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Theorem cvmliftlem6 27324
Description: Lemma for cvmlift 27333. Induction step for cvmliftlem7 27325. Assuming that  Q ( M  - 
1 ) is defined at  ( M  -  1 )  /  N and is a preimage of  G ( ( M  -  1 )  /  N ), the next segment  Q ( M ) is also defined and is a function on  W which is a lift  G for this segment. This follows explicitly from the definition  Q ( M )  =  `' ( F  |`  I )  o.  G since  G is in  1st `  ( F `  M ) for the entire interval so that  `' ( F  |`  I ) maps this into  I and  F  o.  Q maps back to  G. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
cvmliftlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cvmliftlem.t  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
cvmliftlem.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
cvmliftlem.l  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
cvmliftlem.q  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
cvmliftlem6.1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
cvmliftlem6.2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  M ) : W --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  M ) )  =  ( G  |`  W ) ) )
Distinct variable groups:    v, b,
z, B    j, b,
k, m, s, u, x, F, v, z   
z, L    M, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    P, b, k, m, u, v, x, z    C, b, j, k, s, u, v, z    ph, j,
s, x, z    ps, z    N, b, k, m, u, v, x, z    S, b, j, k, s, u, v, x, z   
j, X    G, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    T, b, j, k, m, s, u, v, x, z    J, b, j, k, s, u, v, x, z    Q, b, k, m, u, v, x, z   
k, W, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k, m, b)    ps( x, v, u, j, k, m, s, b)    B( x, u, j, k, m, s)    C( x, m)    P( j, s)    Q( j, s)    S( m)    J( m)    L( x, v, u, j, k, m, s, b)    N( j, s)    W( v, u, j, s, b)    X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem6
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
2 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  = 
U. C
3 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
4 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
6 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
7 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8 cvmliftlem.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
10 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
11 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
12 cvmliftlem6.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
1312adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13cvmliftlem1 27319 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( 2nd `  ( T `  M
) )  e.  ( S `  ( 1st `  ( T `  M
) ) ) )
151cvmsss 27301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  ( T `
 M ) )  e.  ( S `  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )  ->  ( 2nd `  ( T `  M
) )  C_  C
)
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( 2nd `  ( T `  M
) )  C_  C
)
174adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
18 cvmliftlem6.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
1918adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
20 cvmcn 27296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
212, 3cnf 18983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
2217, 20, 213syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  F : B
--> X )
23 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B --> X  ->  F  Fn  B )
24 fniniseg 5934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } )  <->  ( (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) ) ) )
2522, 23, 243syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } )  <-> 
( ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  B  /\  ( F `  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) ) ) )
2619, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) ) )
2726simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B )
2826simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )
29 cvmliftlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
30 elfznn 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  M  e.  NN )
3113, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  M  e.  NN )
3231nnred 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  M  e.  RR )
33 peano2rem 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
358adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  N  e.  NN )
3634, 35nndivred 10482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e.  RR )
3736rexrd 9545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e. 
RR* )
3832, 35nndivred 10482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  /  N )  e.  RR )
3938rexrd 9545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  /  N )  e.  RR* )
4032ltm1d 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  -  1 )  < 
M )
4135nnred 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  N  e.  RR )
4235nngt0d 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  0  <  N )
43 ltdiv1 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( M  - 
1 )  <  M  <->  ( ( M  -  1 )  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
4434, 32, 41, 42, 43syl112anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  <  M  <->  ( ( M  -  1 )  /  N )  < 
( M  /  N
) ) )
4540, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  < 
( M  /  N
) )
4636, 38, 45ltled 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  <_ 
( M  /  N
) )
47 lbicc2 11519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  - 
1 )  /  N
)  e.  RR*  /\  ( M  /  N )  e. 
