Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem7 Structured version   Unicode version

Theorem cvmliftlem7 27149
Description: Lemma for cvmlift 27157. Prove by induction that every  Q function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 27148 to show functionality and lifting of  Q). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
cvmliftlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cvmliftlem.t  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
cvmliftlem.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
cvmliftlem.l  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
cvmliftlem.q  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
Distinct variable groups:    v, b,
z, B    j, b,
k, m, s, u, x, F, v, z   
z, L    M, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    P, b, k, m, u, v, x, z    C, b, j, k, s, u, v, z    ph, j,
s, x, z    N, b, k, m, u, v, x, z    S, b, j, k, s, u, v, x, z    j, X    G, b, j, k, m, s, u, v, x, z    T, b, j, k, m, s, u, v, x, z    J, b, j, k, s, u, v, x, z    Q, b, k, m, u, v, x, z    k, W, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k, m, b)    B( x, u, j, k, m, s)    C( x, m)    P( j, s)    Q( j, s)    S( m)    J( m)    L( x, v, u, j, k, m, s, b)    N( j, s)    W( v, u, j, s, b)    X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem7
Dummy variables  y  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssp1 11493 . . . 4  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
2 cvmliftlem.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
32nncnd 10330 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 9332 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
6 npcan 9611 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
87oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
0 ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
91, 8syl5sseq 3399 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
10 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
11 elfzelz 11445 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
122nnzd 10738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
13 elfzm1b 11530 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
1411, 12, 13syl2anr 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  e.  ( 1 ... N )  <->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
1510, 14mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
169, 15sseldd 3352 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
17 elfznn0 11473 . . . 4  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
19 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  0  e.  ( 0 ... N
) ) )
20 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( Q `  y )  =  ( Q ` 
0 ) )
21 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
y  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
2220, 21fveq12d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) ) )
2321fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
0  /  N ) ) )
2423sneqd 3884 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( 0  /  N ) ) } )
2524imaeq2d 5164 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
2622, 25eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) )
2719, 26imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  0
) `  ( 0  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N
) ) } ) ) ) )
2827imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  0  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) ) ) )
29 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  n  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
30 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  n ) )
31 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  (
y  /  N )  =  ( n  /  N ) )
3230, 31fveq12d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) ) )
3331fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  n  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
n  /  N ) ) )
3433sneqd 3884 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( n  /  N ) ) } )
3534imaeq2d 5164 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )
3632, 35eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )
3729, 36imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  n  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) )
3837imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  n  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) ) )
39 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
40 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  ( n  +  1
) ) )
41 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  /  N )  =  ( ( n  +  1 )  /  N ) )
4240, 41fveq12d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
4341fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
4443sneqd 3884 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } )
4544imaeq2d 5164 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) )
4642, 45eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
4739, 46imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
4847imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
49 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
50 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  ( M  -  1
) ) )
51 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
y  /  N )  =  ( ( M  -  1 )  /  N ) )
5250, 51fveq12d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )
5351fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )
5453sneqd 3884 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } )
5554imaeq2d 5164 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
5652, 55eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
5749, 56imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
5857imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
59 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
60 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  = 
U. C
61 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
62 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
63 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
64 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
65 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
66 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
67 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
68 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
69 cvmliftlem.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
7059, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69cvmliftlem4 27146 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 0 )  =  { <. 0 ,  P >. }
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  { <. 0 ,  P >. } )
722nnne0d 10358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
733, 72div0d 10098 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
7471, 73fveq12d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  =  ( {
<. 0 ,  P >. } `  0 ) )
75 0nn0 10586 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
76 fvsng 5907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  P  e.  B )  ->  ( { <. 0 ,  P >. } `  0
)  =  P )
7775, 64, 76sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( { <. 0 ,  P >. } `  0
)  =  P )
7874, 77eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  =  P )
7973fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  (
0  /  N ) )  =  ( G `
 0 ) )
8065, 79eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 ( 0  /  N ) ) )
81 cvmcn 27120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
8262, 81syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
8360, 61cnf 18830 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
84 ffn 5554 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : B --> X  ->  F  Fn  B )
8582, 83, 843syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
86 fniniseg 5819 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  B  ->  ( P  e.  ( `' F " { ( G `
 ( 0  /  N ) ) } )  <->  ( P  e.  B  /\  ( F `
 P )  =  ( G `  (
0  /  N ) ) ) ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } )  <->  ( P  e.  B  /\  ( F `  P )  =  ( G `  ( 0  /  N
) ) ) ) )
8864, 80, 87mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
8978, 88eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
9089a1d 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) )
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e. 
