Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem1 Structured version   Unicode version

Theorem cvmlift3lem1 28392
Description: Lemma for cvmlift3 28401. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3lem1.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( II 
Cn  K ) )
cvmlift3lem1.2  |-  ( ph  ->  ( M `  0
)  =  O )
cvmlift3lem1.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  K ) )
cvmlift3lem1.4  |-  ( ph  ->  ( N `  0
)  =  O )
cvmlift3lem1.5  |-  ( ph  ->  ( M `  1
)  =  ( N `
 1 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem1  |-  ( ph  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
Distinct variable groups:    g, J    g, F    g, M    g, N    B, g    g, G    C, g    g, K    P, g    g, O    g, Y
Allowed substitution hint:    ph( g)

Proof of Theorem cvmlift3lem1
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . . 4  |-  B  = 
U. C
2 eqid 2462 . . . 4  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
3 eqid 2462 . . . 4  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
4 cvmlift3.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmlift3.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
6 cvmlift3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
7 cvmlift3lem1.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  0
)  =  O )
87fveq2d 5863 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  ( M `  0 )
)  =  ( G `
 O ) )
96, 8eqtr4d 2506 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 ( M ` 
0 ) ) )
10 cvmlift3lem1.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( II 
Cn  K ) )
11 iiuni 21115 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
12 cvmlift3.y . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. K
1311, 12cnf 19508 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( II  Cn  K )  ->  M : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
1410, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
15 0elunit 11629 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
16 fvco3 5937 . . . . . 6  |-  ( ( M : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  M ) `  0 )  =  ( G `  ( M `  0 )
) )
1714, 15, 16sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  M ) `  0
)  =  ( G `
 ( M ` 
0 ) ) )
189, 17eqtr4d 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( ( G  o.  M ) `
 0 ) )
19 cvmlift3.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
20 cvmlift3lem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  K ) )
21 cvmlift3lem1.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  0
)  =  O )
227, 21eqtr4d 2506 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  0
)  =  ( N `
 0 ) )
23 cvmlift3lem1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  1
)  =  ( N `
 1 ) )
2419, 10, 20, 22, 23sconpht2 28311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M (  ~=ph  `  K
) N )
25 cvmlift3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
2624, 25phtpcco2 21229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  M
) (  ~=ph  `  J
) ( G  o.  N ) )
271, 2, 3, 4, 5, 18, 26cvmliftpht 28391 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) (  ~=ph  `  C ) ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
28 phtpc01 21226 . . 3  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) (  ~=ph  `  C ) ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
0 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  0
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  M )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) ) )
2927, 28syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
0 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  0
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  M )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) ) )
3029simprd 463 1  |-  ( ph  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   U.cuni 4240   class class class wbr 4442    o. ccom 4998   -->wf 5577   ` cfv 5581   iota_crio 6237  (class class class)co 6277   0cc0 9483   1c1 9484   [,]cicc 11523    Cn ccn 19486  𝑛Locally cnlly 19727   IIcii 21109    ~=ph cphtpc 21199  PConcpcon 28292  SConcscon 28293   CovMap ccvm 28328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-cmp 19648  df-con 19674  df-lly 19728  df-nlly 19729  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-ii 21111  df-htpy 21200  df-phtpy 21201  df-phtpc 21222  df-pco 21235  df-pcon 28294  df-scon 28295  df-cvm 28329
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem2  28393
  Copyright terms: Public domain W3C validator