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Theorem cvmliftlem7 30086
Description: Lemma for cvmlift 30094. Prove by induction that every Q function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 30085 to show functionality and lifting of Q). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b |- B = U. C
cvmliftlem.x |- X = U. J
cvmliftlem.f |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmliftlem.g |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
cvmliftlem.p |- ( ph -> P e. B )
cvmliftlem.e |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
cvmliftlem.n |- ( ph -> N e. NN )
cvmliftlem.t |- ( ph -> T : ( 1 ... N ) --> U_ j e. J ( { j } X. ( S ` j ) ) )
cvmliftlem.a |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... N ) ( G " ( ( ( k - 1 ) / N ) [,] ( k / N ) ) ) C_ ( 1st ` ( T ` k ) ) )
cvmliftlem.l |- L = ( topGen ` ran (,) )
cvmliftlem.q |- Q = seq 0 ( ( x e. _V , m e. NN |-> ( z e. ( ( ( m - 1 ) / N ) [,] ( m / N ) ) |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` m ) ) ( x ` ( ( m - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) , ( ( _I |` NN ) u. { <. 0 , { <. 0 , P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3 |- W = ( ( ( M - 1 ) / N ) [,] ( M / N ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem7 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
Distinct variable groups:   v, b, z, B   j, b, k, m, s, u, x, F, v, z   z, L   M, b, j, k, m, s, u, v, x, z   P, b, k, m, u, v, x, z   C, b, j, k, s, u, v, z   ph, j, s, x, z   N, b, k, m, u, v, x, z   S, b, j, k, s, u, v, x, z   j, X   G, b, j, k, m, s, u, v, x, z   T, b, j, k, m, s, u, v, x, z   J, b, j, k, s, u, v, x, z   Q, b, k, m, u, v, x, z   k, W, m, x, z
Allowed substitution hints:   ph( v, u, k, m, b)   B( x, u, j, k, m, s)   C( x, m)   P( j, s)   Q( j, s)   S( m)   J( m)   L( x, v, u, j, k, m, s, b)   N( j, s)   W( v, u, j, s, b)   X( x, z, v, u, k, m, s, b)
Proof of Theorem cvmliftlem7
Dummy variables y n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssp1 11867 . . . 4 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
2 cvmliftlem.n . . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
32nncnd 10647 . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
43adantr 472 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> N e. CC )
5 ax-1cn 9615 . . . . . 6 |- 1 e. CC
6 npcan 9904 . . . . . 6 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
74, 5, 6sylancl 675 . . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
87oveq2d 6324 . . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
91, 8syl5sseq 3466 . . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
10 simpr 468 . . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> M e. ( 1 ... N ) )
11 elfzelz 11826 . . . . 5 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> M e. ZZ )
122nnzd 11062 . . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
13 elfzm1b 11898 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
1411, 12, 13syl2anr 486 . . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
1510, 14mpbid 215 . . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
169, 15sseldd 3419 . 2 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
17 elfznn0 11913 . . . 4 |- ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( M - 1 ) e. NN0 )
1817adantl 473 . . 3 |- ( ( ph /\ ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. NN0 )
19 eleq1 2537 . . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> 0 e. ( 0 ... N ) ) )
20 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( Q ` y ) = ( Q ` 0 ) )
21 oveq1 6315 . . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( y / N ) = ( 0 / N ) )
2220, 21fveq12d 5885 . . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) )
2321fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( 0 / N ) ) )
2423sneqd 3971 . . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( 0 / N ) ) } )
2524imaeq2d 5174 . . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) )
2622, 25eleq12d 2543 . . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) )
2719, 26imbi12d 327 . . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) ) )
2827imbi2d 323 . . . . 5 |- ( y = 0 -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) ) ) )
29 eleq1 2537 . . . . . . 7 |- ( y = n -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> n e. ( 0 ... N ) ) )
30 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( Q ` y ) = ( Q ` n ) )
31 oveq1 6315 . . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( y / N ) = ( n / N ) )
3230, 31fveq12d 5885 . . . . . . . 8 |- ( y = n -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) )
3331fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 |- ( y = n -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( n / N ) ) )
3433sneqd 3971 . . . . . . . . 9 |- ( y = n -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( n / N ) ) } )
3534imaeq2d 5174 . . . . . . . 8 |- ( y = n -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) )
3632, 35eleq12d 2543 . . . . . . 7 |- ( y = n -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) )
3729, 36imbi12d 327 . . . . . 6 |- ( y = n -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) )
3837imbi2d 323 . . . . 5 |- ( y = n -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) ) )
39 eleq1 2537 . . . . . . 7 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
40 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( Q ` y ) = ( Q ` ( n + 1 ) ) )
41 oveq1 6315 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( y / N ) = ( ( n + 1 ) / N ) )
4240, 41fveq12d 5885 . . . . . . . 8 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
4341fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
4443sneqd 3971 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( n + 1 ) -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } )
