Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem14 Structured version   Unicode version

Theorem cvmliftlem14 29581
Description: Lemma for cvmlift 29583. Putting the results of cvmliftlem11 29579, cvmliftlem13 29580 and cvmliftmo 29568 together, we have that  K is a continuous function, satisfies  F  o.  K  =  G and  K ( 0 )  =  P, and is equal to any other function which also has these properties, so it follows that  K is the unique lift of  G. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
cvmliftlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cvmliftlem.t  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
cvmliftlem.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
cvmliftlem.l  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
cvmliftlem.q  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
cvmliftlem.k  |-  K  = 
U_ k  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  k
)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem14  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    v, b,
z, B    f, b,
j, k, m, s, u, x, F, v, z    z, L    f, K    P, b, f, k, m, u, v, x, z    C, b, f, j, k, s, u, v, z    ph, f, j, s, x, z    N, b, k, m, u, v, x, z    S, b, f, j, k, s, u, v, x, z   
j, X    G, b,
f, j, k, m, s, u, v, x, z    T, b, j, k, m, s, u, v, x, z    J, b, f, j, k, s, u, v, x, z    Q, b, k, m, u, v, x, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k, m, b)    B( x, u, f, j, k, m, s)    C( x, m)    P( j, s)    Q( f, j, s)    S( m)    T( f)    J( m)    K( x, z, v, u, j, k, m, s, b)    L( x, v, u, f, j, k, m, s, b)    N( f, j, s)    X( x, z, v, u, f, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem14
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . 5  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
2 cvmliftlem.b . . . . 5  |-  B  = 
U. C
3 cvmliftlem.x . . . . 5  |-  X  = 
U. J
4 cvmliftlem.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmliftlem.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
6 cvmliftlem.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
7 cvmliftlem.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8 cvmliftlem.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9 cvmliftlem.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
10 cvmliftlem.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
11 cvmliftlem.l . . . . 5  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
12 cvmliftlem.q . . . . 5  |-  Q  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
13 cvmliftlem.k . . . . 5  |-  K  = 
U_ k  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  k
)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem11 29579 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  K )  =  G ) )
1514simpld 457 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( II 
Cn  C ) )
1614simprd 461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  K
)  =  G )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem13 29580 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  0
)  =  P )
18 coeq2 4981 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( F  o.  f )  =  ( F  o.  K ) )
1918eqeq1d 2404 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  (
( F  o.  f
)  =  G  <->  ( F  o.  K )  =  G ) )
20 fveq1 5847 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  (
f `  0 )  =  ( K ` 
0 ) )
2120eqeq1d 2404 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  (
( f `  0
)  =  P  <->  ( K `  0 )  =  P ) )
2219, 21anbi12d 709 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  (
( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  K )  =  G  /\  ( K `
 0 )  =  P ) ) )
2322rspcev 3159 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( II 
Cn  C )  /\  ( ( F  o.  K )  =  G  /\  ( K ` 
0 )  =  P ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
2415, 16, 17, 23syl12anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
25 iiuni 21675 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
26 iicon 21681 . . . 4  |-  II  e.  Con
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e.  Con )
28 iinllycon 29538 . . . 4  |-  II  e. 𝑛Locally  Con
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e. 𝑛Locally  Con )
30 0elunit 11690 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
322, 25, 4, 27, 29, 31, 5, 6, 7cvmliftmo 29568 . 2  |-  ( ph  ->  E* f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
33 reu5 3022 . 2  |-  ( E! f  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  f
)  =  G  /\  ( f `  0
)  =  P )  <-> 
( E. f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P )  /\  E* f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  (
f `  0 )  =  P ) ) )
3424, 32, 33sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   E!wreu 2755   E*wrmo 2756   {crab 2757   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   {csn 3971   <.cop 3977   U.cuni 4190   U_ciun 4270    |-> cmpt 4452    _I cid 4732    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   ran crn 4823    |` cres 4824   "cima 4825    o. ccom 4826   -->wf 5564   ` cfv 5568   iota_crio 6238  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   1stc1st 6781   2ndc2nd 6782   0cc0 9521   1c1 9522    - cmin 9840    / cdiv 10246   NNcn 10575   (,)cioo 11581   [,]cicc 11584   ...cfz 11724    seqcseq 12149   ↾t crest 15033   topGenctg 15050    Cn ccn 20016   Conccon 20202  𝑛Locally cnlly 20256   Homeochmeo 20544   IIcii 21669   CovMap ccvm 29539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-nei 19890  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-con 20203  df-lly 20257  df-nlly 20258  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-ii 21671  df-htpy 21760  df-phtpy 21761  df-phtpc 21782  df-pcon 29505  df-scon 29506  df-cvm 29540
This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  29582
  Copyright terms: Public domain W3C validator