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Theorem cvmlift2lem9 29822
Description: Lemma for cvmlift2 29827. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
cvmlift2lem10.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem9.1  |-  ( ph  ->  ( X G Y )  e.  M )
cvmlift2lem9.2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 M ) )
cvmlift2lem9.3  |-  ( ph  ->  U  e.  II )
cvmlift2lem9.4  |-  ( ph  ->  V  e.  II )
cvmlift2lem9.5  |-  ( ph  ->  ( IIt  U )  e.  Con )
cvmlift2lem9.6  |-  ( ph  ->  ( IIt  V )  e.  Con )
cvmlift2lem9.7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
cvmlift2lem9.8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
cvmlift2lem9.9  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( `' G " M ) )
cvmlift2lem9.10  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
cvmlift2lem9.11  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  Cn  C ) )
cvmlift2lem9.w  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T  ( X K Y )  e.  b )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem9  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) )
Distinct variable groups:    b, c,
d, f, k, s, x, y, z, F    ph, b, f, x, y, z    M, b, c, d, k, s, x, y, z    S, b, f, x, y, z    J, b, c, d, f, k, s, x, y, z    T, b, c, d, s   
z, U    G, b,
c, f, k, x, y, z    W, c, d    H, b, c, f, x, y, z    X, b, c, d, f, k, x, y, z    z, Z    C, b, c, d, f, k, s, x, y, z    P, f, k, x, y, z    B, b, c, d, x, y, z    Y, b, c, d, f, k, x, y, z    K, b, c, d, f, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( k, s, c, d)    B( f, k, s)    P( s, b, c, d)    S( k, s, c, d)    T( x, y, z, f, k)    U( x, y, f, k, s, b, c, d)    G( s, d)    H( k, s, d)    K( k, s)    M( f)    V( x, y, z, f, k, s, b, c, d)    W( x, y, z, f, k, s, b)    X( s)    Y( s)    Z( x, y, f, k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift2lem9
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2  |-  B  = 
U. C
2 iitop 21808 . . 3  |-  II  e.  Top
3 iiuni 21809 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
42, 2, 3, 3txunii 20539 . 2  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
5 cvmlift2lem10.s . 2  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
6 cvmlift2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
7 cvmlift2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
8 cvmlift2.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
9 cvmlift2.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
10 cvmlift2.h . . 3  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
11 cvmlift2.k . . 3  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
121, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem5 29818 . 2  |-  ( ph  ->  K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> B )
131, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem7 29820 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  K
)  =  G )
1413, 7eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  K
)  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
152, 2txtopi 20536 . . 3  |-  ( II 
tX  II )  e. 
Top
1615a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( II  tX  II )  e.  Top )
17 cvmlift2lem9.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  II )
18 elssuni 4251 . . . . . 6  |-  ( U  e.  II  ->  U  C_ 
U. II )
1918, 3syl6sseqr 3517 . . . . 5  |-  ( U  e.  II  ->  U  C_  ( 0 [,] 1
) )
2017, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  ( 0 [,] 1 ) )
21 cvmlift2lem9.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
2220, 21sseldd 3471 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
23 cvmlift2lem9.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  II )
24 elssuni 4251 . . . . . 6  |-  ( V  e.  II  ->  V  C_ 
U. II )
2524, 3syl6sseqr 3517 . . . . 5  |-  ( V  e.  II  ->  V  C_  ( 0 [,] 1
) )
2623, 25syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )
27 cvmlift2lem9.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
2826, 27sseldd 3471 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
29 opelxpi 4886 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
3022, 28, 29syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
31 cvmlift2lem9.2 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 M ) )
3212, 22, 28fovrnd 6455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X K Y )  e.  B )
