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Theorem cvmliftlem7 30014
Description: Lemma for cvmlift 30022. Prove by induction that every  Q function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 30013 to show functionality and lifting of  Q). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
cvmliftlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cvmliftlem.t  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
cvmliftlem.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
cvmliftlem.l  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
cvmliftlem.q  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
Distinct variable groups:    v, b,
z, B    j, b,
k, m, s, u, x, F, v, z   
z, L    M, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    P, b, k, m, u, v, x, z    C, b, j, k, s, u, v, z    ph, j,
s, x, z    N, b, k, m, u, v, x, z    S, b, j, k, s, u, v, x, z    j, X    G, b, j, k, m, s, u, v, x, z    T, b, j, k, m, s, u, v, x, z    J, b, j, k, s, u, v, x, z    Q, b, k, m, u, v, x, z    k, W, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k, m, b)    B( x, u, j, k, m, s)    C( x, m)    P( j, s)    Q( j, s)    S( m)    J( m)    L( x, v, u, j, k, m, s, b)    N( j, s)    W( v, u, j, s, b)    X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem7
Dummy variables  y  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssp1 11841 . . . 4  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
2 cvmliftlem.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
32nncnd 10625 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
43adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 9597 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
6 npcan 9884 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
74, 5, 6sylancl 668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
87oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
0 ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
91, 8syl5sseq 3480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
10 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
11 elfzelz 11800 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
122nnzd 11039 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
13 elfzm1b 11872 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
1411, 12, 13syl2anr 481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  e.  ( 1 ... N )  <->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
1510, 14mpbid 214 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
169, 15sseldd 3433 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
17 elfznn0 11887 . . . 4  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
1817adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
19 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  0  e.  ( 0 ... N
) ) )
20 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( Q `  y )  =  ( Q ` 
0 ) )
21 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
y  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
2220, 21fveq12d 5871 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) ) )
2321fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
0  /  N ) ) )
2423sneqd 3980 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( 0  /  N ) ) } )
2524imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
2622, 25eleq12d 2523 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) )
2719, 26imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  0
) `  ( 0  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N
) ) } ) ) ) )
2827imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  0  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) ) ) )
29 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( y  =  n  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
30 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  n ) )
31 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  (
y  /  N )  =  ( n  /  N ) )
3230, 31fveq12d 5871 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) ) )
3331fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  n  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
n  /  N ) ) )
3433sneqd 3980 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( n  /  N ) ) } )
3534imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )
3632, 35eleq12d 2523 . . . . . . 7  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )
3729, 36imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( y  =  n  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) )
3837imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  n  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) ) )
39 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
40 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  ( n  +  1
) ) )
41 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  /  N )  =  ( ( n  +  1 )  /  N ) )
4240, 41fveq12d 5871 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
4341fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
4443sneqd 3980 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } )
4544imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) )
4642, 45eleq12d 2523 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
4739, 46imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
4847imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
49 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
50 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  ( M  -  1
) ) )
51 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
y  /  N )  =  ( ( M  -  1 )  /  N ) )
5250, 51fveq12d 5871 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )
5351fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )
5453sneqd 3980 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } )
5554imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
5652, 55eleq12d 2523 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
5749, 56imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
5857imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
59 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
60 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  = 
U. C
61 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
62 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
63 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
64 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
65 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
66 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
67 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
68 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
69 cvmliftlem.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
7059, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69cvmliftlem4 30011 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 0 )  =  { <. 0 ,  P >. }
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  { <. 0 ,  P >. } )
722nnne0d 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
733, 72div0d 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
7471, 73fveq12d 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  =  ( {
<. 0 ,  P >. } `  0 ) )
75 0nn0 10884 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
76 fvsng 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  P  e.  B )  ->  ( { <. 0 ,  P >. } `  0
)  =  P )
7775, 64, 76sylancr 669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( { <. 0 ,  P >. } `  0
)  =  P )
7874, 77eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  =  P )
7973fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  (
0  /  N ) )  =  ( G `
 0 ) )
8065, 79eqtr4d 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 ( 0  /  N ) ) )
81 cvmcn 29985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
8262, 81syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
8360, 61cnf 20262 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
84 ffn 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : B --> X  ->  F  Fn  B )
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
86 fniniseg 6003 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  B  ->  ( P  e.  ( `' F " { ( G `
 ( 0  /  N ) ) } )  <->  ( P  e.  B  /\  ( F `
 P )  =  ( G `  (
0  /  N ) ) ) ) )
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } )  <->  ( P  e.  B  /\  ( F `  P )  =  ( G `  ( 0  /  N
) ) ) ) )
8864, 80, 87mpbir2and 933 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
8978, 88eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
9089a1d 26 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) )
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e. 
