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Theorem cvmliftphtlem 30112
 Description: Lemma for cvmliftpht 30113. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftpht.b
cvmliftpht.m
cvmliftpht.n
cvmliftpht.f CovMap
cvmliftpht.p
cvmliftpht.e
cvmliftphtlem.g
cvmliftphtlem.h
cvmliftphtlem.k
cvmliftphtlem.a
cvmliftphtlem.c
cvmliftphtlem.0
Assertion
Ref Expression
cvmliftphtlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem cvmliftphtlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftpht.b . . . 4
2 cvmliftpht.m . . . 4
3 cvmliftpht.f . . . 4 CovMap
4 cvmliftphtlem.g . . . 4
5 cvmliftpht.p . . . 4
6 cvmliftpht.e . . . 4
71, 2, 3, 4, 5, 6cvmliftiota 30096 . . 3
87simp1d 1042 . 2
9 cvmliftpht.n . . . 4
10 cvmliftphtlem.h . . . 4
11 cvmliftphtlem.k . . . . . . 7
124, 10, 11phtpy01 22094 . . . . . 6
1312simpld 466 . . . . 5
146, 13eqtrd 2505 . . . 4
151, 9, 3, 10, 5, 14cvmliftiota 30096 . . 3
1615simp1d 1042 . 2
17 cvmliftphtlem.a . 2
18 iitop 21990 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 iiuni 21991 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2018, 18, 19, 19txunii 20685 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120, 1cnf 20339 . . . . . . . . . . . . . 14
2217, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
23 0elunit 11776 . . . . . . . . . . . . . 14
24 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24mpan2 685 . . . . . . . . . . . . 13
26 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . 13
2722, 25, 26syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12
28 cvmliftphtlem.c . . . . . . . . . . . . . 14
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
3029fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12
3127, 30eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . 11
32 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . 12
3332fveq2i 5882 . . . . . . . . . . 11
34 df-ov 6311 . . . . . . . . . . 11
3531, 33, 343eqtr4g 2530 . . . . . . . . . 10
36 iitopon 21989 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
384, 10phtpyhtpy 22091 . . . . . . . . . . . . 13 Htpy
3938, 11sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12 Htpy
4037, 4, 10, 39htpyi 22083 . . . . . . . . . . 11
4140simpld 466 . . . . . . . . . 10
4235, 41eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
4342mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8
44 fovrn 6458 . . . . . . . . . . 11
4523, 44mp3an3 1379 . . . . . . . . . 10
4622, 45sylan 479 . . . . . . . . 9
47 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
48 cvmcn 30057 . . . . . . . . . . . 12 CovMap
493, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11
50 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
511, 50cnf 20339 . . . . . . . . . . 11
5249, 51syl 17 . . . . . . . . . 10
5352feqmptd 5932 . . . . . . . . 9
54 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
5546, 47, 53, 54fmptco 6072 . . . . . . . 8
5619, 50cnf 20339 . . . . . . . . . 10
574, 56syl 17 . . . . . . . . 9
5857feqmptd 5932 . . . . . . . 8
5943, 55, 583eqtr4d 2515 . . . . . . 7
60 cvmliftphtlem.0 . . . . . . 7
6137cnmptid 20753 . . . . . . . . 9
6223a1i 11 . . . . . . . . . 10
6337, 37, 62cnmptc 20754 . . . . . . . . 9
6437, 61, 63, 17cnmpt12f 20758 . . . . . . . 8
651cvmlift 30094 . . . . . . . . 9 CovMap
663, 4, 5, 6, 65syl22anc 1293 . . . . . . . 8
67 coeq2 4998 . . . . . . . . . . 11
6867eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
69 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12
70 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
71 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
72 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14
7370, 71, 72fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . 13
7423, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
7569, 74syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
7675eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
7768, 76anbi12d 725 . . . . . . . . 9
7877riota2 6292 . . . . . . . 8
7964, 66, 78syl2anc 673 . . . . . . 7
8059, 60, 79mpbi2and 935 . . . . . 6
812, 80syl5eq 2517 . . . . 5
8219, 1cnf 20339 . . . . . . 7
838, 82syl 17 . . . . . 6
8483feqmptd 5932 . . . . 5
8581, 84eqtr3d 2507 . . . 4
86 mpteqb 5979 . . . . 5
87 ovex 6336 . . . . . 6
8887a1i 11 . . . . 5
8986, 88mprg 2770 . . . 4
9085, 89sylib 201 . . 3
9190r19.21bi 2776 . 2
92 1elunit 11777 . . . . . . . . . . . . . 14
93 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . 14
9492, 93mpan2 685 . . . . . . . . . . . . 13
95 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . 13
9622, 94, 95syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12
9729fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12
9896, 97eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . 11
99 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . 12
10099fveq2i 5882 . . . . . . . . . . 11
101 df-ov 6311 . . . . . . . . . . 11
10298, 100, 1013eqtr4g 2530 . . . . . . . . . 10
10340simprd 470 . . . . . . . . . 10
104102, 103eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
105104mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8
106 fovrn 6458 . . . . . . . . . . 11
10792, 106mp3an3 1379 . . . . . . . . . 10
10822, 107sylan 479 . . . . . . . . 9
109 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
110 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
111108, 109, 53, 110fmptco 6072 . . . . . . . 8
11219, 50cnf 20339 . . . . . . . . . 10
11310, 112syl 17 . . . . . . . . 9
114113feqmptd 5932 . . . . . . . 8
115105, 111, 1143eqtr4d 2515 . . . . . . 7
116 iicon 21997 . . . . . . . . . . . . 13
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
118 iinllycon 30049 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally
12037, 63, 61, 17cnmpt12f 20758 . . . . . . . . . . . 12
121 cvmtop1 30055 . . . . . . . . . . . . . . 15 CovMap
1223, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
1231toptopon 20025 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
124122, 123sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
125 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . 14
12683, 23, 125sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13
127 cnconst2 20376 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
12837, 124, 126, 127syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
