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Theorem cvmopnlem 24918
Description: Lemma for cvmopn 24920. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmseu.1  |-  B  = 
U. C
Assertion
Ref Expression
cvmopnlem  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  ( F " A )  e.  J )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    u, A, v    v, B
Allowed substitution hints:    A( k, s)    B( u, k, s)    S( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmopnlem
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 cvmcn 24902 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
32adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
4 cvmseu.1 . . . . . . . . . 10  |-  B  = 
U. C
5 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
64, 5cnf 17264 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
73, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  F : B --> U. J )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  F : B
--> U. J )
9 elssuni 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  C  ->  A  C_ 
U. C )
109, 4syl6sseqr 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  C  ->  A  C_  B )
1110adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  A  C_  B )
1211sselda 3308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  B )
138, 12ffvelrnd 5830 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  ( F `  z )  e.  U. J )
14 cvmcov.1 . . . . . . 7  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1514, 5cvmcov 24903 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( F `  z )  e.  U. J )  ->  E. t  e.  J  ( ( F `  z )  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) ) )
161, 13, 15syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  E. t  e.  J  ( ( F `  z )  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) ) )
17 n0 3597 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  t )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( S `  t
) )
18 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  C_  ( iota_ x  e.  w z  e.  x )
19 resima2 5138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  C_  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  =  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  =  ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
21 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  w  e.  ( S `  t ) )
221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2312adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  B
)
24 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  t )
25 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( iota_ x  e.  w z  e.  x )  =  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x )
2614, 4, 25cvmsiota 24917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
w  e.  ( S `
 t )  /\  z  e.  B  /\  ( F `  z )  e.  t ) )  ->  ( ( iota_ x  e.  w z  e.  x )  e.  w  /\  z  e.  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )
2722, 21, 23, 24, 26syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( iota_ x  e.  w z  e.  x )  e.  w  /\  z  e.  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )
2827simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
)  e.  w )
2914cvmshmeo 24911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( S `
 t )  /\  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x )  e.  w )  -> 
( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  e.  ( ( Ct  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  Homeo  ( Jt  t
) ) )
3021, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F  |`  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  e.  ( ( Ct  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  Homeo  ( Jt  t
) ) )
31 cvmtop1 24900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
3222, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  C  e.  Top )
33 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  A  e.  C
)
34 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x )  e.  w  /\  A  e.  C )  ->  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  e.  ( Ct  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
3532, 28, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  e.  ( Ct  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
36 hmeoima 17750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  e.  ( ( Ct  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  Homeo  ( Jt  t
) )  /\  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  e.  ( Ct  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  ->  (
( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t ) )
3730, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  e.  ( Jt  t ) )
3820, 37syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t ) )
39 cvmtop2 24901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  J  e.  Top )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  J  e.  Top )
4140ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  J  e.  Top )
4214cvmsrcl 24904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( S `  t )  ->  t  e.  J )
4342ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  t  e.  J
)
44 restopn2 17195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  t  e.  J )  ->  ( ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t )  <->  ( ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  J  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  t ) ) )
4541, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t )  <->  ( ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  J  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  t ) ) )
4638, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  J  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  t ) )
4746simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  e.  J )
48 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B --> U. J  ->  F  Fn  B )
497, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  F  Fn  B )
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  F  Fn  B
)
51 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  C_  A
5233, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  A  C_  B
)
5351, 52syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  C_  B )
54 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  A
)
5527simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )
56 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  A  /\  z  e.  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
5754, 55, 56sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )
58 fnfvima 5935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) 
C_  B  /\  z  e.  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) )
5950, 53, 57, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) )
60 imass2 5199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  C_  A  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) )
6151, 60mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) )
62 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( ( F `  z )  e.  y  <->  ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) ) )
63 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( y  C_  ( F " A
)  <->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) ) )
6462, 63anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( (
( F `  z
)  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  ( F " A ) ) ) )
6564rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  e.  J  /\  ( ( F `  z )  e.  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  /\  ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) )
6647, 59, 61, 65syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) )
6766expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  ( F `  z )  e.  t )  ->  (
w  e.  ( S `
 t )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
6867exlimdv 1643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  ( F `  z )  e.  t )  ->  ( E. w  w  e.  ( S `  t )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
6917, 68syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  ( F `  z )  e.  t )  ->  (
( S `  t
)  =/=  (/)  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7069expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( F `  z
)  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7170rexlimdvw 2793 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. t  e.  J  (
( F `  z
)  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7216, 71mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) )
7372ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) )
74 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
x  e.  y  <->  ( F `  z )  e.  y ) )
7574anbi1d 686 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <-> 
( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7675rexbidv 2687 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F
" A ) )  <->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7776ralima 5937 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  B  /\  A  C_  B )  -> 
( A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <->  A. z  e.  A  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7849, 11, 77syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  ( A. x  e.  ( F " A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <->  A. z  e.  A  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7973, 78mpbird 224 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) )
80 eltop2 16995 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( F " A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
8140, 80syl 16 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  (
( F " A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
8279, 81mpbird 224 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  ( F " A )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   ↾t crest 13603   Topctop 16913    Cn ccn 17242    Homeo chmeo 17738   CovMap ccvm 24895
This theorem is referenced by:  cvmopn  24920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-hmeo 17740  df-cvm 24896
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