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Theorem cvmscbv 27077
Description: Change bound variables in the set of even coverings. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscvm.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmscbv  |-  S  =  ( a  e.  J  |->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  a ) ) ) ) } )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, k, s, u, v    C, a, b, c, k, s, u    F, a, b, c, k, s, u    J, a, b, c, k, s, u
Allowed substitution hints:    C( v, d)    S( v, u, k, s, a, b, c, d)    F( v, d)    J( v, d)

Proof of Theorem cvmscbv
StepHypRef Expression
1 iscvm.1 . 2  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
2 unieq 4096 . . . . . . 7  |-  ( s  =  b  ->  U. s  =  U. b )
32eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( s  =  b  ->  ( U. s  =  ( `' F " k )  <->  U. b  =  ( `' F " k ) ) )
4 ineq2 3543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  d  ->  (
u  i^i  v )  =  ( u  i^i  d ) )
54eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  d  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( u  i^i  d )  =  (/) ) )
65cbvralv 2945 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  <->  A. d  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  d )  =  (/) )
7 sneq 3884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  c  ->  { u }  =  { c } )
87difeq2d 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  c  ->  (
s  \  { u } )  =  ( s  \  { c } ) )
9 ineq1 3542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  c  ->  (
u  i^i  d )  =  ( c  i^i  d ) )
109eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  c  ->  (
( u  i^i  d
)  =  (/)  <->  ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
118, 10raleqbidv 2929 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  c  ->  ( A. d  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  d )  =  (/) 
<-> 
A. d  e.  ( s  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
126, 11syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  c  ->  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/) 
<-> 
A. d  e.  ( s  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
13 reseq2 5101 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  c  ->  ( F  |`  u )  =  ( F  |`  c
) )
14 oveq2 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  c  ->  ( Ct  u )  =  ( Ct  c ) )
1514oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  c  ->  (
( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) )  =  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  k ) ) )
1613, 15eleq12d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  c  ->  (
( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  k ) ) ) )
1712, 16anbi12d 705 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  c  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )
1817cbvralv 2945 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  { c } ) ( c  i^i  d
)  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) )
19 difeq1 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  b  ->  (
s  \  { c } )  =  ( b  \  { c } ) )
2019raleqdv 2921 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  b  ->  ( A. d  e.  (
s  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/) 
<-> 
A. d  e.  ( b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
2120anbi1d 699 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  b  ->  (
( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )
2221raleqbi1dv 2923 . . . . . . 7  |-  ( s  =  b  ->  ( A. c  e.  s 
( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )
2318, 22syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( s  =  b  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )
243, 23anbi12d 705 . . . . 5  |-  ( s  =  b  ->  (
( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. b  =  ( `' F "
k )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) )
2524cbvrabv 2969 . . . 4  |-  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  =  { b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F "
k )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }
26 imaeq2 5162 . . . . . . 7  |-  ( k  =  a  ->  ( `' F " k )  =  ( `' F " a ) )
2726eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( k  =  a  ->  ( U. b  =  ( `' F " k )  <->  U. b  =  ( `' F " a ) ) )
28 oveq2 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  a  ->  ( Jt  k )  =  ( Jt  a ) )
2928oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  a  ->  (
( Ct  c ) Homeo ( Jt  k ) )  =  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  a ) ) )
3029eleq2d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  a  ->  (
( F  |`  c
)  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  a ) ) ) )
3130anbi2d 698 . . . . . . 7  |-  ( k  =  a  ->  (
( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  a ) ) ) ) )
3231ralbidv 2733 . . . . . 6  |-  ( k  =  a  ->  ( A. c  e.  b 
( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  a ) ) ) ) )
3327, 32anbi12d 705 . . . . 5  |-  ( k  =  a  ->  (
( U. b  =  ( `' F "
k )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  k ) ) ) )  <->  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  a ) ) ) ) ) )
3433rabbidv 2962 . . . 4  |-  ( k  =  a  ->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F "
k )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  =  {
b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  a ) ) ) ) } )
3525, 34syl5eq 2485 . . 3  |-  ( k  =  a  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  =  { b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F "
a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  a ) ) ) ) } )
3635cbvmptv 4380 . 2  |-  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )  =  ( a  e.  J  |->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) Homeo ( Jt  a ) ) ) ) } )
371, 36eqtri 2461 1  |-  S  =  ( a  e.  J  |->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  a ) ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717    \ cdif 3322    i^i cin 3324   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835    |` cres 4838   "cima 4839  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355   Homeochmeo 19285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-xp 4842  df-cnv 4844  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fv 5423  df-ov 6093
This theorem is referenced by:  cvmsss2  27093  cvmliftmoi  27102  cvmlift  27118  cvmfo  27119  cvmlift3  27147
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