RR*  /\  ( ( M  -  1 )  /  N )  <_ 
( M  /  N
) )  ->  (
( M  -  1 )  /  N )  e.  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N
) ) )
4837, 39, 46, 47syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e.  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) ) )
4948, 29syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e.  W )
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 49cvmliftlem3 27321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
5128, 50eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
52 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  =  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )
531, 2, 52cvmsiota 27311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
( 2nd `  ( T `  M )
)  e.  ( S `
 ( 1st `  ( T `  M )
) )  /\  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  e.  ( 1st `  ( T `  M )
) ) )  -> 
( ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) )  /\  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) )
5417, 14, 27, 51, 53syl13anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) )  /\  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) )
5554simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) )
5616, 55sseldd 3466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  C )
57 elssuni 4230 . . . . . . . 8  |-  ( (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b )  e.  C  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  C_  U. C )
5856, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  C_  U. C )
5958, 2syl6sseqr 3512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  C_  B )
601cvmsf1o 27306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( 2nd `  ( T `  M ) )  e.  ( S `  ( 1st `  ( T `  M ) ) )  /\  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) )  -> 
( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
6117, 14, 55, 60syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `  M )
) )
62 f1ocnv 5762 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) : (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `  M
) )  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `
 M ) ) -1-1-onto-> (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) )
63 f1of 5750 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `  M )
)
-1-1-onto-> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b )  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `  M
) ) --> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) )
6461, 62, 633syl 20 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `
 M ) ) --> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) )
65 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  z  e.  W )
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 65cvmliftlem3 27321 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( G `  z )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
6764, 66ffvelrnd 5954 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) )
6859, 67sseldd 3466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  e.  B )
6968anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  z  e.  W
)  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  e.  B )
70 eqid 2454 . . . 4  |-  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )
7169, 70fmptd 5977 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) : W --> B )
7212, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  NN )
73 cvmliftlem.q . . . . . 6  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
741, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 73, 29cvmliftlem5 27323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( Q `
 M )  =  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )
7572, 74syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q `  M
)  =  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
7675feq1d 5655 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  M ) : W --> B 
<->  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) : W --> B ) )
7771, 76mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q `  M
) : W --> B )
78 fvres 5814 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  W  ->  (
( G  |`  W ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
7965, 78syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( G  |`  W ) `  z )  =  ( G `  z ) )
80 f1ocnvfv2 6094 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `
 M ) )  /\  ( G `  z )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( G `
 z ) )
8161, 66, 80syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( G `
 z ) )
82 fvres 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) )  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) ) )
8367, 82syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) ) )
8479, 81, 833eqtr2rd 2502 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( ( G  |`  W ) `  z ) )
8584anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  z  e.  W
)  ->  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( ( G  |`  W ) `  z ) )
8685mpteq2dva 4487 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  W  |->  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  W  |->  ( ( G  |`  W ) `
 z ) ) )
874, 20, 213syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : B --> X )
8887adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  F : B --> X )
8988feqmptd 5854 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  F  =  ( y  e.  B  |->  ( F `
 y ) ) )
90 fveq2 5800 . . . 4  |-  ( y  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
9169, 75, 89, 90fmptco 5986 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  o.  ( Q `  M )
)  =  ( z  e.  W  |->  ( F `
 ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) ) ) )
92 iiuni 20590 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
9392, 3cnf 18983 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
945, 93syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
9594adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29cvmliftlem2 27320 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  C_  ( 0 [,] 1 ) )
97 fssres 5687 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  W  C_  (
0 [,] 1 ) )  ->  ( G  |`  W ) : W --> X )
9895, 96, 97syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G  |`  W ) : W --> X )
9998feqmptd 5854 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G  |`  W )  =  ( z  e.  W  |->  ( ( G  |`  W ) `  z
) ) )
10086, 91, 993eqtr4d 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  o.  ( Q `  M )
)  =  ( G  |`  W ) )
10177, 100jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  M ) : W --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  M ) )  =  ( G  |`  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3746   ~Pcpw 3969   {csn 3986   <.cop 3992   U.cuni 4200   U_ciun 4280   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459    _I cid 4740    X. cxp 4947   `'ccnv 4948   ran crn 4950    |` cres 4951   "cima 4952    o. ccom 4953    Fn wfn 5522   -->wf 5523   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527   iota_crio 6161  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   1stc1st 6686   2ndc2nd 6687   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531    - cmin 9707    / cdiv 10105   NNcn 10434   (,)cioo 11412   [,]cicc 11415   ...cfz 11555    seqcseq 11924   ↾t crest 14479   topGenctg 14496    Cn ccn 18961   Homeochmeo 19459   IIcii 20584   CovMap ccvm 27289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fi 7773  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-fz 11556  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-rest 14481  df-topgen 14502  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-cn 18964  df-hmeo 19461  df-ii 20586  df-cvm 27290
This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  27325  cvmliftlem10  27328  cvmliftlem13  27330
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