1294, 10, 11phtpyi 22093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130129simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13223, 131mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13422, 132, 133syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13529fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136134, 135eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138137fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140136, 138, 1393eqtr4g 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1417simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142141adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143142fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1446adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145143, 144eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146130, 140, 1453eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15
147146mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . 14
148 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . 14
149147, 148syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . 13
150 fovrn 6458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15123, 150mp3an2 1378 . . . . . . . . . . . . . . 15
15222, 151sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14
153 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
154 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
155152, 153, 53, 154fmptco 6072 . . . . . . . . . . . . 13
156 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15
15752, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
158 fcoconst 6076 . . . . . . . . . . . . . 14
159157, 126, 158syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
160149, 155, 1593eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12
16160, 141eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13
162 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15
163 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
164162, 163, 72fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
16523, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
166 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
167166fvconst2 6136 . . . . . . . . . . . . . 14
16823, 167ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
169161, 165, 1683eqtr4g 2530 . . . . . . . . . . . 12
1701, 19, 3, 117, 119, 62, 120, 128, 160, 169cvmliftmoi 30078 . . . . . . . . . . 11
171 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11
172170, 171syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
173 mpteqb 5979 . . . . . . . . . . 11
174 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11
176173, 175mprg 2770 . . . . . . . . . 10
177172, 176sylib 201 . . . . . . . . 9
178 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
179178eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
180179rspcv 3132 . . . . . . . . 9
18192, 177, 180mpsyl 64 . . . . . . . 8
182181, 141eqtrd 2505 . . . . . . 7
18392a1i 11 . . . . . . . . . 10
18437, 37, 183cnmptc 20754 . . . . . . . . 9
18537, 61, 184, 17cnmpt12f 20758 . . . . . . . 8
1861cvmlift 30094 . . . . . . . . 9 CovMap
1873, 10, 5, 14, 186syl22anc 1293 . . . . . . . 8
188 coeq2 4998 . . . . . . . . . . 11
189188eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
190 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12
191 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
192 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
193 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14
194191, 192, 193fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . 13
19523, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
196190, 195syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
197196eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
198189, 197anbi12d 725 . . . . . . . . 9
199198riota2 6292 . . . . . . . 8
200185, 187, 199syl2anc 673 . . . . . . 7
201115, 182, 200mpbi2and 935 . . . . . 6
2029, 201syl5eq 2517 . . . . 5
20319, 1cnf 20339 . . . . . . 7
20416, 203syl 17 . . . . . 6
205204feqmptd 5932 . . . . 5
206202, 205eqtr3d 2507 . . . 4
207 mpteqb 5979 . . . . 5
208 ovex 6336 . . . . . 6
209208a1i 11 . . . . 5
210207, 209mprg 2770 . . . 4
211206, 210sylib 201 . . 3
212211r19.21bi 2776 . 2
213177r19.21bi 2776 . 2
21437, 184, 61, 17cnmpt12f 20758 . . . . . 6
215 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8
21683, 92, 215sylancl 675 . . . . . . 7
217 cnconst2 20376 . . . . . . 7 TopOn TopOn
21837, 124, 216, 217syl3anc 1292 . . . . . 6
219 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . 14
22092, 219mpan 684 . . . . . . . . . . . . 13
221 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . 13
22222, 220, 221syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12
22329fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12
224222, 223eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . 11
225 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . 12
226225fveq2i 5882 . . . . . . . . . . 11
227 df-ov 6311 . . . . . . . . . . 11
228224, 226, 2273eqtr4g 2530 . . . . . . . . . 10
229129simprd 470 . . . . . . . . . 10
2307simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . 13
231230adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
232231fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11
23383adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
234 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . 12
235233, 92, 234sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
236232, 235eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10
237228, 229, 2363eqtrd 2509 . . . . . . . . 9
238237mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8
239 fconstmpt 4883 . . . . . . . 8
240238, 239syl6eqr 2523 . . . . . . 7
241 fovrn 6458 . . . . . . . . . 10
24292, 241mp3an2 1378 . . . . . . . . 9
24322, 242sylan 479 . . . . . . . 8
244 eqidd 2472 . . . . . . . 8
245 fveq2 5879 . . . . . . . 8
246243, 244, 53, 245fmptco 6072 . . . . . . 7
247 fcoconst 6076 . . . . . . . 8
248157, 216, 247syl2anc 673 . . . . . . 7
249240, 246, 2483eqtr4d 2515 . . . . . 6
250 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
251 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
252250, 251eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9
253252rspcv 3132 . . . . . . . 8
25492, 90, 253mpsyl 64 . . . . . . 7
255 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
256 eqid 2471 . . . . . . . . 9
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