Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem9 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cvmlift2lem9 30106
 Description: Lemma for cvmlift2 30111. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b
cvmlift2.f CovMap
cvmlift2.g
cvmlift2.p
cvmlift2.i
cvmlift2.h
cvmlift2.k
cvmlift2lem10.s t t
cvmlift2lem9.1
cvmlift2lem9.2
cvmlift2lem9.3
cvmlift2lem9.4
cvmlift2lem9.5 t
cvmlift2lem9.6 t
cvmlift2lem9.7
cvmlift2lem9.8
cvmlift2lem9.9
cvmlift2lem9.10
cvmlift2lem9.11 t
cvmlift2lem9.w
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem9 t
Distinct variable groups:   ,,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,   ,   ,,,,,,,   ,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,,,,)   (,)   (,,)   (,)   ()   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   ()   ()   (,,,,,,,)

Proof of Theorem cvmlift2lem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2
2 iitop 21990 . . 3
3 iiuni 21991 . . 3
42, 2, 3, 3txunii 20685 . 2
5 cvmlift2lem10.s . 2 t t
6 cvmlift2.f . 2 CovMap
7 cvmlift2.g . . 3
8 cvmlift2.p . . 3
9 cvmlift2.i . . 3
10 cvmlift2.h . . 3
11 cvmlift2.k . . 3
121, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem5 30102 . 2
131, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem7 30104 . . 3
1413, 7eqeltrd 2549 . 2
152, 2txtopi 20682 . . 3
1615a1i 11 . 2
17 cvmlift2lem9.3 . . . . 5
18 elssuni 4219 . . . . . 6
1918, 3syl6sseqr 3465 . . . . 5
2017, 19syl 17 . . . 4
21 cvmlift2lem9.7 . . . 4
2220, 21sseldd 3419 . . 3
23 cvmlift2lem9.4 . . . . 5
24 elssuni 4219 . . . . . 6
2524, 3syl6sseqr 3465 . . . . 5
2623, 25syl 17 . . . 4
27 cvmlift2lem9.8 . . . 4
2826, 27sseldd 3419 . . 3
29 opelxpi 4871 . . 3
3022, 28, 29syl2anc 673 . 2
31 cvmlift2lem9.2 . 2
3212, 22, 28fovrnd 6460 . . . 4
33 fvco3 5957 . . . . . . . 8
3412, 30, 33syl2anc 673 . . . . . . 7
3513fveq1d 5881 . . . . . . 7
3634, 35eqtr3d 2507 . . . . . 6
37 df-ov 6311 . . . . . . 7
3837fveq2i 5882 . . . . . 6
39 df-ov 6311 . . . . . 6
4036, 38, 393eqtr4g 2530 . . . . 5
41 cvmlift2lem9.1 . . . . 5
4240, 41eqeltrd 2549 . . . 4
43 cvmlift2lem9.w . . . . 5
445, 1, 43cvmsiota 30072 . . . 4 CovMap
456, 31, 32, 42, 44syl13anc 1294 . . 3
4637eleq1i 2540 . . . 4
4746anbi2i 708 . . 3
4845, 47sylib 201 . 2
49 xpss12 4945 . . 3
5020, 26, 49syl2anc 673 . 2
51 snidg 3986 . . . . . . 7
5251ad2antrl 742 . . . . . 6
53 simprr 774 . . . . . 6
54 ovres 6455 . . . . . 6
5552, 53, 54syl2anc 673 . . . . 5
56 eqid 2471 . . . . . . . 8 t t
572a1i 11 . . . . . . . . . 10
58 snex 4641 . . . . . . . . . . 11
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10
6023adantr 472 . . . . . . . . . 10
61 txrest 20723 . . . . . . . . . 10 t t t
6257, 57, 59, 60, 61syl22anc 1293 . . . . . . . . 9 t t t
63 iitopon 21989 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
6420sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13
6564adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12
66 restsn2 20264 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t
6763, 65, 66sylancr 676 . . . . . . . . . . 11 t
68 pwsn 4184 . . . . . . . . . . . 12
69 indiscon 20510 . . . . . . . . . . . 12
7068, 69eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11
7167, 70syl6eqel 2557 . . . . . . . . . 10 t
72 cvmlift2lem9.6 . . . . . . . . . . 11 t
7372adantr 472 . . . . . . . . . 10 t
74 txcon 20781 . . . . . . . . . 10 t t t t
7571, 73, 74syl2anc 673 . . . . . . . . 9 t t
7662, 75eqeltrd 2549 . . . . . . . 8 t
771, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 30103 . . . . . . . . . . . 12 t
7865, 77syldan 478 . . . . . . . . . . 11 t
7926adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
80 xpss2 4949 . . . . . . . . . . . . 13
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12
8265snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . 14
83 xpss1 4948 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
854restuni 20255 . . . . . . . . . . . . 13 t
8615, 84, 85sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12 t
8781, 86sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . 11 t
88 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 t t
8988cnrest 20378 . . . . . . . . . . 11 t t t t
9078, 87, 89syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 t t
9181resabs1d 5140 . . . . . . . . . 10
9215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
93 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14
9458, 93xpex 6614 . . . . . . . . . . . . 13
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
96 restabs 20258 . . . . . . . . . . . 12 t t t
9792, 81, 95, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 t t t
9897oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10 t t t
9990, 91, 983eltr3d 2563 . . . . . . . . 9 t
100 cvmtop1 30055 . . . . . . . . . . . . 13 CovMap
1016, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12
102101adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1031toptopon 20025 . . . . . . . . . . 11 TopOn
104102, 103sylib 201 . . . . . . . . . 10 TopOn
105 df-ima 4852 . . . . . . . . . . 11
106 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14
107106snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13
108 xpss1 4948 . . . . . . . . . . . . 13
109 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . 13
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . 12
111 cvmlift2lem9.9 . . . . . . . . . . . . . . 15
112 imaco 5347 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 cnvco 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11413cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115113, 114syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116115imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117112, 116syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15
118111, 117sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . 14
119 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12012, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
121 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12212, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12350, 122sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15
125120, 123, 124syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
126118, 125mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13
127126adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
128110, 127sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11
129105, 128syl5eqssr 3463 . . . . . . . . . 10
130 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . 12
131 cvmcn 30057 . . . . . . . . . . . . . 14 CovMap
1326, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
133 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
1341, 133cnf 20339 . . . . . . . . . . . . 13
