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Theorem cvmlift3lem4 30045
Description: Lemma for cvmlift2 30039. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
Distinct variable groups:    z, f, A    f, g, z, x   
f, J    x, g, J    f, F, g    x, z, F    f, H, g, x, z    B, f, g, x, z    f, X, g, x, z    f, G, g, x, z    C, f, g, x, z    ph, f, x    f, K, g, x, z    P, f, g, x, z    f, O, g, x, z    f, Y, g, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    A( x, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem4
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . . . 5  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift3.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
3 cvmlift3.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
5 cvmlift3.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
6 cvmlift3.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
7 cvmlift3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
8 cvmlift3.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
9 cvmlift3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
10 cvmlift3.h . . . . 5  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 30044 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
1211ffvelrnda 6022 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X )  e.  B )
13 eleq1 2517 . . 3  |-  ( ( H `  X )  =  A  ->  (
( H `  X
)  e.  B  <->  A  e.  B ) )
1412, 13syl5ibcom 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  ->  A  e.  B )
)
15 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
163ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
17 simprl 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  K
) )
187ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
19 cnco 20282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  f
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
2017, 18, 19syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( G  o.  f )  e.  ( II  Cn  J ) )
218ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  P  e.  B )
22 simprr 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( f `  0 )  =  O )
2322fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( G `  ( f `  0
) )  =  ( G `  O ) )
24 iiuni 21913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 2cnf 20262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( II  Cn  K )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> Y )
27 0elunit 11750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
309ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
3123, 29, 303eqtr4rd 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( F `  P )  =  ( ( G  o.  f
) `  0 )
)
321, 15, 16, 20, 21, 31cvmliftiota 30024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  e.  ( II 
Cn  C )  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) )  =  ( G  o.  f )  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
0 )  =  P ) )
3332simp1d 1020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
) )
3424, 1cnf 20262 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
36 1elunit 11751 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
37 ffvelrn 6020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  e.  B )
3835, 36, 37sylancl 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  e.  B )
39 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B  <->  A  e.  B ) )
4038, 39syl5ibcom 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  ->  A  e.  B )
)
4140expr 620 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( f `  0
)  =  O  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A  ->  A  e.  B
) ) )
4241a1dd 47 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( f `  0
)  =  O  -> 
( ( f ` 
1 )  =  X  ->  ( ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  ->  A  e.  B )
) ) )
43423impd 1223 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  ->  A  e.  B ) )
4443rexlimdva 2879 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  ->  A  e.  B ) )
45 eqeq2 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( f `  1
)  =  x  <->  ( f `  1 )  =  X ) )
46453anbi2d 1344 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
4746rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
4847riotabidv 6254 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  x  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
49 riotaex 6256 . . . . . . . 8  |-  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  e.  _V
5048, 10, 49fvmpt 5948 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Y  ->  ( H `  X )  =  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
5150adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X )  =  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
5251eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  A ) )
5352adantl 468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( ( H `  X )  =  A  <-> 
( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  =  A ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cvmlift3lem2 30043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
55 eqeq2 2462 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) )
56553anbi3d 1345 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
5756rexbidv 2901 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) ) )
5857riota2 6274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  E! z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  <->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  A ) )
5954, 58sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A )  <-> 
( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  =  A ) )
6053, 59bitr4d 260 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( ( H `  X )  =  A  <->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) ) )
6160expcom 437 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) ) )
6214, 44, 61pm5.21ndd 356 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738   E!wreu 2739   U.cuni 4198    |-> cmpt 4461    o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582   iota_crio 6251  (class class class)co 6290   0cc0 9539   1c1 9540   [,]cicc 11638    Cn ccn 20240  𝑛Locally cnlly 20480   IIcii 21907  PConcpcon 29942  SConcscon 29943   CovMap ccvm 29978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-ec 7365  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-con 20427  df-lly 20481  df-nlly 20482  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-ii 21909  df-htpy 22001  df-phtpy 22002  df-phtpc 22023  df-pco 22036  df-pcon 29944  df-scon 29945  df-cvm 29979
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