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Theorem cvmliftmolem1 30076
Description: Lemma for cvmliftmo 30079. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftmo.y  |-  Y  = 
U. K
cvmliftmo.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftmo.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Con )
cvmliftmo.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Con )
cvmliftmo.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmliftmoi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( K  Cn  C ) )
cvmliftmoi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
cvmliftmoi.g  |-  ( ph  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
cvmliftmoi.p  |-  ( ph  ->  ( M `  O
)  =  ( N `
 O ) )
cvmliftmolem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftmolem.2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  e.  ( S `
 U ) )
cvmliftmolem.3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  T )
cvmliftmolem.4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  ( `' M " W ) )
cvmliftmolem.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Kt  I )  e.  Con )
cvmliftmolem.6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  e.  I )
cvmliftmolem.7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  I )
cvmliftmolem.8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  R  e.  I )
cvmliftmolem.9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F `  ( M `  X )
)  e.  U )
Assertion
Ref Expression
cvmliftmolem1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  dom  ( M  i^i  N )  ->  R  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, J, s, u, v    v, B    K, s    k, M, s, u, v    N, s    ph, s    k, F, s, u, v    S, s    U, k, s, u, v    T, s, u, v    u, W, v    Y, s
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k)    ps( v, u, k, s)    B( u, k, s)    Q( v, u, k, s)    R( v, u, k, s)    S( v, u, k)    T( k)    I( v, u, k, s)    K( v, u, k)    N( v, u, k)    O( v, u, k, s)    W( k, s)    X( v, u, k, s)    Y( v, u, k)

Proof of Theorem cvmliftmolem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmoi.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
21adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
32fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( F  o.  M ) `  R
)  =  ( ( F  o.  N ) `
 R ) )
4 cvmliftmolem.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  ( `' M " W ) )
5 cvmliftmolem.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  R  e.  I )
64, 5sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  R  e.  ( `' M " W ) )
7 cvmliftmoi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( K  Cn  C ) )
8 cvmliftmo.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  = 
U. K
9 cvmliftmo.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  = 
U. C
108, 9cnf 20339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( K  Cn  C )  ->  M : Y --> B )
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M : Y --> B )
12 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : Y --> B  ->  M  Fn  Y )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  Fn  Y )
14 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  Fn  Y  ->  ( R  e.  ( `' M " W )  <->  ( R  e.  Y  /\  ( M `  R )  e.  W ) ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( `' M " W )  <-> 
( R  e.  Y  /\  ( M `  R
)  e.  W ) ) )
1615simprbda 635 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( `' M " W ) )  ->  R  e.  Y )
176, 16syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  R  e.  Y )
18 fvco3 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : Y --> B  /\  R  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  M ) `  R
)  =  ( F `
 ( M `  R ) ) )
1911, 18sylan 479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  Y )  ->  (
( F  o.  M
) `  R )  =  ( F `  ( M `  R ) ) )
2017, 19syldan 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( F  o.  M ) `  R
)  =  ( F `
 ( M `  R ) ) )
21 cvmliftmoi.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
228, 9cnf 20339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( K  Cn  C )  ->  N : Y --> B )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N : Y --> B )
24 fvco3 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N : Y --> B  /\  R  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  N ) `  R
)  =  ( F `
 ( N `  R ) ) )
2523, 24sylan 479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  Y )  ->  (
( F  o.  N
) `  R )  =  ( F `  ( N `  R ) ) )
2617, 25syldan 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( F  o.  N ) `  R
)  =  ( F `
 ( N `  R ) ) )
273, 20, 263eqtr3d 2513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F `  ( M `  R )
)  =  ( F `
 ( N `  R ) ) )
2827adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( F `  ( M `  R
) )  =  ( F `  ( N `
 R ) ) )
2915simplbda 636 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( `' M " W ) )  ->  ( M `  R )  e.  W
)
306, 29syldan 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M `  R
)  e.  W )
3130adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( M `  R )  e.  W
)
32 fvres 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  R )  e.  W  ->  (
( F  |`  W ) `
 ( M `  R ) )  =  ( F `  ( M `  R )
) )
3331, 32syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( F  |`  W ) `  ( M `  R ) )  =  ( F `
 ( M `  R ) ) )
345adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  R  e.  I )
35 fvres 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  I  ->  (
( N  |`  I ) `
 R )  =  ( N `  R
) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) `  R )  =  ( N `  R ) )
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( Kt  I )  =  U. ( Kt  I )
38 cvmliftmolem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Kt  I )  e.  Con )
3938adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( Kt  I
)  e.  Con )
4021adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
41 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' M " W ) 
C_  dom  M
42 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : Y --> B  ->  dom  M  =  Y )
4311, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  M  =  Y )
4441, 43syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' M " W )  C_  Y
)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' M " W )  C_  Y
)
464, 45sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  Y )