NN0 )
92 nn0uz 10887 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9391, 92syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9493adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
95 peano2fzr 11455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  n  e.  ( 0 ... N ) )
9695ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
9794, 96syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
9897imim1d 75 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) )
99 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  -  1 )  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) )
100 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )
101 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
n  +  1 )  <_  N )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  N
)
103 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
104 nn0p1nn 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
106 nnuz 10888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
107105, 106syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
10812adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
109 elfz5 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( n  +  1 )  <_  N ) )
110107, 108, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( n  + 
1 )  <_  N
) )
111102, 110mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
112 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )
113103nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  CC )
114 pncan 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
115113, 5, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
116115fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( Q `  n ) )
117115oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N )  =  ( n  /  N ) )
118116, 117fveq12d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( ( Q `  n
) `  ( n  /  N ) ) )
119117fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( G `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( G `  ( n  /  N ) ) )
120119sneqd 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  { ( G `
 ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) ) }  =  { ( G `
 ( n  /  N ) ) } )
121120imaeq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( `' F " { ( G `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N
) ) } ) )
122112, 118, 1213eltr4d 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) ) } ) )
12359, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122cvmliftlem6 27148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  (
( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
124123simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( n  +  1
) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B )
125103nn0red 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  RR )
1262adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  NN )
127125, 126nndivred 10362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR )
128127rexrd 9425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR* )
129 peano2re 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
130125, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
131130, 126nndivred 10362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  RR )
132131rexrd 9425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  RR* )
133125ltp1d 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  <  (
n  +  1 ) )
134126nnred 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  RR )
135126nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  0  <  N
)
136 ltdiv1 10185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
137125, 130, 134, 135, 136syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  < 
( n  +  1 )  <->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
138133, 137mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) )
139127, 131, 138ltled 9514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  <_  (
( n  +  1 )  /  N ) )
140 ubicc2 11394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  /  N
)  e.  RR*  /\  (
( n  +  1 )  /  N )  e.  RR*  /\  (
n  /  N )  <_  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  /  N
)  e.  ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
141128, 132, 139, 140syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
142117oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
143141, 142eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
144124, 143ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  B
)
145123simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
146142reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( G  |`  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G  |`  ( (
n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
147145, 146eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  ( ( n  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
148147fveq1d 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1
) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( G  |`  (
( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
149142feq2d 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  <->  ( Q `  ( n  +  1 ) ) : ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B ) )
150124, 149mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( n  +  1
) ) : ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B )
151 fvco3 5763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  (
n  +  1 ) ) : ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  /\  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
152150, 141, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1
) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
153 fvres 5699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  ->  (
( G  |`  (
( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) )
154141, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( G  |`  ( ( n  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( G `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
155148, 152, 1543eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
15685adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  F  Fn  B
)
157 fniniseg 5819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } )  <->  ( (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) ) ) )
158156, 157syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } )  <-> 
( ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  B  /\  ( F `  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
159144, 155, 158mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) )
160159expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
161160expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
162161a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
16398, 162syld 44 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
164163expcom 435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
165164a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
16628, 38, 48, 58, 90, 165nn0ind 10730 . . . 4  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
167166impd 431 . . 3  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
16818, 167mpcom 36 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
16916, 168syldan 470 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   <.cop 3878   U.cuni 4086   U_ciun 4166   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    _I cid 4626    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   ran crn 4836    |` cres 4837   "cima 4838    o. ccom 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   iota_crio 6046  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   (,)cioo 11292   [,]cicc 11295   ...cfz 11429    seqcseq 11798   ↾t crest 14351   topGenctg 14368    Cn ccn 18808   Homeochmeo 19306   IIcii 20431   CovMap ccvm 27113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-cn 18811  df-hmeo 19308  df-ii 20433  df-cvm 27114
This theorem is referenced by:  cvmliftlem8  27150  cvmliftlem9  27151  cvmliftlem10  27152  cvmliftlem13  27154
  Copyright terms: Public domain W3C validator