4544imaeq2d 5174 . . . . . . . 8 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) )
4642, 45eleq12d 2543 . . . . . . 7 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) )
4739, 46imbi12d 327 . . . . . 6 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
4847imbi2d 323 . . . . 5 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
49 eleq1 2537 . . . . . . 7 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
50 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( Q ` y ) = ( Q ` ( M - 1 ) ) )
51 oveq1 6315 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( y / N ) = ( ( M - 1 ) / N ) )
5250, 51fveq12d 5885 . . . . . . . 8 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) )
5351fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) )
5453sneqd 3971 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( M - 1 ) -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } )
5554imaeq2d 5174 . . . . . . . 8 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
5652, 55eleq12d 2543 . . . . . . 7 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) )
5749, 56imbi12d 327 . . . . . 6 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
5857imbi2d 323 . . . . 5 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
59 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
60 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11 |- B = U. C
61 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11 |- X = U. J
62 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
63 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
64 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. B )
65 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
66 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T : ( 1 ... N ) --> U_ j e. J ( { j } X. ( S ` j ) ) )
67 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... N ) ( G " ( ( ( k - 1 ) / N ) [,] ( k / N ) ) ) C_ ( 1st ` ( T ` k ) ) )
68 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11 |- L = ( topGen ` ran (,) )
69 cvmliftlem.q . . . . . . . . . . 11 |- Q = seq 0 ( ( x e. _V , m e. NN |-> ( z e. ( ( ( m - 1 ) / N ) [,] ( m / N ) ) |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` m ) ) ( x ` ( ( m - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) , ( ( _I |` NN ) u. { <. 0 , { <. 0 , P >. } >. } ) )
7059, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69cvmliftlem4 30083 . . . . . . . . . 10 |- ( Q ` 0 ) = { <. 0 , P >. }
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = { <. 0 , P >. } )
722nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
733, 72div0d 10404 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 / N ) = 0 )
7471, 73fveq12d 5885 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) = ( { <. 0 , P >. } ` 0 ) )
75 0nn0 10908 . . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
76 fvsng 6114 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. NN0 /\ P e. B ) -> ( { <. 0 , P >. } ` 0 ) = P )
7775, 64, 76sylancr 676 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { <. 0 , P >. } ` 0 ) = P )
7874, 77eqtrd 2505 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) = P )
7973fveq2d 5883 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( 0 / N ) ) = ( G ` 0 ) )
8065, 79eqtr4d 2508 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` ( 0 / N ) ) )
81 cvmcn 30057 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
8262, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( C Cn J ) )
8360, 61cnf 20339 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> X )
84 ffn 5739 . . . . . . . . . 10 |- ( F : B --> X -> F Fn B )
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn B )
86 fniniseg 6018 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn B -> ( P e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) <-> ( P e. B /\ ( F ` P ) = ( G ` ( 0 / N ) ) ) ) )
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) <-> ( P e. B /\ ( F ` P ) = ( G ` ( 0 / N ) ) ) ) )
8864, 80, 87mpbir2and 936 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) )
8978, 88eqeltrd 2549 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) )
9089a1d 25 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) )
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
92 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
9391, 92syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9493adantl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
95 peano2fzr 11838 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> n e. ( 0 ... N ) )
9695ex 441 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> n e. ( 0 ... N ) ) )
9794, 96syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> n e. ( 0 ... N ) ) )
9897imim1d 77 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) )
99 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) )
100 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
101 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( n + 1 ) <_ N )
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) <_ N )
103 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n e. NN0 )
104 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN )
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
106 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
107105, 106syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
10812adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> N e. ZZ )
109 elfz5 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( n + 1 ) <_ N ) )
110107, 108, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( n + 1 ) <_ N ) )
111102, 110mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
112 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) )
113103nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n e. CC )
114 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
115113, 5, 114sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
