Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem4 Structured version   Unicode version

Theorem cvmlift3lem4 27211
Description: Lemma for cvmlift2 27205. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
Distinct variable groups:    z, f, A    f, g, z, x   
f, J    x, g, J    f, F, g    x, z, F    f, H, g, x, z    B, f, g, x, z    f, X, g, x, z    f, G, g, x, z    C, f, g, x, z    ph, f, x    f, K, g, x, z    P, f, g, x, z    f, O, g, x, z    f, Y, g, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    A( x, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem4
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . . . 5  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift3.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
3 cvmlift3.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
5 cvmlift3.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
6 cvmlift3.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
7 cvmlift3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
8 cvmlift3.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
9 cvmlift3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
10 cvmlift3.h . . . . 5  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 27210 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
1211ffvelrnda 5843 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X )  e.  B )
13 eleq1 2503 . . 3  |-  ( ( H `  X )  =  A  ->  (
( H `  X
)  e.  B  <->  A  e.  B ) )
1412, 13syl5ibcom 220 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  ->  A  e.  B )
)
15 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
163ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
17 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  K
) )
187ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
19 cnco 18870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  f
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( G  o.  f )  e.  ( II  Cn  J ) )
218ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  P  e.  B )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( f `  0 )  =  O )
2322fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( G `  ( f `  0
) )  =  ( G `  O ) )
24 iiuni 20457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 2cnf 18850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( II  Cn  K )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> Y )
27 0elunit 11403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
309ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
3123, 29, 303eqtr4rd 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( F `  P )  =  ( ( G  o.  f
) `  0 )
)
321, 15, 16, 20, 21, 31cvmliftiota 27190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  e.  ( II 
Cn  C )  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) )  =  ( G  o.  f )  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
0 )  =  P ) )
3332simp1d 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
) )
3424, 1cnf 18850 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
36 1elunit 11404 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
37 ffvelrn 5841 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  e.  B )
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  e.  B )
39 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B  <->  A  e.  B ) )
4038, 39syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  ->  A  e.  B )
)
4140expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( f `  0
)  =  O  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A  ->  A  e.  B
) ) )
4241a1dd 46 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( f `  0
)  =  O  -> 
( ( f ` 
1 )  =  X  ->  ( ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  ->  A  e.  B )
) ) )
43423impd 1201 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  ->  A  e.  B ) )
4443rexlimdva 2841 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  ->  A  e.  B ) )
45 eqeq2 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( f `  1
)  =  x  <->  ( f `  1 )  =  X ) )
46453anbi2d 1294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
4746rexbidv 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
4847riotabidv 6054 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  x  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
49 riotaex 6056 . . . . . . . 8  |-  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  e.  _V
5048, 10, 49fvmpt 5774 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Y  ->  ( H `  X )  =  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
5150adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X )  =  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
5251eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  A ) )
5352adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( ( H `  X )  =  A  <-> 
( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  =  A ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cvmlift3lem2 27209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
55 eqeq2 2452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) )
56553anbi3d 1295 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
5756rexbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) ) )
5857riota2 6075 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  E! z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  <->  ( iota_ z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  A ) )
5954, 58sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A )  <-> 
( iota_ z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  =  A ) )
6053, 59bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( ( H `  X )  =  A  <->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) ) )
6160expcom 435 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) ) )
6214, 44, 61pm5.21ndd 354 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   E!wreu 2717   U.cuni 4091    e. cmpt 4350    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418   iota_crio 6051  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283   [,]cicc 11303    Cn ccn 18828  𝑛Locally cnlly 19069   IIcii 20451  PConcpcon 27108  SConcscon 27109   CovMap ccvm 27144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ec 7103  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-con 19016  df-lly 19070  df-nlly 19071  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-ii 20453  df-htpy 20542  df-phtpy 20543  df-phtpc 20564  df-pco 20577  df-pcon 27110  df-scon 27111  df-cvm 27145
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem5  27212  cvmlift3lem6  27213  cvmlift3lem7  27214  cvmlift3lem9  27216
  Copyright terms: Public domain W3C validator