33 fvco3 5958 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> B  /\  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( F  o.  K ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) ) )
3412, 30, 33syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  K ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) ) )
3513fveq1d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  K ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( G `  <. X ,  Y >. ) )
3634, 35eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
)
37 df-ov 6308 . . . . . . 7  |-  ( X K Y )  =  ( K `  <. X ,  Y >. )
3837fveq2i 5884 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( X K Y ) )  =  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) )
39 df-ov 6308 . . . . . 6  |-  ( X G Y )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
4036, 38, 393eqtr4g 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X K Y ) )  =  ( X G Y ) )
41 cvmlift2lem9.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X G Y )  e.  M )
4240, 41eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X K Y ) )  e.  M )
43 cvmlift2lem9.w . . . . 5  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T  ( X K Y )  e.  b )
445, 1, 43cvmsiota 29788 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( T  e.  ( S `  M )  /\  ( X K Y )  e.  B  /\  ( F `
 ( X K Y ) )  e.  M ) )  -> 
( W  e.  T  /\  ( X K Y )  e.  W ) )
456, 31, 32, 42, 44syl13anc 1266 . . 3  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( X K Y )  e.  W ) )
4637eleq1i 2506 . . . 4  |-  ( ( X K Y )  e.  W  <->  ( K `  <. X ,  Y >. )  e.  W )
4746anbi2i 698 . . 3  |-  ( ( W  e.  T  /\  ( X K Y )  e.  W )  <->  ( W  e.  T  /\  ( K `  <. X ,  Y >. )  e.  W
) )
4845, 47sylib 199 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( K `  <. X ,  Y >. )  e.  W ) )
49 xpss12 4960 . . 3  |-  ( ( U  C_  ( 0 [,] 1 )  /\  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )  -> 
( U  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
5020, 26, 49syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
51 snidg 4028 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  U  ->  m  e.  { m } )
5251ad2antrl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  m  e.  { m } )
53 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  n  e.  V )
54 ovres 6450 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  { m }  /\  n  e.  V
)  ->  ( m
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) n )  =  ( m K n ) )
5552, 53, 54syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) n )  =  ( m K n ) )
56 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )
572a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  II  e.  Top )
58 snex 4663 . . . . . . . . . . 11  |-  { m }  e.  _V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  { m }  e.  _V )
6023adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  V  e.  II )
61 txrest 20577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( { m }  e.  _V  /\  V  e.  II ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  {
m } )  tX  ( IIt  V ) ) )
6257, 57, 59, 60, 61syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  {
m } )  tX  ( IIt  V ) ) )
63 iitopon 21807 . . . . . . . . . . . 12  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
6420sselda 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  U )  ->  m  e.  ( 0 [,] 1
) )
6564adantrr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  m  e.  ( 0 [,] 1 ) )
66 restsn2 20118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  m  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
IIt  { m } )  =  ~P { m } )
6763, 65, 66sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( IIt  { m } )  =  ~P { m } )
68 pwsn 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P {
m }  =  { (/)
,  { m } }
69 indiscon 20364 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) ,  { m } }  e.  Con
7068, 69eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P {
m }  e.  Con
7167, 70syl6eqel 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( IIt  { m } )  e.  Con )
72 cvmlift2lem9.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( IIt  V )  e.  Con )
7372adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( IIt  V )  e.  Con )
74 txcon 20635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( IIt  { m } )  e.  Con  /\  (
IIt 
V )  e.  Con )  ->  ( ( IIt  {
m } )  tX  ( IIt  V ) )  e. 
Con )
7571, 73, 74syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( IIt  { m } )  tX  (
IIt 
V ) )  e. 