478cnrest 20378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( K  Cn  C )  /\  I  C_  Y )  -> 
( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  C ) )
4840, 46, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  C ) )
49 cvmliftmo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
51 cvmtop1 30055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  C  e.  Top )
539toptopon 20025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
5452, 53sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  C  e.  (TopOn `  B ) )
55 df-ima 4852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N
" I )  =  ran  ( N  |`  I )
56 cvmliftmolem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  T )
57 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  e.  T  ->  W  C_ 
U. T )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  C_  U. T )
59 cvmliftmolem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  e.  ( S `
 U ) )
60 cvmliftmolem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
6160cvmsuni 30064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
6358, 62sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  C_  ( `' F " U ) )
64 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W 
C_  ( `' F " U )  ->  ( `' M " W ) 
C_  ( `' M " ( `' F " U ) ) )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' M " W )  C_  ( `' M " ( `' F " U ) ) )
664, 65sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  ( `' M " ( `' F " U ) ) )
672cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  `' ( F  o.  M )  =  `' ( F  o.  N
) )
68 cnvco 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  `' ( F  o.  M )  =  ( `' M  o.  `' F )
69 cnvco 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  `' ( F  o.  N )  =  ( `' N  o.  `' F )
7067, 68, 693eqtr3g 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' M  o.  `' F )  =  ( `' N  o.  `' F ) )
7170imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( `' M  o.  `' F ) " U
)  =  ( ( `' N  o.  `' F ) " U
) )
72 imaco 5347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' M  o.  `' F ) " U
)  =  ( `' M " ( `' F " U ) )
73 imaco 5347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' N  o.  `' F ) " U
)  =  ( `' N " ( `' F " U ) )
7471, 72, 733eqtr3g 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' M "
( `' F " U ) )  =  ( `' N "
( `' F " U ) ) )
7566, 74sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  ( `' N " ( `' F " U ) ) )
7623adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  N : Y --> B )
77 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N : Y --> B  ->  Fun  N )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Fun  N )
79 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N : Y --> B  ->  dom  N  =  Y )
8076, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  N  =  Y )
8146, 80sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  dom  N )
82 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  N  /\  I  C_ 
dom  N )  -> 
( ( N "
I )  C_  ( `' F " U )  <-> 
I  C_  ( `' N " ( `' F " U ) ) ) )
8378, 81, 82syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N "
I )  C_  ( `' F " U )  <-> 
I  C_  ( `' N " ( `' F " U ) ) ) )
8475, 83mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( N " I
)  C_  ( `' F " U ) )
8555, 84syl5eqssr 3463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ran  ( N  |`  I )  C_  ( `' F " U ) )
86 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " U ) 
C_  dom  F
87 cvmcn 30057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
8849, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
89 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. J  =  U. J
909, 89cnf 20339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
9188, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : B --> U. J
)
92 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : B --> U. J  ->  dom  F  =  B )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  F  =  B )
9586, 94syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' F " U )  C_  B
)
96 cnrest2 20379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( N  |`  I ) 
C_  ( `' F " U )  /\  ( `' F " U ) 
C_  B )  -> 
( ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  C
)  <->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) ) )
9754, 85, 95, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  C
)  <->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) ) )
9848, 97mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
9998adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
100 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W 
C_  ( `' F " U )  <->  ( W  i^i  ( `' F " U ) )  =  W )
10163, 100sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( W  i^i  ( `' F " U ) )  =  W )
1029topopn 20013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  Top  ->  B  e.  C )
10352, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  C )
104103, 95ssexd 4543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
10560cvmsss 30062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  C_  C )
10659, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  C_  C )
107106, 56sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  C )
108 elrestr 15405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V  /\  W  e.  C )  ->  ( W  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
10952, 104, 107, 108syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( W  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
110101, 109eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
111110adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
11260cvmscld 30068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  W  e.  T )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
11350, 59, 56, 112syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
114113adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
115 cvmliftmolem.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  I )
116 cvmliftmo.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  Con )
117 contop 20509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Con  ->  K  e.  Top )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K  e.  Top )
1208restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  I  C_  Y )  ->  I  =  U. ( Kt  I ) )
121119, 46, 120syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  =  U. ( Kt  I ) )
