Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftiota Structured version   Unicode version

Theorem cvmliftiota 27205
Description: Write out a function  H that is the unique lift of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftiota.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftiota.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
cvmliftiota.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftiota.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftiota.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftiota.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftiota  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    C, f    f, F    f, G    P, f
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    H( f)    J( f)

Proof of Theorem cvmliftiota
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftiota.h . . . 4  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
2 coeq2 5013 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( F  o.  f )  =  ( F  o.  g ) )
32eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( F  o.  f
)  =  G  <->  ( F  o.  g )  =  G ) )
4 fveq1 5705 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
54eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  0
)  =  P  <->  ( g `  0 )  =  P ) )
63, 5anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) )
76cbvriotav 6078 . . . 4  |-  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  (
f `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
81, 7eqtri 2463 . . 3  |-  H  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
9 cvmliftiota.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
10 cvmliftiota.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
11 cvmliftiota.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
12 cvmliftiota.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
13 cvmliftiota.b . . . . . 6  |-  B  = 
U. C
1413cvmlift 27203 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  /\  ( P  e.  B  /\  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) ) )  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )
159, 10, 11, 12, 14syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
16 riotacl2 6081 . . . 4  |-  ( E! g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  G  /\  ( g `  0
)  =  P )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )  e. 
{ g  e.  ( II  Cn  C )  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) } )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  {
g  e.  ( II 
Cn  C )  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) } )
188, 17syl5eqel 2527 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  { g  e.  ( II  Cn  C )  |  ( ( F  o.  g
)  =  G  /\  ( g `  0
)  =  P ) } )
19 coeq2 5013 . . . . . 6  |-  ( g  =  H  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  H ) )
2019eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( g  =  H  ->  (
( F  o.  g
)  =  G  <->  ( F  o.  H )  =  G ) )
21 fveq1 5705 . . . . . 6  |-  ( g  =  H  ->  (
g `  0 )  =  ( H ` 
0 ) )
2221eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( g  =  H  ->  (
( g `  0
)  =  P  <->  ( H `  0 )  =  P ) )
2320, 22anbi12d 710 . . . 4  |-  ( g  =  H  ->  (
( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H `
 0 )  =  P ) ) )
2423elrab 3132 . . 3  |-  ( H  e.  { g  e.  ( II  Cn  C
)  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  (
g `  0 )  =  P ) }  <->  ( H  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H `  0 )  =  P ) ) )
25 3anass 969 . . 3  |-  ( ( H  e.  ( II 
Cn  C )  /\  ( F  o.  H
)  =  G  /\  ( H `  0 )  =  P )  <->  ( H  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H `  0 )  =  P ) ) )
2624, 25bitr4i 252 . 2  |-  ( H  e.  { g  e.  ( II  Cn  C
)  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  (
g `  0 )  =  P ) }  <->  ( H  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H ` 
0 )  =  P ) )
2718, 26sylib 196 1  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E!wreu 2732   {crab 2734   U.cuni 4106    o. ccom 4859   ` cfv 5433   iota_crio 6066  (class class class)co 6106   0cc0 9297    Cn ccn 18843   IIcii 20466   CovMap ccvm 27159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-ec 7118  df-map 7231  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-sum 13179  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-mulg 15563  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-cnfld 17834  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-cmp 19005  df-con 19031  df-lly 19085  df-nlly 19086  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-ii 20468  df-htpy 20557  df-phtpy 20558  df-phtpc 20579  df-pcon 27125  df-scon 27126  df-cvm 27160
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem2  27208  cvmlift2lem3  27209  cvmliftphtlem  27221  cvmliftpht  27222  cvmlift3lem2  27224  cvmlift3lem4  27226  cvmlift3lem5  27227  cvmlift3lem6  27228
  Copyright terms: Public domain W3C validator