Con )
7662, 75eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  e.  Con )
771, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 29819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  Cn  C ) )
7865, 77syldan 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  Cn  C
) )
7926adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )
80 xpss2 4964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V 
C_  ( 0 [,] 1 )  ->  ( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
8265snssd 4148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  { m }  C_  ( 0 [,] 1
) )
83 xpss1 4963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { m }  C_  (
0 [,] 1 )  ->  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1 ) )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
854restuni 20109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( {
m }  X.  (
0 [,] 1 ) )  =  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
8615, 84, 85sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
8781, 86sseqtrd 3506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
88 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
8988cnrest 20232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  Cn  C
)  /\  ( {
m }  X.  V
)  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )  ->  ( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
) )
9078, 87, 89syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
) )
9181resabs1d 5154 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  =  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) )
9215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( II  tX  II )  e.  Top )
93 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
9458, 93xpex 6609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) )  e.  _V
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  e.  _V )
96 restabs 20112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  e.  _V )  ->  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  =  ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) ) )
9792, 81, 95, 96syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { m }  X.  V ) )  =  ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) )
9897oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
)  =  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  Cn  C ) )
9990, 91, 983eltr3d 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
) )
100 cvmtop1 29771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
1016, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  Top )
102101adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  C  e.  Top )
1031toptopon 19879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
104102, 103sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  C  e.  (TopOn `  B
) )
105 df-ima 4867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K
" ( { m }  X.  V ) )  =  ran  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )
106 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  m  e.  U )
107106snssd 4148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  { m }  C_  U )
108 xpss1 4963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { m }  C_  U  ->  ( { m }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
109 imass2 5224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { m }  X.  V )  C_  ( U  X.  V )  -> 
( K " ( { m }  X.  V ) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K " ( { m }  X.  V ) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
111 cvmlift2lem9.9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( `' G " M ) )
112 imaco 5360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' K  o.  `' F ) " M
)  =  ( `' K " ( `' F " M ) )
113 cnvco 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  `' ( F  o.  K )  =  ( `' K  o.  `' F )
11413cnveqd 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  `' ( F  o.  K )  =  `' G )
115113, 114syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' K  o.  `' F )  =  `' G )
116115imaeq1d 5187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( `' K  o.  `' F ) " M
)  =  ( `' G " M ) )
117112, 116syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( `' K "
( `' F " M ) )  =  ( `' G " M ) )
118111, 117sseqtr4d 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( `' K " ( `' F " M ) ) )
119 ffun 5748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> B  ->  Fun  K )
12012, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Fun  K )
121 fdm 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> B  ->  dom  K  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
12212, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  K  =  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
12350, 122sseqtr4d 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  dom  K )
124 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  K  /\  ( U  X.  V )  C_  dom  K )  ->  (
( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  ( `' F " M )  <->  ( U  X.  V )  C_  ( `' K " ( `' F " M ) ) ) )
125120, 123, 124syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K "
( U  X.  V
) )  C_  ( `' F " M )  <-> 
( U  X.  V
)  C_  ( `' K " ( `' F " M ) ) ) )
126118, 125mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  ( `' F " M ) )
127126adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  ( `' F " M ) )
128110, 127sstrd 3480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K " ( { m }  X.  V ) )  C_  ( `' F " M ) )
129105, 128syl5eqssr 3515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  ran  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  C_  ( `' F " M ) )
130 cnvimass 5208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " M ) 
C_  dom  F
131 cvmcn 29773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
1326, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
133 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
1341, 133cnf 20193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
135 fdm 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : B --> U. J  ->  dom  F  =  B )
136132, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
137130, 136syl5sseq 3518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F " M )  C_  B
)
138137adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( `' F " M )  C_  B
)
139 cnrest2 20233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( K  |`  ( { m }  X.  V
) )  C_  ( `' F " M )  /\  ( `' F " M )  C_  B
)  ->  ( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  Cn  C )  <->  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
140104, 129, 138, 139syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
14199, 140mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
1425cvmsss 29778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( S `  M )  ->  T  C_  C )
14331, 142syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  C )
14445simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  T )
145143, 144sseldd 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  C )
146 elssuni 4251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  T  ->  W  C_ 
U. T )
147144, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  C_  U. T )
1485cvmsuni 29780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( S `  M )  ->  U. T  =  ( `' F " M ) )
14931, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. T  =  ( `' F " M ) )
150147, 149sseqtrd 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  C_  ( `' F " M ) )
1515cvmsrcl 29775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( S `  M )  ->  M  e.  J )
15231, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  J )
153 cnima 20212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  M  e.  J )  ->  ( `' F " M )  e.  C
)
154132, 152, 153syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F " M )  e.  C
)
155 restopn2 20124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " M )  e.  C )  -> 
( W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " M ) ) ) )
156101, 154, 155syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " M ) ) ) )
157145, 150, 156mpbir2and 930 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) ) )
158157adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) ) )
1595cvmscld 29784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  M
)  /\  W  e.  T )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
