Theorem cvmliftlem7 28933

Description: Lemma for cvmlift 28941. Prove by induction that every Q function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 28932 to show functionality and lifting of Q). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b	|- B = U. C
cvmliftlem.x	|- X = U. J
cvmliftlem.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmliftlem.g	|- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
cvmliftlem.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmliftlem.e	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
cvmliftlem.n	|- ( ph -> N e. NN )
cvmliftlem.t	|- ( ph -> T : ( 1 ... N ) --> U_ j e. J ( { j } X. ( S ` j ) ) )
cvmliftlem.a	|- ( ph -> A. k e. ( 1 ... N ) ( G " ( ( ( k - 1 ) / N ) [,] ( k / N ) ) ) C_ ( 1st ` ( T ` k ) ) )
cvmliftlem.l	|- L = ( topGen ` ran (,) )
cvmliftlem.q	|- Q = seq 0 ( ( x e. _V , m e. NN |-> ( z e. ( ( ( m - 1 ) / N ) [,] ( m / N ) ) |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` m ) ) ( x ` ( ( m - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) , ( ( _I |` NN ) u. { <. 0 , { <. 0 , P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3	|- W = ( ( ( M - 1 ) / N ) [,] ( M / N ) )

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem7	|- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )

Distinct variable groups:   v, b, z, B   j, b, k, m, s, u, x, F, v, z   z, L   M, b, j, k, m, s, u, v, x, z   P, b, k, m, u, v, x, z   C, b, j, k, s, u, v, z   ph, j, s, x, z   N, b, k, m, u, v, x, z   S, b, j, k, s, u, v, x, z   j, X   G, b, j, k, m, s, u, v, x, z   T, b, j, k, m, s, u, v, x, z   J, b, j, k, s, u, v, x, z   Q, b, k, m, u, v, x, z   k, W, m, x, z

Allowed substitution hints:   ph( v, u, k, m, b)   B( x, u, j, k, m, s)   C( x, m)   P( j, s)   Q( j, s)   S( m)   J( m)   L( x, v, u, j, k, m, s, b)   N( j, s)   W( v, u, j, s, b)   X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem7

