Theorem cvmliftlem7 27149

Description: Lemma for cvmlift 27157. Prove by induction that every Q function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 27148 to show functionality and lifting of Q). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b	|- B = U. C
cvmliftlem.x	|- X = U. J
cvmliftlem.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmliftlem.g	|- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
cvmliftlem.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmliftlem.e	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
cvmliftlem.n	|- ( ph -> N e. NN )
cvmliftlem.t	|- ( ph -> T : ( 1 ... N ) --> U_ j e. J ( { j } X. ( S ` j ) ) )
cvmliftlem.a	|- ( ph -> A. k e. ( 1 ... N ) ( G " ( ( ( k - 1 ) / N ) [,] ( k / N ) ) ) C_ ( 1st ` ( T ` k ) ) )
cvmliftlem.l	|- L = ( topGen ` ran (,) )
cvmliftlem.q	|- Q = seq 0 ( ( x e. _V , m e. NN |-> ( z e. ( ( ( m - 1 ) / N ) [,] ( m / N ) ) |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` m ) ) ( x ` ( ( m - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) , ( ( _I |` NN ) u. { <. 0 , { <. 0 , P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3	|- W = ( ( ( M - 1 ) / N ) [,] ( M / N ) )

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem7	|- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )

Distinct variable groups:   v, b, z, B   j, b, k, m, s, u, x, F, v, z   z, L   M, b, j, k, m, s, u, v, x, z   P, b, k, m, u, v, x, z   C, b, j, k, s, u, v, z   ph, j, s, x, z   N, b, k, m, u, v, x, z   S, b, j, k, s, u, v, x, z   j, X   G, b, j, k, m, s, u, v, x, z   T, b, j, k, m, s, u, v, x, z   J, b, j, k, s, u, v, x, z   Q, b, k, m, u, v, x, z   k, W, m, x, z

Allowed substitution hints:   ph( v, u, k, m, b)   B( x, u, j, k, m, s)   C( x, m)   P( j, s)   Q( j, s)   S( m)   J( m)   L( x, v, u, j, k, m, s, b)   N( j, s)   W( v, u, j, s, b)   X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem7