1606, 31, 144, 159syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
161160adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
162 cvmlift2lem9.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
163162adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  Z  e.  V )
164 opelxpi 4886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  { m }  /\  Z  e.  V
)  ->  <. m ,  Z >.  e.  ( { m }  X.  V ) )
16552, 163, 164syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  <. m ,  Z >.  e.  ( { m }  X.  V ) )
16681, 84sstrd 3480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
1674restuni 20109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { m }  X.  V )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( {
m }  X.  V
)  =  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) ) )
16815, 166, 167sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) ) )
169165, 168eleqtrd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  <. m ,  Z >.  e. 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) )
170 df-ov 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( ( K  |`  ( {
m }  X.  V
) ) `  <. m ,  Z >. )
171 ovres 6450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  { m }  /\  Z  e.  V
)  ->  ( m
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
17252, 163, 171syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
173 snidg 4028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  V  ->  Z  e.  { Z } )
174162, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  { Z } )
175174adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  Z  e.  { Z } )
176 ovres 6450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  U  /\  Z  e.  { Z } )  ->  (
m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
177106, 175, 176syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
178172, 177eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( m ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) Z ) )
179170, 178syl5eqr 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) `  <. m ,  Z >. )  =  ( m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z ) )
180 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )
1812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  II  e.  Top )
182 snex 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { Z }  e.  _V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { Z }  e.  _V )
184 txrest 20577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( U  e.  II  /\  { Z }  e.  _V ) )  ->  (
( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  =  ( ( IIt  U ) 
tX  ( IIt  { Z } ) ) )
185181, 181, 17, 183, 184syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  =  ( ( IIt  U )  tX  ( IIt  { Z } ) ) )
186 cvmlift2lem9.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( IIt  U )  e.  Con )
18726, 162sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
188 restsn2 20118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  Z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
IIt  { Z } )  =  ~P { Z }
)
18963, 187, 188sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( IIt  { Z } )  =  ~P { Z } )
190 pwsn 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ~P { Z }  =  { (/)
,  { Z } }
191 indiscon 20364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { (/) ,  { Z } }  e.  Con
192190, 191eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ~P { Z }  e.  Con
193189, 192syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( IIt  { Z } )  e.  Con )
194 txcon 20635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( IIt  U )  e.  Con  /\  ( IIt  { Z } )  e.  Con )  -> 
( ( IIt  U ) 
tX  ( IIt  { Z } ) )  e. 
Con )
195186, 193, 194syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( IIt  U ) 
tX  ( IIt  { Z } ) )  e. 
Con )
196185, 195eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  e.  Con )
197 cvmlift2lem9.11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  Cn  C ) )
198101, 103sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  (TopOn `  B ) )
199 df-ima 4867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K
" ( U  X.  { Z } ) )  =  ran  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )
200162snssd 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { Z }  C_  V )
201 xpss2 4964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { Z }  C_  V  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  ( U  X.  V ) )
202 imass2 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  X.  { Z } )  C_  ( U  X.  V )  -> 
( K " ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
203200, 201, 2023syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
204203, 126sstrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( `' F " M ) )
205199, 204syl5eqssr 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  C_  ( `' F " M ) )
206 cnrest2 20233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( `' F " M )  /\  ( `' F " M )  C_  B
)  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
207198, 205, 137, 206syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
208197, 207mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
209 opelxpi 4886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  U  /\  Z  e.  { Z } )  ->  <. X ,  Z >.  e.  ( U  X.  { Z }
) )
21021, 174, 209syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Z >.  e.  ( U  X.  { Z } ) )
211187snssd 4148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Z }  C_  ( 0 [,] 1
) )
212 xpss12 4960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  C_  ( 0 [,] 1 )  /\  { Z }  C_  (
0 [,] 1 ) )  ->  ( U  X.  { Z } ) 
C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
21320, 211, 212syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2144restuni 20109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( U  X.  { Z }
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( U  X.  { Z } )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) ) )
21515, 213, 214sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  X.  { Z } )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) ) )
216210, 215eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Z >.  e. 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) ) )
217 df-ov 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) Z )  =  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) `  <. X ,  Z >. )
218 ovres 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  U  /\  Z  e.  { Z } )  ->  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( X K Z ) )
21921, 174, 218syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( X K Z ) )
220 snidg 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  { X } )
22121, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  { X } )
222 ovres 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  Z  e.  V
)  ->  ( X
( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Z )  =  ( X K Z ) )
223221, 162, 222syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) Z )  =  ( X K Z ) )
224219, 223eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Z ) )
225217, 224syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) `  <. X ,  Z >. )  =  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Z ) )
226 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )
227 snex 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { X }  e.  _V
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  { X }  e.  _V )
229 txrest 20577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( { X }  e.  _V  /\  V  e.  II ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) ) )
230181, 181, 228, 23, 229syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) ) )
231 restsn2 20118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
IIt  { X } )  =  ~P { X }
)
23263, 22, 231sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( IIt  { X } )  =  ~P { X } )
233 pwsn 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ~P { X }  =  { (/)
,  { X } }
234 indiscon 20364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) ,  { X } }  e.  Con
235233, 234eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ~P { X }  e.  Con
236232, 235syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( IIt  { X } )  e.  Con )
237 txcon 20635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( IIt  { X } )  e.  Con  /\  (
IIt 
V )  e.  Con )  ->  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) )  e. 