135 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . 13
136132, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . 12
137130, 136syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . 11
138137adantr 472 . . . . . . . . . 10
139 cnrest2 20379 . . . . . . . . . 10 TopOn t t t
140104, 129, 138, 139syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 t t t
14199, 140mpbid 215 . . . . . . . 8 t t
1425cvmsss 30062 . . . . . . . . . . . 12
14331, 142syl 17 . . . . . . . . . . 11
14445simpld 466 . . . . . . . . . . 11
145143, 144sseldd 3419 . . . . . . . . . 10
146 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . 12
147144, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11
1485cvmsuni 30064 . . . . . . . . . . . 12
14931, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11
150147, 149sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10
1515cvmsrcl 30059 . . . . . . . . . . . . 13
15231, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12
153 cnima 20358 . . . . . . . . . . . 12
154132, 152, 153syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
155 restopn2 20270 . . . . . . . . . . 11 t
156101, 154, 155syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 t
157145, 150, 156mpbir2and 936 . . . . . . . . 9 t
158157adantr 472 . . . . . . . 8 t
1595cvmscld 30068 . . . . . . . . . 10 CovMap t
1606, 31, 144, 159syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 t
161160adantr 472 . . . . . . . 8 t
162 cvmlift2lem9.10 . . . . . . . . . . 11
163162adantr 472 . . . . . . . . . 10
164 opelxpi 4871 . . . . . . . . . 10
16552, 163, 164syl2anc 673 . . . . . . . . 9
16681, 84sstrd 3428 . . . . . . . . . 10
1674restuni 20255 . . . . . . . . . 10 t
16815, 166, 167sylancr 676 . . . . . . . . 9 t
169165, 168eleqtrd 2551 . . . . . . . 8 t
170 df-ov 6311 . . . . . . . . . 10
171 ovres 6455 . . . . . . . . . . . 12
17252, 163, 171syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
173 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . 14
174162, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
175174adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
176 ovres 6455 . . . . . . . . . . . 12
177106, 175, 176syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
178172, 177eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
179170, 178syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9
180 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 t t
1812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
182 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . 16
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
184 txrest 20723 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
185181, 181, 17, 183, 184syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t
186 cvmlift2lem9.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
18726, 162sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
188 restsn2 20264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn t
18963, 187, 188sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
190 pwsn 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
191 indiscon 20510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
192190, 191eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
193189, 192syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
194 txcon 20781 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t t
195186, 193, 194syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
196185, 195eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13 t
197 cvmlift2lem9.11 . . . . . . . . . . . . . 14 t
198101, 103sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
199 df-ima 4852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
200162snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
201 xpss2 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
202 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
203200, 201, 2023syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
204203, 126sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . 16
205199, 204syl5eqssr 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15
206 cnrest2 20379 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn t t t
207198, 205, 137, 206syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t
208197, 207mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13 t t
209 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . 15
21021, 174, 209syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
211187snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212 xpss12 4945 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21320, 211, 212syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
2144restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
21515, 213, 214sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14 t
216210, 215eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13 t
217 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
218 ovres 6455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
21921, 174, 218syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
220 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22121, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
222 ovres 6455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
223221, 162, 222syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
224219, 223eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15
225217, 224syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . 14
226 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t
227 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
229 txrest 20723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 t t t
230181, 181, 228, 23, 229syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 t t t
231 restsn2 20264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn t
23263, 22, 231sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 t
233 pwsn 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
234 indiscon 20510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
235233, 234eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
236232, 235syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 t
237 txcon 20781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 t t t t
238236, 72, 237syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 t t
239230, 238eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t
2401, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 30103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 t
24122, 240mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 t
242 xpss2 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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