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Theorem cvmlift3lem5 27164
Description: Lemma for cvmlift2 27157. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  G )
Distinct variable groups:    z, f,
g, x    f, J    x, g, J    f, F, g    x, z, F    f, H, g, x, z    B, f, g, x, z    f, G, g, x, z    C, f, g, x, z    ph, f, x    f, K, g, x, z    P, f, g, x, z    f, O, g, x, z    f, Y, g, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem5
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( H `
 y )  =  ( H `  y
)
2 cvmlift3.b . . . . . 6  |-  B  = 
U. C
3 cvmlift3.y . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
4 cvmlift3.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmlift3.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
6 cvmlift3.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
7 cvmlift3.o . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
8 cvmlift3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
9 cvmlift3.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
10 cvmlift3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
11 cvmlift3.h . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem4 27163 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
( H `  y
)  =  ( H `
 y )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  y  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y ) ) ) )
131, 12mpbii 211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  y  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y ) ) )
14 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( ( f `  0
)  =  O  /\  ( f `  1
)  =  y  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  y ) )  <->  ( ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y )  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  y ) ) )
15 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
164ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
17 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  K ) )
188ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
19 cnco 18845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  f
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( G  o.  f )  e.  ( II  Cn  J ) )
219ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  P  e.  B
)
22 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( f ` 
0 )  =  O )
2322fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( G `  ( f `  0
) )  =  ( G `  O ) )
24 iiuni 20432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 3cnf 18825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( II  Cn  K )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
27 0elunit 11395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( G  o.  f ) ` 
0 )  =  ( G `  ( f `
 0 ) ) )
3010ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
3123, 29, 303eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( F `  P )  =  ( ( G  o.  f
) `  0 )
)
322, 15, 16, 20, 21, 31cvmliftiota 27142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  0 )  =  P ) )
3332simp2d 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) )  =  ( G  o.  f
) )
3433fveq1d 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ) `
 1 )  =  ( ( G  o.  f ) `  1
) )
3532simp1d 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
) )
3624, 2cnf 18825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
38 1elunit 11396 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
39 fvco3 5763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) ) `  1
)  =  ( F `
 ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) ) )
4037, 38, 39sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ) `
 1 )  =  ( F `  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
41 fvco3 5763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  1 )  =  ( G `  (
f `  1 )
) )
4226, 38, 41sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( G  o.  f ) ` 
1 )  =  ( G `  ( f `
 1 ) ) )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( f ` 
1 )  =  y )
4443fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( G `  ( f `  1
) )  =  ( G `  y ) )
4542, 44eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( G  o.  f ) ` 
1 )  =  ( G `  y ) )
4634, 40, 453eqtr3d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( F `  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) )  =  ( G `  y
) )
47 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y )  -> 
( F `  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  =  ( F `  ( H `
 y ) ) )
4847eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y )  -> 
( ( F `  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) )  =  ( G `  y
)  <->  ( F `  ( H `  y ) )  =  ( G `
 y ) ) )
4946, 48syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  (
II  Cn  K )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  y ) )  ->  ( ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y )  -> 
( F `  ( H `  y )
)  =  ( G `
 y ) ) )
5049expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  y )  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 y ) )  ->  ( F `  ( H `  y ) )  =  ( G `
 y ) ) )
5114, 50syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  y  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  y ) )  ->  ( F `  ( H `  y
) )  =  ( G `  y ) ) )
5251rexlimdva 2836 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  y  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  y ) )  ->  ( F `  ( H `  y
) )  =  ( G `  y ) ) )
5313, 52mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( H `  y ) )  =  ( G `  y
) )
5453mpteq2dva 4373 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( F `  ( H `  y )
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( G `  y ) ) )
552, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem3 27162 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
5655ffvelrnda 5838 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( H `  y )  e.  B )
5755feqmptd 5739 . . 3  |-  ( ph  ->  H  =  ( y  e.  Y  |->  ( H `
 y ) ) )
58 cvmcn 27103 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
59 eqid 2438 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
602, 59cnf 18825 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
614, 58, 603syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : B --> U. J
)
6261feqmptd 5739 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( w  e.  B  |->  ( F `
 w ) ) )
63 fveq2 5686 . . 3  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( H `  y ) ) )
6456, 57, 62, 63fmptco 5871 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( F `
 ( H `  y ) ) ) )
653, 59cnf 18825 . . . 4  |-  ( G  e.  ( K  Cn  J )  ->  G : Y --> U. J )
668, 65syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. J
)
6766feqmptd 5739 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  Y  |->  ( G `
 y ) ) )
6854, 64, 673eqtr4d 2480 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711   U.cuni 4086    e. cmpt 4345    o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413   iota_crio 6046  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   [,]cicc 11295    Cn ccn 18803  𝑛Locally cnlly 19044   IIcii 20426  PConcpcon 27060  SConcscon 27061   CovMap ccvm 27096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-cmp 18965  df-con 18991  df-lly 19045  df-nlly 19046  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-ii 20428  df-htpy 20517  df-phtpy 20518  df-phtpc 20539  df-pco 20552  df-pcon 27062  df-scon 27063  df-cvm 27097
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