Dummy variables y n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssp1 11493	. . . 4 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
2		cvmliftlem.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
3	2	nncnd 10330	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
4	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> N e. CC )
5		ax-1cn 9332	. . . . . 6 |- 1 e. CC
6		npcan 9611	. . . . . 6 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
8	7	oveq2d 6102	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
9	1, 8	syl5sseq 3399	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
10		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> M e. ( 1 ... N ) )
11		elfzelz 11445	. . . . 5 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> M e. ZZ )
12	2	nnzd 10738	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
13		elfzm1b 11530	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
14	11, 12, 13	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
15	10, 14	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
16	9, 15	sseldd 3352	. 2 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
17		elfznn0 11473	. . . 4 |- ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( M - 1 ) e. NN0 )
18	17	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. NN0 )
19		eleq1 2498	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> 0 e. ( 0 ... N ) ) )
20		fveq2 5686	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( Q ` y ) = ( Q ` 0 ) )
21		oveq1 6093	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( y / N ) = ( 0 / N ) )
22	20, 21	fveq12d 5692	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) )
23	21	fveq2d 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( 0 / N ) ) )
24	23	sneqd 3884	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( 0 / N ) ) } )
25	24	imaeq2d 5164	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) )
26	22, 25	eleq12d 2506	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) )
27	19, 26	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) ) )
28	27	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = 0 -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) ) ) )
29		eleq1 2498	. . . . . . 7 |- ( y = n -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> n e. ( 0 ... N ) ) )
30		fveq2 5686	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( Q ` y ) = ( Q ` n ) )
31		oveq1 6093	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( y / N ) = ( n / N ) )
32	30, 31	fveq12d 5692	. . . . . . . 8 |- ( y = n -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) )
33	31	fveq2d 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( y = n -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( n / N ) ) )
34	33	sneqd 3884	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( n / N ) ) } )
35	34	imaeq2d 5164	. . . . . . . 8 |- ( y = n -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) )
36	32, 35	eleq12d 2506	. . . . . . 7 |- ( y = n -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) )
37	29, 36	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( y = n -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) )
38	37	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = n -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) ) )
39		eleq1 2498	. . . . . . 7 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
40		fveq2 5686	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( Q ` y ) = ( Q ` ( n + 1 ) ) )
41		oveq1 6093	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( y / N ) = ( ( n + 1 ) / N ) )
42	40, 41	fveq12d 5692	. . . . . . . 8 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
43	41	fveq2d 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
44	43	sneqd 3884	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( n + 1 ) -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } )
45	44	imaeq2d 5164	. . . . . . . 8 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) )
46	42, 45	eleq12d 2506	. . . . . . 7 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) )
47	39, 46	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
48	47	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
49		eleq1 2498	. . . . . . 7 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( y e. ( 0 ... N ) <-> ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
50		fveq2 5686	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( Q ` y ) = ( Q ` ( M - 1 ) ) )
51		oveq1 6093	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( y / N ) = ( ( M - 1 ) / N ) )
52	50, 51	fveq12d 5692	. . . . . . . 8 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) = ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) )
53	51	fveq2d 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( G ` ( y / N ) ) = ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) )
54	53	sneqd 3884	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( M - 1 ) -> { ( G ` ( y / N ) ) } = { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } )
55	54	imaeq2d 5164	. . . . . . . 8 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
56	52, 55	eleq12d 2506	. . . . . . 7 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) <-> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) )
57	49, 56	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) <-> ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
58	57	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( y = ( M - 1 ) -> ( ( ph -> ( y e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` y ) ` ( y / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( y / N ) ) } ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
59		cvmliftlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
60		cvmliftlem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = U. C
61		cvmliftlem.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = U. J
62		cvmliftlem.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
63		cvmliftlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
64		cvmliftlem.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. B )
65		cvmliftlem.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
66		cvmliftlem.t	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T : ( 1 ... N ) --> U_ j e. J ( { j } X. ( S ` j ) ) )
67		cvmliftlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... N ) ( G " ( ( ( k - 1 ) / N ) [,] ( k / N ) ) ) C_ ( 1st ` ( T ` k ) ) )
68		cvmliftlem.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = ( topGen ` ran (,) )
69		cvmliftlem.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = seq 0 ( ( x e. _V , m e. NN |-> ( z e. ( ( ( m - 1 ) / N ) [,] ( m / N ) ) |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` m ) ) ( x ` ( ( m - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) , ( ( _I |` NN ) u. { <. 0 , { <. 0 , P >. } >. } ) )
70	59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69	cvmliftlem4 27146	. . . . . . . . . 10 |- ( Q ` 0 ) = { <. 0 , P >. }
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = { <. 0 , P >. } )
72	2	nnne0d 10358	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
73	3, 72	div0d 10098	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 / N ) = 0 )
74	71, 73	fveq12d 5692	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) = ( { <. 0 , P >. } ` 0 ) )
75		0nn0 10586	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
76		fvsng 5907	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. NN0 /\ P e. B ) -> ( { <. 0 , P >. } ` 0 ) = P )
77	75, 64, 76	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { <. 0 , P >. } ` 0 ) = P )
78	74, 77	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) = P )
79	73	fveq2d 5690	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( 0 / N ) ) = ( G ` 0 ) )
80	65, 79	eqtr4d 2473	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` ( 0 / N ) ) )
81		cvmcn 27120	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
82	62, 81	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( C Cn J ) )
83	60, 61	cnf 18830	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> X )
84		ffn 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( F : B --> X -> F Fn B )
85	82, 83, 84	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn B )
86		fniniseg 5819	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn B -> ( P e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) <-> ( P e. B /\ ( F ` P ) = ( G ` ( 0 / N ) ) ) ) )
87	85, 86	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) <-> ( P e. B /\ ( F ` P ) = ( G ` ( 0 / N ) ) ) ) )
88	64, 80, 87	mpbir2and 913	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) )
89	78, 88	eqeltrd 2512	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) )
90	89	a1d 25	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` 0 ) ` ( 0 / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( 0 / N ) ) } ) ) )
91		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
