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Theorem cvmliftlem7 28933
Description: Lemma for cvmlift 28941. Prove by induction that every  Q function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 28932 to show functionality and lifting of  Q). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
cvmliftlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cvmliftlem.t  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
cvmliftlem.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
cvmliftlem.l  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
cvmliftlem.q  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
Distinct variable groups:    v, b,
z, B    j, b,
k, m, s, u, x, F, v, z   
z, L    M, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    P, b, k, m, u, v, x, z    C, b, j, k, s, u, v, z    ph, j,
s, x, z    N, b, k, m, u, v, x, z    S, b, j, k, s, u, v, x, z    j, X    G, b, j, k, m, s, u, v, x, z    T, b, j, k, m, s, u, v, x, z    J, b, j, k, s, u, v, x, z    Q, b, k, m, u, v, x, z    k, W, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k, m, b)    B( x, u, j, k, m, s)    C( x, m)    P( j, s)    Q( j, s)    S( m)    J( m)    L( x, v, u, j, k, m, s, b)    N( j, s)    W( v, u, j, s, b)    X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem7
Dummy variables  y  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssp1 11752 . . . 4  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
2 cvmliftlem.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
32nncnd 10572 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 9567 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
6 npcan 9848 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
87oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
0 ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
91, 8syl5sseq 3547 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
10 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
11 elfzelz 11713 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
122nnzd 10989 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
13 elfzm1b 11782 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
1411, 12, 13syl2anr 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  e.  ( 1 ... N )  <->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
1510, 14mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
169, 15sseldd 3500 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
17 elfznn0 11797 . . . 4  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
19 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  0  e.  ( 0 ... N
) ) )
20 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( Q `  y )  =  ( Q ` 
0 ) )
21 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
y  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
2220, 21fveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) ) )
2321fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
0  /  N ) ) )
2423sneqd 4044 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( 0  /  N ) ) } )
2524imaeq2d 5347 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
2622, 25eleq12d 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) )
2719, 26imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  0
) `  ( 0  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N
) ) } ) ) ) )
2827imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  0  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) ) ) )
29 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  n  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
30 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  n ) )
31 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  (
y  /  N )  =  ( n  /  N ) )
3230, 31fveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) ) )
3331fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  n  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
n  /  N ) ) )
3433sneqd 4044 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( n  /  N ) ) } )
3534imaeq2d 5347 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )
3632, 35eleq12d 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )
3729, 36imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  n  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) )
3837imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  n  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) ) )
39 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
40 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  ( n  +  1
) ) )
41 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  /  N )  =  ( ( n  +  1 )  /  N ) )
4240, 41fveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
4341fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
4443sneqd 4044 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } )
4544imaeq2d 5347 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) )
4642, 45eleq12d 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
4739, 46imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
4847imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
49 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
50 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  ( M  -  1
) ) )
51 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
y  /  N )  =  ( ( M  -  1 )  /  N ) )
5250, 51fveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )
5351fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )
5453sneqd 4044 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } )
5554imaeq2d 5347 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
5652, 55eleq12d 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
5749, 56imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
5857imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
59 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
60 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  = 
U. C
61 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
62 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
63 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
64 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
65 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
66 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
67 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
68 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
69 cvmliftlem.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
7059, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69cvmliftlem4 28930 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 0 )  =  { <. 0 ,  P >. }
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  { <. 0 ,  P >. } )
722nnne0d 10601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
733, 72div0d 10340 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
7471, 73fveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  =  ( {
<. 0 ,  P >. } `  0 ) )
75 0nn0 10831 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
76 fvsng 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  P  e.  B )  ->  ( { <. 0 ,  P >. } `  0
)  =  P )
7775, 64, 76sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( { <. 0 ,  P >. } `  0
)  =  P )
7874, 77eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  =  P )
7973fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  (
0  /  N ) )  =  ( G `
 0 ) )
8065, 79eqtr4d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 ( 0  /  N ) ) )
81 cvmcn 28904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
8262, 81syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
8360, 61cnf 19874 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
84 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : B --> X  ->  F  Fn  B )
8582, 83, 843syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
86 fniniseg 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  B  ->  ( P  e.  ( `' F " { ( G `
 ( 0  /  N ) ) } )  <->  ( P  e.  B  /\  ( F `
 P )  =  ( G `  (
0  /  N ) ) ) ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } )  <->  ( P  e.  B  /\  ( F `  P )  =  ( G `  ( 0  /  N
) ) ) ) )
8864, 80, 87mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
8978, 88eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
9089a1d 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) )
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e. 