122115, 121eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  U. ( Kt  I ) )
123122adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  Q  e.  U. ( Kt  I ) )
124115adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  Q  e.  I )
125 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  I  ->  (
( N  |`  I ) `
 Q )  =  ( N `  Q
) )
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) `  Q )  =  ( N `  Q ) )
127 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )
1284, 115sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  ( `' M " W ) )
129 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  Fn  Y  ->  ( Q  e.  ( `' M " W )  <->  ( Q  e.  Y  /\  ( M `  Q )  e.  W ) ) )
13013, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( `' M " W )  <-> 
( Q  e.  Y  /\  ( M `  Q
)  e.  W ) ) )
131130simplbda 636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( `' M " W ) )  ->  ( M `  Q )  e.  W
)
132128, 131syldan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M `  Q
)  e.  W )
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( M `  Q )  e.  W
)
134127, 133eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N `  Q )  e.  W
)
135126, 134eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) `  Q )  e.  W
)
13637, 39, 99, 111, 114, 123, 135concn 20518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N  |`  I ) : U. ( Kt  I ) --> W )
137121adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  I  =  U. ( Kt  I ) )
138137feq2d 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) : I --> W  <->  ( N  |`  I ) : U. ( Kt  I ) --> W ) )
139136, 138mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N  |`  I ) : I --> W )
140139, 34ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) `  R )  e.  W
)
14136, 140eqeltrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N `  R )  e.  W
)
142 fvres 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  R )  e.  W  ->  (
( F  |`  W ) `
 ( N `  R ) )  =  ( F `  ( N `  R )
) )
143141, 142syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( F  |`  W ) `  ( N `  R ) )  =  ( F `
 ( N `  R ) ) )
14428, 33, 1433eqtr4d 2515 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( F  |`  W ) `  ( M `  R ) )  =  ( ( F  |`  W ) `  ( N `  R
) ) )
14560cvmsf1o 30067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  W  e.  T )  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-onto-> U )
14650, 59, 56, 145syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-onto-> U )
147 f1of1 5827 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  W ) : W -1-1-onto-> U  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-> U )
148146, 147syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-> U )
149148adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-> U )
150 f1fveq 6181 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  W ) : W -1-1-> U  /\  ( ( M `  R )  e.  W  /\  ( N `  R
)  e.  W ) )  ->  ( (
( F  |`  W ) `
 ( M `  R ) )  =  ( ( F  |`  W ) `  ( N `  R )
)  <->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
151149, 31, 141, 150syl12anc 1290 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( (
( F  |`  W ) `
 ( M `  R ) )  =  ( ( F  |`  W ) `  ( N `  R )
)  <->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
152144, 151mpbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) )
153152ex 441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M `  Q )  =  ( N `  Q )  ->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
154130simprbda 635 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( `' M " W ) )  ->  Q  e.  Y )
155128, 154syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  Y )
156 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  ( M `  x )  =  ( M `  Q ) )
157 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  ( N `  x )  =  ( N `  Q ) )
158156, 157eqeq12d 2486 . . . . 5  |-  ( x  =  Q  ->  (
( M `  x
)  =  ( N `
 x )  <->  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) ) )
159158elrab3 3185 . . . 4  |-  ( Q  e.  Y  ->  ( Q  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) }  <->  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) ) )
160155, 159syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  {
x  e.  Y  | 
( M `  x
)  =  ( N `
 x ) }  <-> 
( M `  Q
)  =  ( N `
 Q ) ) )
161 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  R  ->  ( M `  x )  =  ( M `  R ) )
162 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  R  ->  ( N `  x )  =  ( N `  R ) )
163161, 162eqeq12d 2486 . . . . 5  |-  ( x  =  R  ->  (
( M `  x
)  =  ( N `
 x )  <->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
164163elrab3 3185 . . . 4  |-  ( R  e.  Y  ->  ( R  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) }  <->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
16517, 164syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  e.  {
x  e.  Y  | 
( M `  x
)  =  ( N `
 x ) }  <-> 
( M `  R
)  =  ( N `
 R ) ) )
166153, 160, 1653imtr4d 276 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  {
x  e.  Y  | 
( M `  x
)  =  ( N `
 x ) }  ->  R  e.  {
x  e.  Y  | 
( M `  x
)  =  ( N `
 x ) } ) )
167 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( N : Y --> B  ->  N  Fn  Y )
16823, 167syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  Fn  Y )
169 fndmin 6004 . . . . 5  |-  ( ( M  Fn  Y  /\  N  Fn  Y )  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
17013, 168, 169syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
171170adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
172171eleq2d 2534 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
Q  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } ) )
173171eleq2d 2534 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
R  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } ) )
174166, 172, 1733imtr4d 276 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  dom  ( M  i^i  N )  ->  R  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    o. ccom 4843   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108    Cn ccn 20317   Conccon 20503  𝑛Locally cnlly 20557   Homeochmeo 20845   CovMap ccvm 30050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-con 20504  df-hmeo 20847  df-cvm 30051
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem2  30077
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