92		nn0uz 10887	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
93	91, 92	syl6eleq 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
95		peano2fzr 11455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> n e. ( 0 ... N ) )
96	95	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> n e. ( 0 ... N ) ) )
97	94, 96	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> n e. ( 0 ... N ) ) )
98	97	imim1d 75	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) )
99		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) )
100		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
101		elfzle2 11447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( n + 1 ) <_ N )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) <_ N )
103		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n e. NN0 )
104		nn0p1nn 10611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN )
105	103, 104	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
106		nnuz 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
107	105, 106	syl6eleq 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
108	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> N e. ZZ )
109		elfz5 11437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( n + 1 ) <_ N ) )
110	107, 108, 109	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( n + 1 ) <_ N ) )
111	102, 110	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
112		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) )
113	103	nn0cnd 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n e. CC )
114		pncan 9608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
115	113, 5, 114	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
116	115	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( Q ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( Q ` n ) )
117	115	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) = ( n / N ) )
118	116, 117	fveq12d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) = ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) )
119	117	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) = ( G ` ( n / N ) ) )
120	119	sneqd 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> { ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) } = { ( G ` ( n / N ) ) } )
121	120	imaeq2d 5164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( `' F " { ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) } ) = ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) )
122	112, 118, 121	3eltr4d 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) ) } ) )
123	59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122	cvmliftlem6 27148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B /\ ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) = ( G |` ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ) )
124	123	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B )
125	103	nn0red 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n e. RR )
126	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> N e. NN )
127	125, 126	nndivred 10362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) e. RR )
128	127	rexrd 9425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) e. RR* )
129		peano2re 9534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. RR -> ( n + 1 ) e. RR )
130	125, 129	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
131	130, 126	nndivred 10362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. RR )
132	131	rexrd 9425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. RR* )
133	125	ltp1d 10255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> n < ( n + 1 ) )
134	126	nnred 10329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> N e. RR )
135	126	nngt0d 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> 0 < N )
136		ltdiv1 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. RR /\ ( n + 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( n / N ) < ( ( n + 1 ) / N ) ) )
137	125, 130, 134, 135, 136	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( n / N ) < ( ( n + 1 ) / N ) ) )
138	133, 137	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) < ( ( n + 1 ) / N ) )
139	127, 131, 138	ltled 9514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( n / N ) <_ ( ( n + 1 ) / N ) )
140		ubicc2 11394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n / N ) e. RR* /\ ( ( n + 1 ) / N ) e. RR* /\ ( n / N ) <_ ( ( n + 1 ) / N ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
141	128, 132, 139, 140	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
142	117	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
143	141, 142	eleqtrrd 2515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) )
144	124, 143	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. B )
145	123	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) = ( G |` ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
146	142	reseq2d 5105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( G |` ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
147	145, 146	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) = ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
148	147	fveq1d 5688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
149	142	feq2d 5542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( ( ( n + 1 ) - 1 ) / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B <-> ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B ) )
150	124, 149	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B )
151		fvco3 5763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) : ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) --> B /\ ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) -> ( ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
152	150, 141, 151	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( F o. ( Q ` ( n + 1 ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) )
153		fvres 5699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n + 1 ) / N ) e. ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) -> ( ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
154	141, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( G |` ( ( n / N ) [,] ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
155	148, 152, 154	3eqtr3d 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) )
156	85	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> F Fn B )
157		fniniseg 5819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn B -> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) <-> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ) )
158	156, 157	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) <-> ( ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) ) ) )
159	144, 155, 158	mpbir2and 913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) )
160	159	expr 615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) )
161	160	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
162	161	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
163	98, 162	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
164	163	expcom 435	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> ( ph -> ( ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
165	164	a2d 26	. . . . 5 |- ( n e. NN0 -> ( ( ph -> ( n e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` n ) ` ( n / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( n / N ) ) } ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( n + 1 ) ) ` ( ( n + 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( n + 1 ) / N ) ) } ) ) ) ) )
166	28, 38, 48, 58, 90, 165	nn0ind 10730	. . . 4 |- ( ( M - 1 ) e. NN0 -> ( ph -> ( ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) ) )
167	166	impd 431	. . 3 |- ( ( M - 1 ) e. NN0 -> ( ( ph /\ ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) ) )
168	18, 167	mpcom 36	. 2 |- ( ( ph /\ ( M - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
169	16, 168	syldan 470	1 |- ( ( ph /\ M e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   <.cop 3878   U.cuni 4086   U_ciun 4166   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   _I cid 4626   X. cxp 4833   `'ccnv 4834   ran crn 4836   |` cres 4837   "cima 4838   o. ccom 4839   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   iota_crio 6046  (class class class)co 6086   e. cmpt2 6088   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   RR*cxr 9409   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   (,)cioo 11292   [,]cicc 11295   ...cfz 11429   seqcseq 11798   ↾_t crest 14351   topGenctg 14368   Cn ccn 18808   Homeochmeo 19306   IIcii 20431   CovMap ccvm 27113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-cn 18811  df-hmeo 19308  df-ii 20433  df-cvm 27114

This theorem is referenced by:  cvmliftlem8  27150  cvmliftlem9  27151  cvmliftlem10  27152  cvmliftlem13  27154