NN0 )
92 nn0uz 11140 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9391, 92syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9493adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
95 peano2fzr 11724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  n  e.  ( 0 ... N ) )
9695ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
9794, 96syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
9897imim1d 75 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) )
99 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  -  1 )  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) )
100 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )
101 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
n  +  1 )  <_  N )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  N
)
103 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
104 nn0p1nn 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
106 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
107105, 106syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
10812adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
109 elfz5 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( n  +  1 )  <_  N ) )
110107, 108, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( n  + 
1 )  <_  N
) )
111102, 110mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
112 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )
113103nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  CC )
114 pncan 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
115113, 5, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
116115fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( Q `  n ) )
117115oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N )  =  ( n  /  N ) )
118116, 117fveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( ( Q `  n
) `  ( n  /  N ) ) )
119117fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( G `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( G `  ( n  /  N ) ) )
120119sneqd 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  { ( G `
 ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) ) }  =  { ( G `
 ( n  /  N ) ) } )
121120imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( `' F " { ( G `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N
) ) } ) )
122112, 118, 1213eltr4d 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) ) } ) )
12359, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122cvmliftlem6 28932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  (
( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
124123simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( n  +  1
) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B )
125103nn0red 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  RR )
1262adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  NN )
127125, 126nndivred 10605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR )
128127rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR* )
129 peano2re 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
130125, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
131130, 126nndivred 10605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  RR )
132131rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  RR* )
133125ltp1d 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  <  (
n  +  1 ) )
134126nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  RR )
135126nngt0d 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  0  <  N
)
136 ltdiv1 10427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
137125, 130, 134, 135, 136syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  < 
( n  +  1 )  <->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
138133, 137mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) )
139127, 131, 138ltled 9750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  <_  (
( n  +  1 )  /  N ) )
140 ubicc2 11662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  /  N
)  e.  RR*  /\  (
( n  +  1 )  /  N )  e.  RR*  /\  (
n  /  N )  <_  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  /  N
)  e.  ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
141128, 132, 139, 140syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
142117oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
143141, 142eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
144124, 143ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  B
)
145123simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
146142reseq2d 5283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( G  |`  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G  |`  ( (
n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
147145, 146eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  ( ( n  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
148147fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1
) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( G  |`  (
( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
149142feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  <->  ( Q `  ( n  +  1 ) ) : ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B ) )
150124, 149mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( n  +  1
) ) : ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B )
151 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  (
n  +  1 ) ) : ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  /\  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
152150, 141, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1
) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
153 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  ->  (
( G  |`  (
( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) )
154141, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( G  |`  ( ( n  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( G `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
155148, 152, 1543eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
15685adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  F  Fn  B
)
157 fniniseg 6009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } )  <->  ( (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) ) ) )
158156, 157syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } )  <-> 
( ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  B  /\  ( F `  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
159144, 155, 158mpbir2and 922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) )
160159expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
161160expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
162161a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
16398, 162syld 44 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
164163expcom 435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
165164a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
16628, 38, 48, 58, 90, 165nn0ind 10980 . . . 4  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
167166impd 431 . . 3  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
16818, 167mpcom 36 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
16916, 168syldan 470 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    _I cid 4799    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ...cfz 11697    seqcseq 12110   ↾t crest 14838   topGenctg 14855    Cn ccn 19852   Homeochmeo 20380   IIcii 21505   CovMap ccvm 28897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855  df-hmeo 20382  df-ii 21507  df-cvm 28898
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