Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem2 Structured version   Unicode version

Theorem cvmlift3lem2 30045
Description: Lemma for cvmlift2 30041. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Distinct variable groups:    z, f,
g    f, J, g    f, F, g, z    B, f, g, z    f, X, g, z    f, G, g, z    C, f, g, z    ph, f    f, K, g, z    P, f, g, z    f, O, g, z    f, Y, g, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem2
Dummy variables  w  a  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
21adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. SCon )
3 sconpcon 29952 . . . 4  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e. PCon )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. PCon )
5 cvmlift3.o . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
65adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  O  e.  Y )
7 simpr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  X  e.  Y )
8 cvmlift3.y . . . 4  |-  Y  = 
U. K
98pconcn 29949 . . 3  |-  ( ( K  e. PCon  /\  O  e.  Y  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
104, 6, 7, 9syl3anc 1265 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
11 cvmlift3.b . . . . . . . . 9  |-  B  = 
U. C
12 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
13 cvmlift3.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
1413ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
15 simprl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a  e.  ( II 
Cn  K ) )
16 cvmlift3.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
1716ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
18 cnco 20274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
1915, 17, 18syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
20 cvmlift3.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
2120ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  P  e.  B )
22 simprrl 773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  0
)  =  O )
2322fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G `  (
a `  0 )
)  =  ( G `
 O ) )
24 iiuni 21905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 8cnf 20254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( II  Cn  K )  ->  a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2615, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
27 0elunit 11752 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  a ) `  0 )  =  ( G `  (
a `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( G  o.  a ) `  0
)  =  ( G `
 ( a ` 
0 ) ) )
30 cvmlift3.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3130ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3223, 29, 313eqtr4rd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( ( G  o.  a ) `
 0 ) )
3311, 12, 14, 19, 21, 32cvmliftiota 30026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  0 )  =  P ) )
3433simp1d 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C ) )
3524, 11cnf 20254 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3634, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
37 1elunit 11753 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
38 ffvelrn 6033 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  e.  B )
3936, 37, 38sylancl 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B
)
40 simprrr 774 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  1
)  =  X )
41 eqidd 2424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
42 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  0 )  =  ( a ` 
0 ) )
4342eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( a `  0 )  =  O ) )
44 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  1 )  =  ( a ` 
1 ) )
4544eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( a `  1 )  =  X ) )
46 coeq2 5010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  a ) )
4746eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a ) ) )
4847anbi1d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
4948riotabidv 6267 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  a  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
5049fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
5150eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5243, 45, 513anbi123d 1336 . . . . . . 7  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  <->  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
5352rspcev 3183 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5415, 22, 40, 41, 53syl13anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5513ad4antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
561ad4antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. SCon )
57 cvmlift3.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
5857ad4antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
595ad4antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  O  e.  Y )
6016ad4antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
6120ad4antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  P  e.  B )
6230ad4antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
6315ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  a  e.  ( II  Cn  K
) )
6422ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  0 )  =  O )
65 simprl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  K
) )
66 simprr1 1054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  0 )  =  O )
6740ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  X )
68 simprr2 1055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  1 )  =  X )
6967, 68eqtr4d 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
7011, 8, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 69cvmlift3lem1 30044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
71 simprr3 1056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7270, 71eqtrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7372rexlimdvaa 2919 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  ->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
7473ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
75 eqeq2 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
76753anbi3d 1342 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
7776rexbidv 2940 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
78 eqeq1 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
z  =  w  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
7978imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w )  <->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8079ralbidv 2865 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  z  =  w )  <->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8177, 80anbi12d 716 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) )  <->  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) ) )
8281rspcev 3183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B  /\  ( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
8339, 54, 74, 82syl12anc 1263 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
84 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  0 )  =  ( h ` 
0 ) )
8584eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( h `  0 )  =  O ) )
86 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
8786eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( h `  1 )  =  X ) )
88 coeq2 5010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  h ) )
8988eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h ) ) )
9089anbi1d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
9190riotabidv 6267 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
9291fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
9392eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
9485, 87, 933anbi123d 1336 . . . . . . 7  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
9594cbvrexv 3057 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  K ) ( ( f `  0
)  =  O  /\  ( f `  1
)  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
96 eqeq2 2438 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
97963anbi3d 1342 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )
9897rexbidv 2940 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
9995, 98syl5bb 261 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
10099reu8 3268 . . . 4  |-  ( E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  <->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
10183, 100sylibr 216 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
102101rexlimdvaa 2919 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  (
II  Cn  K )
( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
10310, 102mpd 15 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   E!wreu 2778   U.cuni 4217    o. ccom 4855   -->wf 5595   ` cfv 5599   iota_crio 6264  (class class class)co 6303   0cc0 9541   1c1 9542   [,]cicc 11640    Cn ccn 20232  𝑛Locally cnlly 20472   IIcii 21899  PConcpcon 29944  SConcscon 29945   CovMap ccvm 29980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-ec 7371  df-map 7480  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-cmp 20394  df-con 20419  df-lly 20473  df-nlly 20474  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-ii 21901  df-htpy 21993  df-phtpy 21994  df-phtpc 22015  df-pco 22028  df-pcon 29946  df-scon 29947  df-cvm 29981
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem3  30046  cvmlift3lem4  30047
  Copyright terms: Public domain W3C validator