Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cvmliftlem7 30014
 Description: Lemma for cvmlift 30022. Prove by induction that every function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 30013 to show functionality and lifting of ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 t t
cvmliftlem.b
cvmliftlem.x
cvmliftlem.f CovMap
cvmliftlem.g
cvmliftlem.p
cvmliftlem.e
cvmliftlem.n
cvmliftlem.t
cvmliftlem.a
cvmliftlem.l
cvmliftlem.q
cvmliftlem5.3
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem7
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,)   (,)   ()   ()   (,,,,,,,)   (,)   (,,,,)   (,,,,,,,)

Proof of Theorem cvmliftlem7
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssp1 11841 . . . 4
2 cvmliftlem.n . . . . . . . 8
32nncnd 10625 . . . . . . 7
43adantr 467 . . . . . 6
5 ax-1cn 9597 . . . . . 6
6 npcan 9884 . . . . . 6
74, 5, 6sylancl 668 . . . . 5
87oveq2d 6306 . . . 4
91, 8syl5sseq 3480 . . 3
10 simpr 463 . . . 4
11 elfzelz 11800 . . . . 5
122nnzd 11039 . . . . 5
13 elfzm1b 11872 . . . . 5
1411, 12, 13syl2anr 481 . . . 4
1510, 14mpbid 214 . . 3
169, 15sseldd 3433 . 2
17 elfznn0 11887 . . . 4
19 eleq1 2517 . . . . . . 7
20 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
21 oveq1 6297 . . . . . . . . 9
2220, 21fveq12d 5871 . . . . . . . 8
2321fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10
2423sneqd 3980 . . . . . . . . 9
2524imaeq2d 5168 . . . . . . . 8
2622, 25eleq12d 2523 . . . . . . 7
2719, 26imbi12d 322 . . . . . 6
2827imbi2d 318 . . . . 5
29 eleq1 2517 . . . . . . 7
30 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
31 oveq1 6297 . . . . . . . . 9
3230, 31fveq12d 5871 . . . . . . . 8
3331fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10
3433sneqd 3980 . . . . . . . . 9
3534imaeq2d 5168 . . . . . . . 8
3632, 35eleq12d 2523 . . . . . . 7
3729, 36imbi12d 322 . . . . . 6
3837imbi2d 318 . . . . 5
39 eleq1 2517 . . . . . . 7
40 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
41 oveq1 6297 . . . . . . . . 9
4240, 41fveq12d 5871 . . . . . . . 8
4341fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10
4443sneqd 3980 . . . . . . . . 9
4544imaeq2d 5168 . . . . . . . 8
4642, 45eleq12d 2523 . . . . . . 7
4739, 46imbi12d 322 . . . . . 6
4847imbi2d 318 . . . . 5
49 eleq1 2517 . . . . . . 7
50 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
51 oveq1 6297 . . . . . . . . 9
5250, 51fveq12d 5871 . . . . . . . 8
5351fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10
5453sneqd 3980 . . . . . . . . 9
5554imaeq2d 5168 . . . . . . . 8
5652, 55eleq12d 2523 . . . . . . 7
5749, 56imbi12d 322 . . . . . 6
5857imbi2d 318 . . . . 5
59 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11 t t
60 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11
61 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11
62 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11 CovMap
63 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11
64 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11
65 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11
66 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11
67 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11
68 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11
69 cvmliftlem.q . . . . . . . . . . 11
7059, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69cvmliftlem4 30011 . . . . . . . . . 10
7170a1i 11 . . . . . . . . 9
722nnne0d 10654 . . . . . . . . . 10
733, 72div0d 10382 . . . . . . . . 9
7471, 73fveq12d 5871 . . . . . . . 8
75 0nn0 10884 . . . . . . . . 9
76 fvsng 6098 . . . . . . . . 9
7775, 64, 76sylancr 669 . . . . . . . 8
7874, 77eqtrd 2485 . . . . . . 7
7973fveq2d 5869 . . . . . . . . 9
8065, 79eqtr4d 2488 . . . . . . . 8
81 cvmcn 29985 . . . . . . . . . . 11 CovMap
8262, 81syl 17 . . . . . . . . . 10
8360, 61cnf 20262 . . . . . . . . . 10
84 ffn 5728 . . . . . . . . . 10
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . . 9
86 fniniseg 6003 . . . . . . . . 9
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8
8864, 80, 87mpbir2and 933 . . . . . . 7
8978, 88eqeltrd 2529 . . . . . 6
9089a1d 26 . . . . 5
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12
92 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . 12
9391, 92syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . 11
9493adantl 468 . . . . . . . . . 10
95 peano2fzr 11812 . . . . . . . . . . 11
9695ex 436 . . . . . . . . . 10
9794, 96syl 17 . . . . . . . . 9
9897imim1d 78 . . . . . . . 8
99 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15
100 simprlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 simprll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107105, 106syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10812adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109 elfz5 11792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110107, 108, 109syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111102, 110mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15
112 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113103nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 pncan 9881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115113, 5, 114sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117115oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118116, 117fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119117fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120119sneqd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121120imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122112, 118, 1213eltr4d 2544 . . . . . . . . . . . . . . 15
12359, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122cvmliftlem6 30013 . . . . . . . . . . . . . 14
124123simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13
125103nn0red 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1262adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127125, 126nndivred 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128127rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15
129 peano2re 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131130, 126nndivred 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132131rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15
133125ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134126nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135126nngt0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136 ltdiv1 10469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137125, 130, 134, 135, 136syl112anc 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138133, 137mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139127, 131, 138ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15
140 ubicc2 11749 . . . . . . . . . . . . . . 15
141128, 132, 139, 140syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14
142117oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14
143141, 142eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . 13
144124, 143ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12
145123simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
146142reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . . . 15
147145, 146eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14
148147fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . 13
149142feq2d 5715 . . . . . . . . . . . . . . 15
150124, 149mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14
151 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . . 14
152150, 141, 151syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13
153 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
154141, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
155148, 152, 1543eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . 12
15685adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
157 fniniseg 6003 . . . . . . . . . . . . 13
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . 12
159144, 155, 158mpbir2and 933 . . . . . . . . . . 11
160159expr 620 . . . . . . . . . 10
161160expr 620 . . . . . . . . 9
162161a2d 29 . . . . . . . 8
16398, 162syld 45 . . . . . . 7
164163expcom 437 . . . . . 6
165164a2d 29 . . . . 5
16628, 38, 48, 58, 90, 165nn0ind 11030 . . . 4
167166impd 433 . . 3
16818, 167mpcom 37 . 2
16916, 168syldan 473 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  crab 2741  cvv 3045   cdif 3401   cun 3402   cin 3403   wss 3404  c0 3731  cpw 3951  csn 3968  cop 3974  cuni 4198  ciun 4278   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cid 4744   cxp 4832  ccnv 4833   crn 4835   cres 4836  cima 4837   ccom 4838   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  crio 6251  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  c1st 6791  c2nd 6792  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cmin 9860   cdiv 10269  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cioo 11635  cicc 11638  cfz 11784   cseq 12213   ↾t crest 15319  ctg 15336   ccn 20240  chmeo 20768  cii 21907   CovMap ccvm 29978 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-hmeo 20770  df-ii 21909  df-cvm 29979 This theorem is referenced by:  cvmliftlem8  30015  cvmliftlem9  30016  cvmliftlem10  30017  cvmliftlem13  30019
 Copyright terms: Public domain W3C validator