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Theorem cvmlift3lem2 27209
Description: Lemma for cvmlift2 27205. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Distinct variable groups:    z, f,
g    f, J, g    f, F, g, z    B, f, g, z    f, X, g, z    f, G, g, z    C, f, g, z    ph, f    f, K, g, z    P, f, g, z    f, O, g, z    f, Y, g, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem2
Dummy variables  w  a  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. SCon )
3 sconpcon 27116 . . . 4  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e. PCon )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. PCon )
5 cvmlift3.o . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  O  e.  Y )
7 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  X  e.  Y )
8 cvmlift3.y . . . 4  |-  Y  = 
U. K
98pconcn 27113 . . 3  |-  ( ( K  e. PCon  /\  O  e.  Y  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
104, 6, 7, 9syl3anc 1218 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
11 cvmlift3.b . . . . . . . . 9  |-  B  = 
U. C
12 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
13 cvmlift3.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
15 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a  e.  ( II 
Cn  K ) )
16 cvmlift3.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
18 cnco 18870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
1915, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
20 cvmlift3.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  P  e.  B )
22 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  0
)  =  O )
2322fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G `  (
a `  0 )
)  =  ( G `
 O ) )
24 iiuni 20457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 8cnf 18850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( II  Cn  K )  ->  a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2615, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
27 0elunit 11403 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  a ) `  0 )  =  ( G `  (
a `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( G  o.  a ) `  0
)  =  ( G `
 ( a ` 
0 ) ) )
30 cvmlift3.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3223, 29, 313eqtr4rd 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( ( G  o.  a ) `
 0 ) )
3311, 12, 14, 19, 21, 32cvmliftiota 27190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  0 )  =  P ) )
3433simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C ) )
3524, 11cnf 18850 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
37 1elunit 11404 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
38 ffvelrn 5841 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  e.  B )
3936, 37, 38sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B
)
40 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  1
)  =  X )
41 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
42 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  0 )  =  ( a ` 
0 ) )
4342eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( a `  0 )  =  O ) )
44 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  1 )  =  ( a ` 
1 ) )
4544eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( a `  1 )  =  X ) )
46 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  a ) )
4746eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a ) ) )
4847anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
4948riotabidv 6054 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  a  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
5049fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
5150eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5243, 45, 513anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  <->  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
5352rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5415, 22, 40, 41, 53syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5513ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
561ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. SCon )
57 cvmlift3.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
5857ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
595ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  O  e.  Y )
6016ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
6120ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  P  e.  B )
6230ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
6315ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  a  e.  ( II  Cn  K
) )
6422ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  0 )  =  O )
65 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  K
) )
66 simprr1 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  0 )  =  O )
6740ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  X )
68 simprr2 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  1 )  =  X )
6967, 68eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
7011, 8, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 69cvmlift3lem1 27208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
71 simprr3 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7270, 71eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7372rexlimdvaa 2842 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  ->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
7473ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
75 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
76753anbi3d 1295 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
7776rexbidv 2736 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
78 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
z  =  w  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
7978imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w )  <->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8079ralbidv 2735 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  z  =  w )  <->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8177, 80anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) )  <->  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) ) )
8281rspcev 3073 . . . . 5  |-  ( ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B  /\  ( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
8339, 54, 74, 82syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
84 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  0 )  =  ( h ` 
0 ) )
8584eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( h `  0 )  =  O ) )
86 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
8786eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( h `  1 )  =  X ) )
88 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  h ) )
8988eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h ) ) )
9089anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
9190riotabidv 6054 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
9291fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
9392eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
9485, 87, 933anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
9594cbvrexv 2948 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  K ) ( ( f `  0
)  =  O  /\  ( f `  1
)  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
96 eqeq2 2452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
97963anbi3d 1295 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )
9897rexbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
9995, 98syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
10099reu8 3155 . . . 4  |-  ( E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  <->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
10183, 100sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
102101rexlimdvaa 2842 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  (
II  Cn  K )
( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
10310, 102mpd 15 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   E!wreu 2717   U.cuni 4091    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418   iota_crio 6051  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283   [,]cicc 11303    Cn ccn 18828  𝑛Locally cnlly 19069   IIcii 20451  PConcpcon 27108  SConcscon 27109   CovMap ccvm 27144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ec 7103  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-con 19016  df-lly 19070  df-nlly 19071  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-ii 20453  df-htpy 20542  df-phtpy 20543  df-phtpc 20564  df-pco 20577  df-pcon 27110  df-scon 27111  df-cvm 27145
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem3  27210  cvmlift3lem4  27211
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