NN0 )
92 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9391, 92syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9493adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
95 peano2fzr 11812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  n  e.  ( 0 ... N ) )
9695ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
9794, 96syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
9897imim1d 78 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) )
99 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  -  1 )  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) )
100 simprlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )
101 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
n  +  1 )  <_  N )
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  N
)
103 simprll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
104 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
106 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
107105, 106syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
10812adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
109 elfz5 11792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( n  +  1 )  <_  N ) )
110107, 108, 109syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( n  + 
1 )  <_  N
) )
111102, 110mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
112 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )
113103nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  CC )
114 pncan 9881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
115113, 5, 114sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
116115fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( Q `  n ) )
117115oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N )  =  ( n  /  N ) )
118116, 117fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( ( Q `  n
) `  ( n  /  N ) ) )
119117fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( G `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( G `  ( n  /  N ) ) )
120119sneqd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  { ( G `
 ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) ) }  =  { ( G `
 ( n  /  N ) ) } )
121120imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( `' F " { ( G `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N
) ) } ) )
122112, 118, 1213eltr4d 2544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) ) } ) )
12359, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122cvmliftlem6 30013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  (
( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
124123simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( n  +  1
) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B )
125103nn0red 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  RR )
1262adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  NN )
127125, 126nndivred 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR )
128127rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR* )
129 peano2re 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
131130, 126nndivred 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  RR )
132131rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  RR* )
133125ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  <  (
n  +  1 ) )
134126nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  RR )
135126nngt0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  0  <  N
)
136 ltdiv1 10469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
137125, 130, 134, 135, 136syl112anc 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  < 
( n  +  1 )  <->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
138133, 137mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) )
139127, 131, 138ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  <_  (
( n  +  1 )  /  N ) )
140 ubicc2 11749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  /  N
)  e.  RR*  /\  (
( n  +  1 )  /  N )  e.  RR*  /\  (
n  /  N )  <_  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  /  N
)  e.  ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
141128, 132, 139, 140syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
142117oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
143141, 142eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
144124, 143ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  B
)
145123simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
146142reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( G  |`  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G  |`  ( (
n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
147145, 146eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  ( ( n  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
148147fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1
) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( G  |`  (
( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
149142feq2d 5715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  <->  ( Q `  ( n  +  1 ) ) : ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B ) )
150124, 149mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( n  +  1
) ) : ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B )
151 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  (
n  +  1 ) ) : ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  /\  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
152150, 141, 151syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1
) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
153 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  ->  (
( G  |`  (
( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) )
154141, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( G  |`  ( ( n  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( G `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
155148, 152, 1543eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
15685adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  F  Fn  B
)
157 fniniseg 6003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } )  <->  ( (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) ) ) )
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } )  <-> 
( ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  B  /\  ( F `  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
159144, 155, 158mpbir2and 933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) )
160159expr 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
161160expr 620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
162161a2d 29 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
16398, 162syld 45 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
164163expcom 437 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
165164a2d 29 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
16628, 38, 48, 58, 90, 165nn0ind 11030 . . . 4  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
167166impd 433 . . 3  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
16818, 167mpcom 37 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
16916, 168syldan 473 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   <.cop 3974   U.cuni 4198   U_ciun 4278   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    _I cid 4744    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837    o. ccom 4838    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   iota_crio 6251  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ...cfz 11784    seqcseq 12213   ↾t crest 15319   topGenctg 15336    Cn ccn 20240   Homeochmeo 20768   IIcii 21907   CovMap ccvm 29978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-hmeo 20770  df-ii 21909  df-cvm 29979
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