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Theorem cvmliftlem15 24938
Description: Lemma for cvmlift 24939. Discharge the assumptions of cvmliftlem14 24937. The set of all open subsets 
u of the unit interval such that  G " u is contained in an even covering of some open set in  J is a cover of  II by the definition of a covering map, so by the Lebesgue number lemma lebnumii 18944, there is a subdivision of the unit interval into  N equal parts such that each part is entirely contained within one such open set of  J. Then using finite choice ac6sfi 7310 to uniformly select one such subset and one even covering of each subset, we are ready to finish the proof with cvmliftlem14 24937. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem15  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    v, B    f, k, s, u, v, F    P, f, k, u, v    C, f, k, s, u, v    ph, f,
s    S, f, k, s, u, v    f, G, k, s, u, v   
f, J, k, s, u, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k)    B( u, f, k, s)    P( s)    X( v, u, f, k, s)

Proof of Theorem cvmliftlem15
Dummy variables  b 
y  z  a  c  g  j  m  n  t  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3388 . . 3  |-  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  II
2 cvmliftlem.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
32adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 iiuni 18864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
6 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
75, 6cnf 17264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
98ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( G `  x )  e.  X )
10 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1110, 6cvmcov 24903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  x )  e.  X )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
123, 9, 11syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
134ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
14 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  j  e.  J )
15 cnima 17283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  j  e.  J )  ->  ( `' G "
j )  e.  II )
1613, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( `' G " j )  e.  II )
17 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
18 simprrl 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  j )
198ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G :
( 0 [,] 1
) --> X )
20 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  G  Fn  ( 0 [,] 1 ) )
21 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  e.  ( `' G " j )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
j )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2317, 18, 22mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( `' G " j ) )
24 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( S `  j )  =/=  (/) )
25 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  Fun  G )
26 funimacnv 5484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
2719, 25, 263syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
28 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  i^i  ran  G )  C_  j
2927, 28syl6eqss 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j )
3029ralrimivw 2750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  A. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
31 r19.2z 3677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  j
)  =/=  (/)  /\  A. s  e.  ( S `  j ) ( G
" ( `' G " j ) )  C_  j )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
3224, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
33 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  ( `' G " j ) ) )
34 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( G " u )  =  ( G " ( `' G " j ) ) )
3534sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3635rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3733, 36anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )  <->  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) ) )
3837rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G "
j )  e.  II  /\  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
)
3916, 23, 32, 38syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4039expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  j  e.  J )  ->  (
( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4140reximdva 2778 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4212, 41mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
43 r19.42v 2822 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4443rexbii 2691 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  II  E. j  e.  J  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
45 rexcom 2829 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
46 elunirab 3988 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } 
<->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j )
)
4744, 45, 463bitr4i 269 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
4842, 47sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
4948ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
) )
5049ssrdv 3314 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
51 uniss 3996 . . . . . 6  |-  ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
521, 51mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
5352, 5syl6sseqr 3355 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  ( 0 [,] 1 ) )
5450, 53eqssd 3325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  =  U. {
u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
55 lebnumii 18944 . . 3  |-  ( ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  /\  ( 0 [,] 1 )  = 
U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
561, 54, 55sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v
)
57 fzfi 11266 . . . . 5  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
58 imaeq2 5158 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  ( G " u )  =  ( G " v
) )
5958sseq1d 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " v )  C_  j
) )
60592rexbidv 2709 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
) )
6160rexrab 3058 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  <->  E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
)
62 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  j  e. 
_V
63 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
6462, 63op1std 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( 1st `  u
)  =  j )
6564sseq2d 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( ( G
" v )  C_  ( 1st `  u )  <-> 
( G " v
)  C_  j )
)
6665rexiunxp 4974 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
)
67 imass2 5199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( G " v ) )
68 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n ) ) ) 
C_  ( G "
v )  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7069reximdv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7166, 70syl5bir 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7271impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7372rexlimivw 2786 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7461, 73sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7574ralimi 2741 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
76 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  ( 1st `  u )  =  ( 1st `  (
g `  k )
) )
7776sseq2d 3336 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  (
( G " (
( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u )  <->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
7877ac6sfi 7310 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
7957, 75, 78sylancr 645 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
80 cvmliftlem.b . . . . . . 7  |-  B  = 
U. C
812ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
824ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
83 cvmliftlem.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8483ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  P  e.  B )
85 cvmliftlem.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8685ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  0 ) )
87 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
88 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
89 sneq 3785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  { j }  =  { a } )
90 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  ( S `  j )  =  ( S `  a ) )
9189, 90xpeq12d 4862 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  a  ->  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  ( { a }  X.  ( S `  a )
) )
9291cbviunv 4090 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)
93 feq3 5537 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)  ->  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) ) )
9492, 93ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
9588, 94sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
96 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )
97 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
98 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  z ) )
9998fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  z )
) )
10099cbvmptv 4260 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )
101 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  b  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c  <->  ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
102101cbvriotav 6520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c )  =  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b )
103 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) ) )
104103eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
105104riotabidv 6510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
106102, 105syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
107106reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
108107cnveqd 5007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
109108fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
110109mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
111100, 110syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
112 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  (
w  -  1 )  =  ( m  - 
1 ) )
113112oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
( w  -  1 )  /  n )  =  ( ( m  -  1 )  /  n ) )
114 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
w  /  n )  =  ( m  /  n ) )
115113, 114oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  (
( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) ) )
116 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
g `  w )  =  ( g `  m ) )
117116fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  ( 2nd `  ( g `  w ) )  =  ( 2nd `  (
g `  m )
) )
118113fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
x `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) ) )
119118eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  (
( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
120117, 119riotaeqbidv 6511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  m  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m ) ) ( x `  ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
121120reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
122121cnveqd 5007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
123122fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
124115, 123mpteq12dv 4247 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  m  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
125111, 124cbvmpt2v 6111 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )
126 seqeq2 11282 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )  ->  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) )
127125, 126ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
128 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  ( 1 ... n
) (  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )  = 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) (  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )
12910, 80, 6, 81, 82, 84, 86, 87, 95, 96, 97, 127, 128cvmliftlem14 24937 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
130129ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
131130exlimdv 1643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. g ( g : ( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
13279, 131syl5 30 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) ) )
133132rexlimdva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  f
)  =  G  /\  ( f `  0
)  =  P ) ) )
13456, 133mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053    e. cmpt 4226    _I cid 4453    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   iota_crio 6501   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ↾t crest 13603   topGenctg 13620    Cn ccn 17242    Homeo chmeo 17738   IIcii 18858   CovMap ccvm 24895
This theorem is referenced by:  cvmlift  24939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-con 17428  df-lly 17482  df-nlly 17483  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pcon 24861  df-scon 24862  df-cvm 24896
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