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Theorem cvmlift3lem2 28433
Description: Lemma for cvmlift2 28429. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Distinct variable groups:    z, f,
g    f, J, g    f, F, g, z    B, f, g, z    f, X, g, z    f, G, g, z    C, f, g, z    ph, f    f, K, g, z    P, f, g, z    f, O, g, z    f, Y, g, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem2
Dummy variables  w  a  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. SCon )
3 sconpcon 28340 . . . 4  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e. PCon )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. PCon )
5 cvmlift3.o . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  O  e.  Y )
7 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  X  e.  Y )
8 cvmlift3.y . . . 4  |-  Y  = 
U. K
98pconcn 28337 . . 3  |-  ( ( K  e. PCon  /\  O  e.  Y  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
104, 6, 7, 9syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
11 cvmlift3.b . . . . . . . . 9  |-  B  = 
U. C
12 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
13 cvmlift3.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
15 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a  e.  ( II 
Cn  K ) )
16 cvmlift3.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
18 cnco 19561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
1915, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
20 cvmlift3.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  P  e.  B )
22 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  0
)  =  O )
2322fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G `  (
a `  0 )
)  =  ( G `
 O ) )
24 iiuni 21148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 8cnf 19541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( II  Cn  K )  ->  a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2615, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
27 0elunit 11638 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  a ) `  0 )  =  ( G `  (
a `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( G  o.  a ) `  0
)  =  ( G `
 ( a ` 
0 ) ) )
30 cvmlift3.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3223, 29, 313eqtr4rd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( ( G  o.  a ) `
 0 ) )
3311, 12, 14, 19, 21, 32cvmliftiota 28414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  0 )  =  P ) )
3433simp1d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C ) )
3524, 11cnf 19541 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
37 1elunit 11639 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
38 ffvelrn 6019 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  e.  B )
3936, 37, 38sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B
)
40 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  1
)  =  X )
41 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
42 fveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  0 )  =  ( a ` 
0 ) )
4342eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( a `  0 )  =  O ) )
44 fveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  1 )  =  ( a ` 
1 ) )
4544eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( a `  1 )  =  X ) )
46 coeq2 5161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  a ) )
4746eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a ) ) )
4847anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
4948riotabidv 6247 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  a  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
5049fveq1d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
5150eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5243, 45, 513anbi123d 1299 . . . . . . 7  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  <->  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
5352rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5415, 22, 40, 41, 53syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5513ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
561ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. SCon )
57 cvmlift3.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
5857ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
595ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  O  e.  Y )
6016ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
6120ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  P  e.  B )
6230ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
6315ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  a  e.  ( II  Cn  K
) )
6422ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  0 )  =  O )
65 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  K
) )
66 simprr1 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  0 )  =  O )
6740ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  X )
68 simprr2 1045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  1 )  =  X )
6967, 68eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
7011, 8, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 69cvmlift3lem1 28432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
71 simprr3 1046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7270, 71eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7372rexlimdvaa 2956 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  ->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
7473ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
75 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
76753anbi3d 1305 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
7776rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
78 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
z  =  w  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
7978imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w )  <->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8079ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  z  =  w )  <->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8177, 80anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) )  <->  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) ) )
8281rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B  /\  ( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
8339, 54, 74, 82syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
84 fveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  0 )  =  ( h ` 
0 ) )
8584eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( h `  0 )  =  O ) )
86 fveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
8786eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( h `  1 )  =  X ) )
88 coeq2 5161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  h ) )
8988eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h ) ) )
9089anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
9190riotabidv 6247 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
9291fveq1d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
9392eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
9485, 87, 933anbi123d 1299 . . . . . . 7  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
9594cbvrexv 3089 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  K ) ( ( f `  0
)  =  O  /\  ( f `  1
)  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
96 eqeq2 2482 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
97963anbi3d 1305 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )
9897rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
9995, 98syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
10099reu8 3299 . . . 4  |-  ( E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  <->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
10183, 100sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
102101rexlimdvaa 2956 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  (
II  Cn  K )
( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
10310, 102mpd 15 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   U.cuni 4245    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   0cc0 9492   1c1 9493   [,]cicc 11532    Cn ccn 19519  𝑛Locally cnlly 19760   IIcii 21142  PConcpcon 28332  SConcscon 28333   CovMap ccvm 28368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ec 7313  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-cmp 19681  df-con 19707  df-lly 19761  df-nlly 19762  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-ii 21144  df-htpy 21233  df-phtpy 21234  df-phtpc 21255  df-pco 21268  df-pcon 28334  df-scon 28335  df-cvm 28369
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