116115fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( Q ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( Q ` n ) )
117115oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) = ( n / N ) )
118116, 117fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) = ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) )
119117fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) = ( G ` ( n / N ) ) )
120119sneqd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> { ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) } = { ( G ` ( n / N ) ) } )
121120imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( `' F " { ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) )
122112, 118, 1213eltr4d 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) } ) )
12359, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122cvmliftlem6 30085 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B /\ ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) = ( G |` ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ) )
124123simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B )
125103nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n e. RR )
1262adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> N e. NN )
127125, 126nndivred 10680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) e. RR )
128127rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) e. RR* )
129 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. RR -> ( n + 1 ) e. RR )
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
131130, 126nndivred 10680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. RR )
132131rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. RR* )
133125ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n < ( n + 1 ) )
134126nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> N e. RR )
135126nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> 0 < N )
136 ltdiv1 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. RR /\ ( n + 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( n / N ) < ( ( n + 1 ) / N ) ) )
137125, 130, 134, 135, 136syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( n / N ) < ( ( n + 1 ) / N ) ) )
138133, 137mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) < ( ( n + 1 ) / N ) )
139127, 131, 138ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) <_ ( ( n + 1 ) / N ) )
140 ubicc2 11775 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n / N ) e. RR* /\ ( ( n + 1 ) / N ) e. RR* /\ ( n / N ) <_ ( ( n + 1 ) / N ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
141128, 132, 139, 140syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
142117oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
143141, 142eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
144124, 143ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. B )
145123simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) = ( G |` ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
146142reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( G |` ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
147145, 146eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) = ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
148147fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
149142feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B <-> ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B ) )
150124, 149mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B )
151 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B /\ ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) -> ( ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
152150, 141, 151syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
153 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) -> ( ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
154141, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
155148, 152, 1543eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
15685adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> F Fn B )
157 fniniseg 6018 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn B -> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) <-> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ) )
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) <-> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ) )
159144, 155, 158mpbir2and 936 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) )
160159expr 626 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) )
161160expr 626 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
162161a2d 28 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
16398, 162syld 44 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
164163expcom 442 . . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> ( ph -> ( ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
165164a2d 28 . . . . 5 |- ( n e. NN0 -> ( ( ph -> ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
16628, 38, 48, 58, 90, 165nn0ind 11053 . . . 4 |- ( ( M - 1 ) e. NN0 -> ( ph -> ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
167166impd 438 . . 3 |- ( ( M - 1 ) e. NN0 -> ( ( ph /\ ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) )
16818, 167mpcom 36 . 2 |- ( ( ph /\ ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
16916, 168syldan 478 1 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   <.cop 3965   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   _I cid 4749   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   iota_crio 6269  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810   seqcseq 12251   ↾t crest 15397   topGenctg 15414   Cn ccn 20317   Homeochmeo 20845   IIcii 21985   CovMap ccvm 30050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-hmeo 20847  df-ii 21987  df-cvm 30051
This theorem is referenced by:  cvmliftlem8  30087  cvmliftlem9  30088  cvmliftlem10  30089  cvmliftlem13  30091
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