Dummy variables y n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssp1 11752	. . . 4 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
2		cvmliftlem.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
3	2	nncnd 10572	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
4	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> N e. CC )
5		ax-1cn 9567	. . . . . 6 |- 1 e. CC
6		npcan 9848	. . . . . 6 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
8	7	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
9	1, 8	syl5sseq 3547	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
10		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> M e. ( 1 ... N ) )
11		elfzelz 11713	. . . . 5 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> M e. ZZ )
12	2	nnzd 10989	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
13		elfzm1b 11782	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
14	11, 12, 13	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
15	10, 14	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
16	9, 15	sseldd 3500	. 2 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
17		elfznn0 11797	. . . 4 |- ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( M - 1 ) e. NN0 )
18	17	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. NN0 )
19		eleq1 2529	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> 0 e. ( 0 ... N ) ) )
20		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( Q ` y ) = ( Q ` 0 ) )
21		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( y / N ) = ( 0 / N ) )
22	20, 21	fveq12d 5878	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) )
23	21	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( 0 / N ) ) )
24	23	sneqd 4044	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( 0 / N ) ) } )
25	24	imaeq2d 5347	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) )
26	22, 25	eleq12d 2539	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) )
27	19, 26	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) ) )
28	27	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = 0 -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) ) ) )
29		eleq1 2529	. . . . . . 7 |- ( y = n -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> n e. ( 0 ... N ) ) )
30		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( Q ` y ) = ( Q ` n ) )
31		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( y / N ) = ( n / N ) )
32	30, 31	fveq12d 5878	. . . . . . . 8 |- ( y = n -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) )
33	31	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( y = n -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( n / N ) ) )
34	33	sneqd 4044	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( n / N ) ) } )
35	34	imaeq2d 5347	. . . . . . . 8 |- ( y = n -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) )
36	32, 35	eleq12d 2539	. . . . . . 7 |- ( y = n -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) )
37	29, 36	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( y = n -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) )
38	37	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = n -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) ) )
39		eleq1 2529	. . . . . . 7 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
40		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( Q ` y ) = ( Q ` ( n + 1 ) ) )
41		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( y / N ) = ( ( n + 1 ) / N ) )
42	40, 41	fveq12d 5878	. . . . . . . 8 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
43	41	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
44	43	sneqd 4044	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( n + 1 ) -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } )
45	44	imaeq2d 5347	. . . . . . . 8 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) )
46	42, 45	eleq12d 2539	. . . . . . 7 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) )
47	39, 46	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
48	47	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
49		eleq1 2529	. . . . . . 7 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
50		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( Q ` y ) = ( Q ` ( M - 1 ) ) )
51		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( y / N ) = ( ( M - 1 ) / N ) )
52	50, 51	fveq12d 5878	. . . . . . . 8 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) )
53	51	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) )
54	53	sneqd 4044	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( M - 1 ) -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } )
55	54	imaeq2d 5347	. . . . . . . 8 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
56	52, 55	eleq12d 2539	. . . . . . 7 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) )
57	49, 56	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
58	57	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
59		cvmliftlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
60		cvmliftlem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = U. C
61		cvmliftlem.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = U. J
62		cvmliftlem.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
63		cvmliftlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
64		cvmliftlem.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. B )
65		cvmliftlem.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
66		cvmliftlem.t	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T : ( 1 ... N ) --> U_ j e. J ( { j } X. ( S ` j ) ) )
67		cvmliftlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... N ) ( G " ( ( ( k - 1 ) / N ) [,] ( k / N ) ) ) C_ ( 1st ` ( T ` k ) ) )
68		cvmliftlem.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = ( topGen ` ran (,) )
69		cvmliftlem.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = seq 0 ( ( x e. _V , m e. NN |-> ( z e. ( ( ( m - 1 ) / N ) [,] ( m / N ) ) |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` m ) ) ( x ` ( ( m - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) , ( ( _I |` NN ) u. { <. 0 , { <. 0 , P >. } >. } ) )
70	59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69	cvmliftlem4 28930	. . . . . . . . . 10 |- ( Q ` 0 ) = { <. 0 , P >. }
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = { <. 0 , P >. } )
72	2	nnne0d 10601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
73	3, 72	div0d 10340	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 / N ) = 0 )
74	71, 73	fveq12d 5878	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) = ( { <. 0 , P >. } ` 0 ) )
75		0nn0 10831	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
76		fvsng 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. NN0 /\ P e. B ) -> ( { <. 0 , P >. } ` 0 ) = P )
77	75, 64, 76	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { <. 0 , P >. } ` 0 ) = P )
78	74, 77	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) = P )
79	73	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( 0 / N ) ) = ( G ` 0 ) )
80	65, 79	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` ( 0 / N ) ) )
81		cvmcn 28904	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
82	62, 81	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( C Cn J ) )
83	60, 61	cnf 19874	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> X )
84		ffn 5737	. . . . . . . . . 10 |- ( F : B --> X -> F Fn B )
85	82, 83, 84	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn B )
86		fniniseg 6009	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn B -> ( P e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) <-> ( P e. B /\ ( F ` P ) = ( G ` ( 0 / N ) ) ) ) )
87	85, 86	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) <-> ( P e. B /\ ( F ` P ) = ( G ` ( 0 / N ) ) ) ) )
88	64, 80, 87	mpbir2and 922	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) )
89	78, 88	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) )
