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Theorem cvmlift3lem2 28962
Description: Lemma for cvmlift2 28958. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Distinct variable groups:    z, f,
g    f, J, g    f, F, g, z    B, f, g, z    f, X, g, z    f, G, g, z    C, f, g, z    ph, f    f, K, g, z    P, f, g, z    f, O, g, z    f, Y, g, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem2
Dummy variables  w  a  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. SCon )
3 sconpcon 28869 . . . 4  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e. PCon )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. PCon )
5 cvmlift3.o . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  O  e.  Y )
7 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  X  e.  Y )
8 cvmlift3.y . . . 4  |-  Y  = 
U. K
98pconcn 28866 . . 3  |-  ( ( K  e. PCon  /\  O  e.  Y  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
104, 6, 7, 9syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
11 cvmlift3.b . . . . . . . . 9  |-  B  = 
U. C
12 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
13 cvmlift3.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
15 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a  e.  ( II 
Cn  K ) )
16 cvmlift3.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
18 cnco 19894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
1915, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
20 cvmlift3.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  P  e.  B )
22 simprrl 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  0
)  =  O )
2322fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G `  (
a `  0 )
)  =  ( G `
 O ) )
24 iiuni 21511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 8cnf 19874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( II  Cn  K )  ->  a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2615, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
27 0elunit 11663 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  a ) `  0 )  =  ( G `  (
a `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( G  o.  a ) `  0
)  =  ( G `
 ( a ` 
0 ) ) )
30 cvmlift3.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3223, 29, 313eqtr4rd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( ( G  o.  a ) `
 0 ) )
3311, 12, 14, 19, 21, 32cvmliftiota 28943 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  0 )  =  P ) )
3433simp1d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C ) )
3524, 11cnf 19874 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
37 1elunit 11664 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
38 ffvelrn 6030 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  e.  B )
3936, 37, 38sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B
)
40 simprrr 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  1
)  =  X )
41 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
42 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  0 )  =  ( a ` 
0 ) )
4342eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( a `  0 )  =  O ) )
44 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  1 )  =  ( a ` 
1 ) )
4544eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( a `  1 )  =  X ) )
46 coeq2 5171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  a ) )
4746eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a ) ) )
4847anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
4948riotabidv 6260 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  a  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
5049fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
5150eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5243, 45, 513anbi123d 1299 . . . . . . 7  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  <->  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
5352rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5415, 22, 40, 41, 53syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5513ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
561ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. SCon )
57 cvmlift3.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
5857ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
595ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  O  e.  Y )
6016ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
6120ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  P  e.  B )
6230ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
6315ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  a  e.  ( II  Cn  K
) )
6422ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  0 )  =  O )
65 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  K
) )
66 simprr1 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  0 )  =  O )
6740ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  X )
68 simprr2 1045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  1 )  =  X )
6967, 68eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
7011, 8, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 69cvmlift3lem1 28961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
71 simprr3 1046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7270, 71eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7372rexlimdvaa 2950 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  ->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
7473ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
75 eqeq2 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
76753anbi3d 1305 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
7776rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
78 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
z  =  w  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
7978imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w )  <->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8079ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  z  =  w )  <->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8177, 80anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) )  <->  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) ) )
8281rspcev 3210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B  /\  ( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
8339, 54, 74, 82syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
84 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  0 )  =  ( h ` 
0 ) )
8584eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( h `  0 )  =  O ) )
86 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
8786eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( h `  1 )  =  X ) )
88 coeq2 5171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  h ) )
8988eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h ) ) )
9089anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
9190riotabidv 6260 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
9291fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
9392eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
9485, 87, 933anbi123d 1299 . . . . . . 7  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
9594cbvrexv 3085 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  K ) ( ( f `  0
)  =  O  /\  ( f `  1
)  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
96 eqeq2 2472 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
97963anbi3d 1305 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )
9897rexbidv 2968 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
9995, 98syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
10099reu8 3295 . . . 4  |-  ( E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  <->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
10183, 100sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
102101rexlimdvaa 2950 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  (
II  Cn  K )
( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
10310, 102mpd 15 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   U.cuni 4251    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510   [,]cicc 11557    Cn ccn 19852  𝑛Locally cnlly 20092   IIcii 21505  PConcpcon 28861  SConcscon 28862   CovMap ccvm 28897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-cmp 20014  df-con 20039  df-lly 20093  df-nlly 20094  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-ii 21507  df-htpy 21596  df-phtpy 21597  df-phtpc 21618  df-pco 21631  df-pcon 28863  df-scon 28864  df-cvm 28898
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