Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftiota Structured version   Unicode version

Theorem cvmliftiota 29598
Description: Write out a function  H that is the unique lift of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftiota.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftiota.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
cvmliftiota.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftiota.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftiota.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftiota.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftiota  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    C, f    f, F    f, G    P, f
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    H( f)    J( f)

Proof of Theorem cvmliftiota
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftiota.h . . . 4  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
2 coeq2 4982 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( F  o.  f )  =  ( F  o.  g ) )
32eqeq1d 2404 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( F  o.  f
)  =  G  <->  ( F  o.  g )  =  G ) )
4 fveq1 5848 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
54eqeq1d 2404 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  0
)  =  P  <->  ( g `  0 )  =  P ) )
63, 5anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) )
76cbvriotav 6251 . . . 4  |-  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  (
f `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
81, 7eqtri 2431 . . 3  |-  H  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
9 cvmliftiota.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
10 cvmliftiota.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
11 cvmliftiota.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
12 cvmliftiota.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
13 cvmliftiota.b . . . . . 6  |-  B  = 
U. C
1413cvmlift 29596 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  /\  ( P  e.  B  /\  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) ) )  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )
159, 10, 11, 12, 14syl22anc 1231 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
16 riotacl2 6253 . . . 4  |-  ( E! g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  G  /\  ( g `  0
)  =  P )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )  e. 
{ g  e.  ( II  Cn  C )  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) } )
1715, 16syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  {
g  e.  ( II 
Cn  C )  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) } )
188, 17syl5eqel 2494 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  { g  e.  ( II  Cn  C )  |  ( ( F  o.  g
)  =  G  /\  ( g `  0
)  =  P ) } )
19 coeq2 4982 . . . . . 6  |-  ( g  =  H  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  H ) )
2019eqeq1d 2404 . . . . 5  |-  ( g  =  H  ->  (
( F  o.  g
)  =  G  <->  ( F  o.  H )  =  G ) )
21 fveq1 5848 . . . . . 6  |-  ( g  =  H  ->  (
g `  0 )  =  ( H ` 
0 ) )
2221eqeq1d 2404 . . . . 5  |-  ( g  =  H  ->  (
( g `  0
)  =  P  <->  ( H `  0 )  =  P ) )
2320, 22anbi12d 709 . . . 4  |-  ( g  =  H  ->  (
( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H `
 0 )  =  P ) ) )
2423elrab 3207 . . 3  |-  ( H  e.  { g  e.  ( II  Cn  C
)  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  (
g `  0 )  =  P ) }  <->  ( H  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H `  0 )  =  P ) ) )
25 3anass 978 . . 3  |-  ( ( H  e.  ( II 
Cn  C )  /\  ( F  o.  H
)  =  G  /\  ( H `  0 )  =  P )  <->  ( H  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H `  0 )  =  P ) ) )
2624, 25bitr4i 252 . 2  |-  ( H  e.  { g  e.  ( II  Cn  C
)  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  (
g `  0 )  =  P ) }  <->  ( H  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H ` 
0 )  =  P ) )
2718, 26sylib 196 1  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   E!wreu 2756   {crab 2758   U.cuni 4191    o. ccom 4827   ` cfv 5569   iota_crio 6239  (class class class)co 6278   0cc0 9522    Cn ccn 20018   IIcii 21671   CovMap ccvm 29552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-ec 7350  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-cmp 20180  df-con 20205  df-lly 20259  df-nlly 20260  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-ii 21673  df-htpy 21762  df-phtpy 21763  df-phtpc 21784  df-pcon 29518  df-scon 29519  df-cvm 29553
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem2  29601  cvmlift2lem3  29602  cvmliftphtlem  29614  cvmliftpht  29615  cvmlift3lem2  29617  cvmlift3lem4  29619  cvmlift3lem5  29620  cvmlift3lem6  29621
  Copyright terms: Public domain W3C validator