90	89	a1d 25	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) )
91		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
92		nn0uz 11140	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
93	91, 92	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
95		peano2fzr 11724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> n e. ( 0 ... N ) )
96	95	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> n e. ( 0 ... N ) ) )
97	94, 96	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> n e. ( 0 ... N ) ) )
98	97	imim1d 75	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) )
99		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) )
100		simprlr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
101		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( n + 1 ) <_ N )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) <_ N )
103		simprll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n e. NN0 )
104		nn0p1nn 10856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN )
105	103, 104	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
106		nnuz 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
107	105, 106	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
108	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> N e. ZZ )
109		elfz5 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( n + 1 ) <_ N ) )
110	107, 108, 109	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( n + 1 ) <_ N ) )
111	102, 110	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
112		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) )
113	103	nn0cnd 10875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n e. CC )
114		pncan 9845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
115	113, 5, 114	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
116	115	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( Q ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( Q ` n ) )
117	115	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) = ( n / N ) )
118	116, 117	fveq12d 5878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) = ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) )
119	117	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) = ( G ` ( n / N ) ) )
120	119	sneqd 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> { ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) } = { ( G ` ( n / N ) ) } )
121	120	imaeq2d 5347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( `' F " { ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) )
122	112, 118, 121	3eltr4d 2560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) } ) )
123	59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122	cvmliftlem6 28932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B /\ ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) = ( G |` ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ) )
124	123	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B )
125	103	nn0red 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n e. RR )
126	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> N e. NN )
127	125, 126	nndivred 10605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) e. RR )
128	127	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) e. RR* )
129		peano2re 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. RR -> ( n + 1 ) e. RR )
130	125, 129	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
131	130, 126	nndivred 10605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. RR )
132	131	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. RR* )
133	125	ltp1d 10496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n < ( n + 1 ) )
134	126	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> N e. RR )
135	126	nngt0d 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> 0 < N )
136		ltdiv1 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. RR /\ ( n + 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( n / N ) < ( ( n + 1 ) / N ) ) )
137	125, 130, 134, 135, 136	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( n / N ) < ( ( n + 1 ) / N ) ) )
138	133, 137	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) < ( ( n + 1 ) / N ) )
139	127, 131, 138	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) <_ ( ( n + 1 ) / N ) )
140		ubicc2 11662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n / N ) e. RR* /\ ( ( n + 1 ) / N ) e. RR* /\ ( n / N ) <_ ( ( n + 1 ) / N ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
141	128, 132, 139, 140	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
142	117	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
143	141, 142	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
144	124, 143	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. B )
145	123	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) = ( G |` ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
146	142	reseq2d 5283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( G |` ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
147	145, 146	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) = ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
148	147	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
149	142	feq2d 5724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B <-> ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B ) )
150	124, 149	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B )
151		fvco3 5950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B /\ ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) -> ( ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
152	150, 141, 151	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
153		fvres 5886	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) -> ( ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
154	141, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
155	148, 152, 154	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
156	85	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> F Fn B )
157		fniniseg 6009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn B -> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) <-> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ) )
158	156, 157	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) <-> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ) )
159	144, 155, 158	mpbir2and 922	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) )
160	159	expr 615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) )
161	160	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
162	161	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
163	98, 162	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
164	163	expcom 435	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> ( ph -> ( ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
165	164	a2d 26	. . . . 5 |- ( n e. NN0 -> ( ( ph -> ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
166	28, 38, 48, 58, 90, 165	nn0ind 10980	. . . 4 |- ( ( M - 1 ) e. NN0 -> ( ph -> ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
167	166	impd 431	. . 3 |- ( ( M - 1 ) e. NN0 -> ( ( ph /\ ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) )
168	18, 167	mpcom 36	. 2 |- ( ( ph /\ ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
169	16, 168	syldan 470	1 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   _I cid 4799   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009   |` cres 5010   "cima 5011   o. ccom 5012   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ...cfz 11697   seqcseq 12110   ↾_t crest 14838   topGenctg 14855   Cn ccn 19852   Homeochmeo 20380   IIcii 21505   CovMap ccvm 28897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855  df-hmeo 20382  df-ii 21507  df-cvm 28898

This theorem is referenced by:  cvmliftlem8  28934  cvmliftlem9  28935  cvmliftlem10  28936  cvmliftlem13  28938