Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem1 Structured version   Unicode version

Theorem cvmlift3lem1 27138
Description: Lemma for cvmlift3 27147. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3lem1.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( II 
Cn  K ) )
cvmlift3lem1.2  |-  ( ph  ->  ( M `  0
)  =  O )
cvmlift3lem1.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  K ) )
cvmlift3lem1.4  |-  ( ph  ->  ( N `  0
)  =  O )
cvmlift3lem1.5  |-  ( ph  ->  ( M `  1
)  =  ( N `
 1 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem1  |-  ( ph  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
Distinct variable groups:    g, J    g, F    g, M    g, N    B, g    g, G    C, g    g, K    P, g    g, O    g, Y
Allowed substitution hint:    ph( g)

Proof of Theorem cvmlift3lem1
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . . 4  |-  B  = 
U. C
2 eqid 2441 . . . 4  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
4 cvmlift3.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmlift3.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
6 cvmlift3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
7 cvmlift3lem1.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  0
)  =  O )
87fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  ( M `  0 )
)  =  ( G `
 O ) )
96, 8eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 ( M ` 
0 ) ) )
10 cvmlift3lem1.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( II 
Cn  K ) )
11 iiuni 20416 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
12 cvmlift3.y . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. K
1311, 12cnf 18809 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( II  Cn  K )  ->  M : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
1410, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
15 0elunit 11399 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
16 fvco3 5765 . . . . . 6  |-  ( ( M : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  M ) `  0 )  =  ( G `  ( M `  0 )
) )
1714, 15, 16sylancl 657 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  M ) `  0
)  =  ( G `
 ( M ` 
0 ) ) )
189, 17eqtr4d 2476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( ( G  o.  M ) `
 0 ) )
19 cvmlift3.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
20 cvmlift3lem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  K ) )
21 cvmlift3lem1.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  0
)  =  O )
227, 21eqtr4d 2476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  0
)  =  ( N `
 0 ) )
23 cvmlift3lem1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  1
)  =  ( N `
 1 ) )
2419, 10, 20, 22, 23sconpht2 27057 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M (  ~=ph  `  K
) N )
25 cvmlift3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
2624, 25phtpcco2 20530 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  M
) (  ~=ph  `  J
) ( G  o.  N ) )
271, 2, 3, 4, 5, 18, 26cvmliftpht 27137 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) (  ~=ph  `  C ) ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
28 phtpc01 20527 . . 3  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) (  ~=ph  `  C ) ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
0 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  0
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  M )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) ) )
2927, 28syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
0 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  0
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  M )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 ) ) )
3029simprd 460 1  |-  ( ph  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  M
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    o. ccom 4840   -->wf 5411   ` cfv 5415   iota_crio 6048  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   [,]cicc 11299    Cn ccn 18787  𝑛Locally cnlly 19028   IIcii 20410    ~=ph cphtpc 20500  PConcpcon 27038  SConcscon 27039   CovMap ccvm 27074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-cmp 18949  df-con 18975  df-lly 19029  df-nlly 19030  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-ii 20412  df-htpy 20501  df-phtpy 20502  df-phtpc 20523  df-pco 20536  df-pcon 27040  df-scon 27041  df-cvm 27075
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem2  27139
  Copyright terms: Public domain W3C validator