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Theorem cvmlift3lem5 24963
Description: Lemma for cvmlift2 24956. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  G )
Distinct variable groups:    z, f,
g, x    f, J    x, g, J    f, F, g    x, z, F    f, H, g, x, z    B, f, g, x, z    f, G, g, x, z    C, f, g, x, z    ph, f, x    f, K, g, x, z    P, f, g, x, z    f, O, g, x, z    f, Y, g, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem5
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( H `
 y )  =  ( H `  y
)
2 cvmlift3.b . . . . . 6  |-  B  = 
U. C
3 cvmlift3.y . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
4 cvmlift3.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmlift3.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
6 cvmlift3.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
7 cvmlift3.o . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
8 cvmlift3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
9 cvmlift3.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
10 cvmlift3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
11 cvmlift3.h . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem4 24962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
( H `  y
)  =  ( H `
 y )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  y  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y ) ) ) )
131, 12mpbii 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  y  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y ) ) )
14 df-3an 938 . . . . . 6  |-  ( ( ( f `  0
)  =  O  /\  ( f `  1
)  =  y  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  y ) )  <->  ( ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y )  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  y ) ) )
15 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
164ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
17 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  K ) )
188ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
19 cnco 17284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  f
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
2017, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( G  o.  f )  e.  ( II  Cn  J ) )
219ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  P  e.  B
)
22 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( f ` 
0 )  =  O )
2322fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( G `  ( f `  0
) )  =  ( G `  O ) )
24 iiuni 18864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 3cnf 17264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( II  Cn  K )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
27 0elunit 10971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( G  o.  f ) ` 
0 )  =  ( G `  ( f `
 0 ) ) )
3010ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
3123, 29, 303eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( F `  P )  =  ( ( G  o.  f
) `  0 )
)
322, 15, 16, 20, 21, 31cvmliftiota 24941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  0 )  =  P ) )
3332simp2d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) )  =  ( G  o.  f
) )
3433fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ) `
 1 )  =  ( ( G  o.  f ) `  1
) )
3532simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
) )
3624, 2cnf 17264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
38 1elunit 10972 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
39 fvco3 5759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) ) `  1
)  =  ( F `
 ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) ) )
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ) `
 1 )  =  ( F `  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
41 fvco3 5759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  1 )  =  ( G `  (
f `  1 )
) )
4226, 38, 41sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( G  o.  f ) ` 
1 )  =  ( G `  ( f `
 1 ) ) )
43 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( f ` 
1 )  =  y )
4443fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( G `  ( f `  1
) )  =  ( G `  y ) )
4542, 44eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( G  o.  f ) ` 
1 )  =  ( G `  y ) )
4634, 40, 453eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( F `  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) )  =  ( G `  y
) )
47 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y )  -> 
( F `  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  =  ( F `  ( H `
 y ) ) )
4847eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y )  -> 
( ( F `  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) )  =  ( G `  y
)  <->  ( F `  ( H `  y ) )  =  ( G `
 y ) ) )
4946, 48syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y )  -> 
( F `  ( H `  y )
)  =  ( G `
 y ) ) )
5049expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  y )  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y ) )  ->  ( F `  ( H `  y ) )  =  ( G `
 y ) ) )
5114, 50syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  y  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  y ) )  ->  ( F `  ( H `  y
) )  =  ( G `  y ) ) )
5251rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  y  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  y ) )  ->  ( F `  ( H `  y
) )  =  ( G `  y ) ) )
5313, 52mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( H `  y ) )  =  ( G `  y
) )
5453mpteq2dva 4255 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( F `  ( H `  y )
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( G `  y ) ) )
552, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem3 24961 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
5655ffvelrnda 5829 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( H `  y )  e.  B )
5755feqmptd 5738 . . 3  |-  ( ph  ->  H  =  ( y  e.  Y  |->  ( H `
 y ) ) )
58 cvmcn 24902 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
59 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
602, 59cnf 17264 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
614, 58, 603syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : B --> U. J
)
6261feqmptd 5738 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( w  e.  B  |->  ( F `
 w ) ) )
63 fveq2 5687 . . 3  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( H `  y ) ) )
6456, 57, 62, 63fmptco 5860 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( F `
 ( H `  y ) ) ) )
653, 59cnf 17264 . . . 4  |-  ( G  e.  ( K  Cn  J )  ->  G : Y --> U. J )
668, 65syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. J
)
6766feqmptd 5738 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  Y  |->  ( G `
 y ) ) )
6854, 64, 673eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   0cc0 8946   1c1 8947   [,]cicc 10875    Cn ccn 17242  𝑛Locally cnlly 17481   IIcii 18858  PConcpcon 24859  SConcscon 24860   CovMap ccvm 24895
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem6  24964  cvmlift3lem7  24965  cvmlift3lem9  24967
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-con 17428  df-lly 17482  df-nlly 17483  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pco 18983  df-pcon 24861  df-scon 24862  df-cvm 24896
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