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Theorem cvmlift3lem8 28637
Description: Lemma for cvmlift2 28627. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
cvmlift3lem7.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem8  |-  ( ph  ->  H  e.  ( K  Cn  C ) )
Distinct variable groups:    c, d,
f, k, s, z, g, x    J, c   
g, d, x, J, f, k, s    F, c, d, f, g, k, s    x, z, F    H, c, d, f, g, x, z    S, f, x    B, d, f, g, x, z    G, c, d, f, g, k, x, z    C, c, d, f, g, k, s, x, z    ph, f, x    K, c, f, g, x, z    P, c, d, f, g, x, z    O, c, f, g, x, z    f, Y, g, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g, k, s, c, d)    B( k, s, c)    P( k, s)    S( z, g, k, s, c, d)    G( s)    H( k, s)    J( z)    K( k, s, d)    O( k, s, d)    Y( k, s, c, d)

Proof of Theorem cvmlift3lem8
Dummy variables  b 
a  v  y  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift3.y . . 3  |-  Y  = 
U. K
3 cvmlift3.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmlift3.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
5 cvmlift3.l . . 3  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
6 cvmlift3.o . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
7 cvmlift3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
8 cvmlift3.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
9 cvmlift3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
10 cvmlift3.h . . 3  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 28632 . 2  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
123adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
13 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
142, 13cnf 19613 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( K  Cn  J )  ->  G : Y --> U. J )
157, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. J
)
1615ffvelrnda 6012 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( G `  y )  e.  U. J )
17 cvmlift3lem7.s . . . . . 6  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
1817, 13cvmcov 28574 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  y )  e.  U. J )  ->  E. a  e.  J  ( ( G `  y )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) ) )
1912, 16, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. a  e.  J  ( ( G `  y )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) ) )
20 n0 3776 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  a )  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  ( S `  a
) )
215ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
227ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
23 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  t  e.  ( S `  a ) )
2417cvmsrcl 28575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( S `  a )  ->  a  e.  J )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  a  e.  J
)
26 cnima 19632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( K  Cn  J )  /\  a  e.  J )  ->  ( `' G "
a )  e.  K
)
2722, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  ( `' G " a )  e.  K
)
28 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  y  e.  Y
)
29 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  a )
30 ffn 5717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : Y --> U. J  ->  G  Fn  Y )
31 elpreima 5988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  Y  ->  (
y  e.  ( `' G " a )  <-> 
( y  e.  Y  /\  ( G `  y
)  e.  a ) ) )
3222, 14, 30, 314syl 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' G "
a )  <->  ( y  e.  Y  /\  ( G `  y )  e.  a ) ) )
3328, 29, 32mpbir2and 920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  y  e.  ( `' G " a ) )
34 nlly2i 19843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally PCon  /\  ( `' G " a )  e.  K  /\  y  e.  ( `' G " a ) )  ->  E. m  e.  ~P  ( `' G " a ) E. v  e.  K  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) )
3521, 27, 33, 34syl3anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  E. m  e.  ~P  ( `' G " a ) E. v  e.  K  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon )
)
363ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
374ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  K  e. SCon )
385ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
396ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  O  e.  Y )
407ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
418ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  P  e.  B )
429ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
4329adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  a )
4423adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  t  e.  ( S `  a ) )
45 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  m  e.  ~P ( `' G "
a ) )
4645elpwid 4003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  m  C_  ( `' G " a ) )
47 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( iota_ b  e.  t  ( H `
 y )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  t 
( H `  y
)  e.  b )
48 simprr3 1045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  ( Kt  m
)  e. PCon )
49 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  v  e.  K )
50 simprr2 1044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  v  C_  m )
51 simprr1 1043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  y  e.  v )
521, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51cvmlift3lem7 28636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) )
5352expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
) )  ->  (
( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `
 y ) ) )
5453rexlimdvva 2940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  ( E. m  e.  ~P  ( `' G " a ) E. v  e.  K  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
5535, 54mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C
) `  y )
)
5655expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( G `  y )  e.  a )  ->  (
t  e.  ( S `
 a )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
5756exlimdv 1709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( G `  y )  e.  a )  ->  ( E. t  t  e.  ( S `  a )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C
) `  y )
) )
5820, 57syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( G `  y )  e.  a )  ->  (
( S `  a
)  =/=  (/)  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
5958expimpd 603 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( G `  y )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
6059rexlimdvw 2936 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  J  ( ( G `  y )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
6119, 60mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) )
6261ralrimiva 2855 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) )
63 scontop 28539 . . . . 5  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e.  Top )
644, 63syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
652toptopon 19301 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6664, 65sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
67 cvmtop1 28571 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
683, 67syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Top )
691toptopon 19301 . . . 4  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
7068, 69sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  (TopOn `  B ) )
71 cncnp 19647 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  C  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( H  e.  ( K  Cn  C
)  <->  ( H : Y
--> B  /\  A. y  e.  Y  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) ) )
7266, 70, 71syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( K  Cn  C )  <-> 
( H : Y --> B  /\  A. y  e.  Y  H  e.  ( ( K  CnP  C
) `  y )
) ) )
7311, 62, 72mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( K  Cn  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795    \ cdif 3455    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   {csn 4010   U.cuni 4230    |-> cmpt 4491   `'ccnv 4984    |` cres 4987   "cima 4988    o. ccom 4989    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574   iota_crio 6237  (class class class)co 6277   0cc0 9490   1c1 9491   ↾t crest 14690   Topctop 19261  TopOnctopon 19262    Cn ccn 19591    CnP ccnp 19592  𝑛Locally cnlly 19832   Homeochmeo 20120   IIcii 21245  PConcpcon 28530  SConcscon 28531   CovMap ccvm 28566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-ec 7311  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-sum 13483  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-cmp 19753  df-con 19779  df-lly 19833  df-nlly 19834  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-ii 21247  df-htpy 21336  df-phtpy 21337  df-phtpc 21358  df-pco 21371  df-pcon 28532  df-scon 28533  df-cvm 28567
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