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Theorem cvmlift3lem8 28399
Description: Lemma for cvmlift2 28389. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
cvmlift3lem7.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem8  |-  ( ph  ->  H  e.  ( K  Cn  C ) )
Distinct variable groups:    c, d,
f, k, s, z, g, x    J, c   
g, d, x, J, f, k, s    F, c, d, f, g, k, s    x, z, F    H, c, d, f, g, x, z    S, f, x    B, d, f, g, x, z    G, c, d, f, g, k, x, z    C, c, d, f, g, k, s, x, z    ph, f, x    K, c, f, g, x, z    P, c, d, f, g, x, z    O, c, f, g, x, z    f, Y, g, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g, k, s, c, d)    B( k, s, c)    P( k, s)    S( z, g, k, s, c, d)    G( s)    H( k, s)    J( z)    K( k, s, d)    O( k, s, d)    Y( k, s, c, d)

Proof of Theorem cvmlift3lem8
Dummy variables  b 
a  v  y  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift3.y . . 3  |-  Y  = 
U. K
3 cvmlift3.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmlift3.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
5 cvmlift3.l . . 3  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
6 cvmlift3.o . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
7 cvmlift3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
8 cvmlift3.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
9 cvmlift3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
10 cvmlift3.h . . 3  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 28394 . 2  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
123adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
13 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
142, 13cnf 19508 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( K  Cn  J )  ->  G : Y --> U. J )
157, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. J
)
1615ffvelrnda 6014 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( G `  y )  e.  U. J )
17 cvmlift3lem7.s . . . . . 6  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
1817, 13cvmcov 28336 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  y )  e.  U. J )  ->  E. a  e.  J  ( ( G `  y )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) ) )
1912, 16, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. a  e.  J  ( ( G `  y )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) ) )
20 n0 3789 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  a )  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  ( S `  a
) )
215ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
227ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
23 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  t  e.  ( S `  a ) )
2417cvmsrcl 28337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( S `  a )  ->  a  e.  J )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  a  e.  J
)
26 cnima 19527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( K  Cn  J )  /\  a  e.  J )  ->  ( `' G "
a )  e.  K
)
2722, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  ( `' G " a )  e.  K
)
28 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  y  e.  Y
)
29 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  a )
30 ffn 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : Y --> U. J  ->  G  Fn  Y )
31 elpreima 5994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  Y  ->  (
y  e.  ( `' G " a )  <-> 
( y  e.  Y  /\  ( G `  y
)  e.  a ) ) )
3222, 14, 30, 314syl 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' G "
a )  <->  ( y  e.  Y  /\  ( G `  y )  e.  a ) ) )
3328, 29, 32mpbir2and 915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  y  e.  ( `' G " a ) )
34 nlly2i 19738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally PCon  /\  ( `' G " a )  e.  K  /\  y  e.  ( `' G " a ) )  ->  E. m  e.  ~P  ( `' G " a ) E. v  e.  K  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) )
3521, 27, 33, 34syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  E. m  e.  ~P  ( `' G " a ) E. v  e.  K  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon )
)
363ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
374ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  K  e. SCon )
385ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
396ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  O  e.  Y )
407ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
418ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  P  e.  B )
429ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
4329adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  a )
4423adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  t  e.  ( S `  a ) )
45 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  m  e.  ~P ( `' G "
a ) )
4645elpwid 4015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  m  C_  ( `' G " a ) )
47 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( iota_ b  e.  t  ( H `
 y )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  t 
( H `  y
)  e.  b )
48 simprr3 1041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  ( Kt  m
)  e. PCon )
49 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  v  e.  K )
50 simprr2 1040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  v  C_  m )
51 simprr1 1039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  y  e.  v )
521, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51cvmlift3lem7 28398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
( m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
)  /\  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon ) ) )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) )
5352expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( ( G `  y )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  (
m  e.  ~P ( `' G " a )  /\  v  e.  K
) )  ->  (
( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `
 y ) ) )
5453rexlimdvva 2957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  ( E. m  e.  ~P  ( `' G " a ) E. v  e.  K  ( y  e.  v  /\  v  C_  m  /\  ( Kt  m )  e. PCon )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
5535, 54mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  (
( G `  y
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C
) `  y )
)
5655expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( G `  y )  e.  a )  ->  (
t  e.  ( S `
 a )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
5756exlimdv 1695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( G `  y )  e.  a )  ->  ( E. t  t  e.  ( S `  a )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C
) `  y )
) )
5820, 57syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  ( G `  y )  e.  a )  ->  (
( S `  a
)  =/=  (/)  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
5958expimpd 603 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( G `  y )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
6059rexlimdvw 2953 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  J  ( ( G `  y )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) )
6119, 60mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) )
6261ralrimiva 2873 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) )
63 scontop 28301 . . . . 5  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e.  Top )
644, 63syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
652toptopon 19196 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6664, 65sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
67 cvmtop1 28333 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
683, 67syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Top )
691toptopon 19196 . . . 4  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
7068, 69sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  (TopOn `  B ) )
71 cncnp 19542 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  C  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( H  e.  ( K  Cn  C
)  <->  ( H : Y
--> B  /\  A. y  e.  Y  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  y ) ) ) )
7266, 70, 71syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( K  Cn  C )  <-> 
( H : Y --> B  /\  A. y  e.  Y  H  e.  ( ( K  CnP  C
) `  y )
) ) )
7311, 62, 72mpbir2and 915 1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( K  Cn  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   {csn 4022   U.cuni 4240    |-> cmpt 4500   `'ccnv 4993    |` cres 4996   "cima 4997    o. ccom 4998    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581   iota_crio 6237  (class class class)co 6277   0cc0 9483   1c1 9484   ↾t crest 14667   Topctop 19156  TopOnctopon 19157    Cn ccn 19486    CnP ccnp 19487  𝑛Locally cnlly 19727   Homeochmeo 19984   IIcii 21109  PConcpcon 28292  SConcscon 28293   CovMap ccvm 28328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-cmp 19648  df-con 19674  df-lly 19728  df-nlly 19729  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-ii 21111  df-htpy 21200  df-phtpy 21201  df-phtpc 21222  df-pco 21235  df-pcon 28294  df-scon 28295  df-cvm 28329
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