i^i U. ( T \ { A } ) )
34		iunin2 4333	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = ( A i^i U_ x e. ( T \ { A } ) x )
35	32, 33, 34	3eqtr4i 2503	. . . . . 6 |- ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x )
36		eldifsn 4088	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( T \ { A } ) <-> ( x e. T /\ x =/= A ) )
37		nesym 2699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x =/= A <-> -. A = x )
38	3	cvmsdisj 30065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
39	38	3expa 1231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( A = x \/ ( A i^i x ) = (/) ) )
40	39	ord 384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( -. A = x -> ( A i^i x ) = (/) ) )
41	37, 40	syl5bi 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x =/= A -> ( A i^i x ) = (/) ) )
42	41	impr 631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ ( x e. T /\ x =/= A ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
43	36, 42	sylan2b 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. ( T \ { A } ) ) -> ( A i^i x ) = (/) )
44	43	iuneq2dv 4291	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
45	44	3adant1 1048	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = U_ x e. ( T \ { A } ) (/) )
46		iun0 4325	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( T \ { A } ) (/) = (/)
47	45, 46	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U_ x e. ( T \ { A } ) ( A i^i x ) = (/) )
48	35, 47	syl5eq 2517	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) )
49		uneqdifeq 3847	. . . . 5 |- ( ( U. ( T \ { A } ) C_ ( `' F " U ) /\ ( U. ( T \ { A } ) i^i A ) = (/) ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
50	30, 48, 49	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( U. ( T \ { A } ) u. A ) = ( `' F " U ) <-> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A ) )
51	27, 50	mpbid 215	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( ( `' F " U ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
52	13, 51	eqtr3d 2507	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) = A )
53		uniexg 6607	. . . . . 6 |- ( T e. ( S ` U ) -> U. T e. _V )
54	53	3ad2ant2 1052	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. T e. _V )
55	5, 54	eqeltrrd 2550	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
56		resttop 20253	. . . 4 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
57	2, 55, 56	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top )
58		elssuni 4219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. T -> x C_ U. T )
59	58	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ U. T )
60	5	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> U. T = ( `' F " U ) )
61	59, 60	sseqtrd 3454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x C_ ( `' F " U ) )
62		df-ss 3404	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( `' F " U ) <-> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
63	61, 62	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) = x )
64	2	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> C e. Top )
65	55	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( `' F " U ) e. _V )
66	7	sselda 3418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. C )
67		elrestr 15405	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " U ) e. _V /\ x e. C ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
68	64, 65, 66, 67	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> ( x i^i ( `' F " U ) ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
69	63, 68	eqeltrrd 2550	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) /\ x e. T ) -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
70	69	ex 441	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( x e. T -> x e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
71	70	ssrdv 3424	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> T C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
72	71	ssdifssd 3560	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
73		uniopn 20004	. . . 4 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ ( T \ { A } ) C_ ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
74	57, 72, 73	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) )
75		eqid 2471	. . . 4 |- U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) = U. ( C ↾t ( `' F " U ) )
76	75	opncld 20125	. . 3 |- ( ( ( C ↾t ( `' F " U ) ) e. Top /\ U. ( T \ { A } ) e. ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
77	57, 74, 76	syl2anc 673	. 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> ( U. ( C ↾t ( `' F " U ) ) \ U. ( T \ { A } ) ) e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )
78	52, 77	eqeltrrd 2550	1 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` U ) /\ A e. T ) -> A e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " U ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   |` cres 4841   "cima 4842   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾_t crest 15397   Topctop 19994   Clsdccld 20108   Homeochmeo 20845   CovMap ccvm 30050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cvm 30051

This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  30076  cvmlift2lem9  30106  cvmlift3lem6  30119