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Theorem cvmliftmolem2 28924
Description: Lemma for cvmliftmo 28926. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftmo.y  |-  Y  = 
U. K
cvmliftmo.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftmo.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Con )
cvmliftmo.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Con )
cvmliftmo.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmliftmoi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( K  Cn  C ) )
cvmliftmoi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
cvmliftmoi.g  |-  ( ph  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
cvmliftmoi.p  |-  ( ph  ->  ( M `  O
)  =  ( N `
 O ) )
cvmliftmolem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmliftmolem2  |-  ( ph  ->  M  =  N )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, J, s, u, v    v, B    K, s    k, M, s, u, v    N, s    ph, s    k, F, s, u, v    S, s    Y, s
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k)    B( u, k, s)    S( v, u, k)    K( v, u, k)    N( v, u, k)    O( v, u, k, s)    Y( v, u, k)

Proof of Theorem cvmliftmolem2
Dummy variables  a 
b  t  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmoi.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( K  Cn  C ) )
2 cvmliftmo.y . . . 4  |-  Y  = 
U. K
3 cvmliftmo.b . . . 4  |-  B  = 
U. C
42, 3cnf 19874 . . 3  |-  ( M  e.  ( K  Cn  C )  ->  M : Y --> B )
5 ffn 5737 . . 3  |-  ( M : Y --> B  ->  M  Fn  Y )
61, 4, 53syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  M  Fn  Y )
7 cvmliftmoi.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
82, 3cnf 19874 . . 3  |-  ( N  e.  ( K  Cn  C )  ->  N : Y --> B )
9 ffn 5737 . . 3  |-  ( N : Y --> B  ->  N  Fn  Y )
107, 8, 93syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  N  Fn  Y )
11 cvmliftmo.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  Con )
12 inss1 3714 . . . . . . 7  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  K
13 cvmliftmo.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
151, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M : Y --> B )
1615ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( M `  x )  e.  B )
17 cvmcn 28904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
18 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
193, 18cnf 19874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
2013, 17, 193syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : B --> U. J
)
2120ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( M `  x )  e.  B
)  ->  ( F `  ( M `  x
) )  e.  U. J )
2216, 21syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( M `  x ) )  e. 
U. J )
23 cvmliftmolem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
2423, 18cvmcov 28905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( F `  ( M `  x ) )  e. 
U. J )  ->  E. a  e.  J  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) ) )
2514, 22, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. a  e.  J  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `
 a )  =/=  (/) ) )
26 n0 3803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  a )  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  ( S `  a
) )
27 cvmliftmo.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Con )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally  Con )
291adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  M  e.  ( K  Cn  C
) )
30 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  t  e.  ( S `  a ) )
3123cvmsss 28909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  ( S `  a )  ->  t  C_  C )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  t  C_  C )
3313adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
3415adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  M : Y
--> B )
35 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  x  e.  Y )
3634, 35ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( M `  x )  e.  B
)
37 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( F `  ( M `  x
) )  e.  a )
38 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  t 
( M `  x
)  e.  b )
3923, 3, 38cvmsiota 28919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
t  e.  ( S `
 a )  /\  ( M `  x )  e.  B  /\  ( F `  ( M `  x ) )  e.  a ) )  -> 
( ( iota_ b  e.  t  ( M `  x )  e.  b )  e.  t  /\  ( M `  x )  e.  ( iota_ b  e.  t  ( M `  x )  e.  b ) ) )
4033, 30, 36, 37, 39syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( ( iota_ b  e.  t  ( M `  x )  e.  b )  e.  t  /\  ( M `
 x )  e.  ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) )
4140simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b )  e.  t )
4232, 41sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b )  e.  C
)
43 cnima 19893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ( K  Cn  C )  /\  ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b )  e.  C )  -> 
( `' M "
( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) )  e.  K )
4429, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x )  e.  b ) )  e.  K
)
4540simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( M `  x )  e.  (
iota_ b  e.  t 
( M `  x
)  e.  b ) )
46 elpreima 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  Fn  Y  ->  (
x  e.  ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( M `  x )  e.  ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) ) )
4734, 5, 463syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' M "
( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( M `
 x )  e.  ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) ) )
4835, 45, 47mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  x  e.  ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) ) )
49 nlly2i 20103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Con  /\  ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  e.  K  /\  x  e.  ( `' M "
( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )
5028, 44, 48, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )
51 simprr1 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  ->  x  e.  y )
52 cvmliftmo.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
53 cvmliftmoi.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
54 cvmliftmoi.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( M `  O
)  =  ( N `
 O ) )
55 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  (
( F `  ( M `  x )
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
)  ->  t  e.  ( S `  a ) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  t  e.  ( S `  a
) )
5741adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  ( iota_ b  e.  t  ( M `  x )  e.  b )  e.  t )
58 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  (
x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )  /\  z  e.  y )  ->  s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) )
5958ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) )
6059elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  s  C_  ( `' M "
( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) )
61 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  (
x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )  /\  z  e.  y )  ->  ( Kt  s )  e.  Con )
6261ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  ( Kt  s )  e.  Con )
63 simplr2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  (
x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )  /\  z  e.  y )  ->  y  C_  s )
6463ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  y  C_  s )
65 simprr1 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  (
( F `  ( M `  x )
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  ->  x  e.  y )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  (
x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) ) ) )  ->  x  e.  y )
6766adantrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  x  e.  y )
6864, 67sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  x  e.  s )
69 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  z  e.  y )
7064, 69sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  z  e.  s )
7137adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  ( F `  ( M `  x ) )  e.  a )
723, 2, 13, 11, 27, 52, 1, 7, 53, 54, 23, 56, 57, 60, 62, 68, 68, 70, 71cvmliftmolem1 28923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  (
x  e.  dom  ( M  i^i  N )  -> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
733, 2, 13, 11, 27, 52, 1, 7, 53, 54, 23, 56, 57, 60, 62, 68, 70, 68, 71cvmliftmolem1 28923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  (
z  e.  dom  ( M  i^i  N )  ->  x  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
7472, 73impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  (
x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N
) ) )
7574anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
)  ->  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
7675anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  (
( F `  ( M `  x )
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  /\  z  e.  y )  ->  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
7776ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  ->  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
7851, 77jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
7978expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con )  -> 
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e. 
dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8079anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  (
( F `  ( M `  x )
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  /\  s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `  x
)  e.  b ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con )  ->  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N
) ) ) ) )
8180reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) ) )  ->  ( E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8281rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( E. s  e.  ~P  ( `' M " ( iota_ b  e.  t  ( M `
 x )  e.  b ) ) E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8350, 82mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
8483anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
8584expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )
)  /\  ( F `  ( M `  x
) )  e.  a )  ->  ( t  e.  ( S `  a
)  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8685exlimdv 1725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )
)  /\  ( F `  ( M `  x
) )  e.  a )  ->  ( E. t  t  e.  ( S `  a )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8726, 86syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )
)  /\  ( F `  ( M `  x
) )  e.  a )  ->  ( ( S `  a )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8887expimpd 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  a  e.  J ) )  -> 
( ( ( F `
 ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `
 a )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8988anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Y )  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
9089rexlimdva 2949 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  J  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
9125, 90mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
9291ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
93 contop 20044 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Con  ->  K  e.  Top )
9411, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
95 fndmin 5995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  Fn  Y  /\  N  Fn  Y )  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
966, 10, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
97 ssrab2 3581 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) }  C_  Y
9896, 97syl6eqss 3549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  C_  Y )
992isclo 19715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  ( M  i^i  N
)  C_  Y )  ->  ( dom  ( M  i^i  N )  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  <->  A. x  e.  Y  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
10094, 98, 99syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( dom  ( M  i^i  N )  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  <->  A. x  e.  Y  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
10192, 100mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) ) )
10212, 101sseldi 3497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  e.  K )
103 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  O  ->  ( M `  x )  =  ( M `  O ) )
104 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  O  ->  ( N `  x )  =  ( N `  O ) )
105103, 104eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  O  ->  (
( M `  x
)  =  ( N `
 x )  <->  ( M `  O )  =  ( N `  O ) ) )
106105elrab 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  { x  e.  Y  |  ( M `
 x )  =  ( N `  x
) }  <->  ( O  e.  Y  /\  ( M `  O )  =  ( N `  O ) ) )
10752, 54, 106sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
108107, 96eleqtrrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  dom  ( M  i^i  N ) )
109 ne0i 3799 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  dom  ( M  i^i  N )  ->  dom  ( M  i^i  N
)  =/=  (/) )
110108, 109syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  =/=  (/) )
111 inss2 3715 . . . . . . 7  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  ( Clsd `  K )
112111, 101sseldi 3497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  e.  ( Clsd `  K ) )
1132, 11, 102, 110, 112conclo 20042 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  Y )
114113, 96eqtr3d 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
115 rabid2 3035 . . . 4  |-  ( Y  =  { x  e.  Y  |  ( M `
 x )  =  ( N `  x
) }  <->  A. x  e.  Y  ( M `  x )  =  ( N `  x ) )
116114, 115sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  ( M `  x )  =  ( N `  x ) )
117116r19.21bi 2826 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( M `  x )  =  ( N `  x ) )
1186, 10, 117eqfnfvd 5985 1  |-  ( ph  ->  M  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   ↾t crest 14838   Topctop 19521   Clsdccld 19644    Cn ccn 19852   Conccon 20038  𝑛Locally cnlly 20092   Homeochmeo 20380   CovMap ccvm 28897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-nei 19726  df-cn 19855  df-con 20039  df-nlly 20094  df-hmeo 20382  df-cvm 28898
This theorem is referenced by:  cvmliftmoi  28925
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