Con )
238236, 72, 237syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) )  e. 
Con )
239230, 238eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  e.  Con )
2401, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 29819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  Cn  C
) )
24122, 240mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  Cn  C ) )
242 xpss2 4964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V 
C_  ( 0 [,] 1 )  ->  ( { X }  X.  V
)  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
24323, 25, 2423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
24422snssd 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( 0 [,] 1
) )
245 xpss1 4963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( { X }  C_  (
0 [,] 1 )  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
246244, 245syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2474restuni 20109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
24815, 246, 247sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
249243, 248sseqtrd 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
250 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
251250cnrest 20232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  |`  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  Cn  C )  /\  ( { X }  X.  V )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C ) )
252241, 249, 251syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C ) )
253243resabs1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  =  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) )
254227, 93xpex 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  e.  _V
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) )  e.  _V )
256 restabs 20112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { X }  X.  V
)  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  /\  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
25716, 243, 255, 256syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
258257oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C )  =  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  C
) )
259252, 253, 2583eltr3d 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C ) )
260 df-ima 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K
" ( { X }  X.  V ) )  =  ran  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )
26121snssd 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  { X }  C_  U )
262 xpss1 4963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { X }  C_  U  ->  ( { X }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
263 imass2 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { X }  X.  V )  C_  ( U  X.  V )  -> 
( K " ( { X }  X.  V
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
264261, 262, 2633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( K " ( { X }  X.  V
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
265264, 126sstrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K " ( { X }  X.  V
) )  C_  ( `' F " M ) )
266260, 265syl5eqssr 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  C_  ( `' F " M ) )
267 cnrest2 20233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) )  C_  ( `' F " M )  /\  ( `' F " M )  C_  B
)  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
268198, 266, 137, 267syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
269259, 268mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
270 opelxpi 4886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  Y  e.  V
)  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( { X }  X.  V
) )
271221, 27, 270syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( { X }  X.  V ) )
272261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
273272, 50sstrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2744restuni 20109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { X }  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( { X }  X.  V )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
27515, 273, 274sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) ) )
276271, 275eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
277 df-ov 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Y )  =  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) `  <. X ,  Y >. )
278 ovres 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X
( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Y )  =  ( X K Y ) )
279221, 27, 278syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) Y )  =  ( X K Y ) )
280277, 279syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( X K Y ) )
28145simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X K Y )  e.  W )
282280, 281eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) `  <. X ,  Y >. )  e.  W )
283226, 239, 269, 157, 160, 276, 282concn 20372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) : U. ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) ) --> W )
284275feq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) : ( { X }  X.  V ) --> W  <->  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) --> W ) )
285283, 284mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) : ( { X }  X.  V ) --> W )
286285, 221, 162fovrnd 6455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) Z )  e.  W )
287225, 286eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) `  <. X ,  Z >. )  e.  W )
288180, 196, 208, 157, 160, 216, 287concn 20372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) : U. ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) ) --> W )
289215feq2d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) : ( U  X.  { Z } ) --> W  <->  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) ) --> W ) )
290288, 289mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) : ( U  X.  { Z } ) --> W )
291290adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) : ( U  X.  { Z } ) --> W )
292291, 106, 175fovrnd 6455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  e.  W )
293179, 292eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) `  <. m ,  Z >. )  e.  W )
29456, 76, 141, 158, 161, 169, 293concn 20372 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) --> W )
295168feq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : ( { m }  X.  V ) --> W  <->  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) --> W ) )
296294, 295mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : ( { m }  X.  V ) --> W )
297296, 52, 53fovrnd 6455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) n )  e.  W )
29855, 297eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m K n )  e.  W )
299298ralrimivva 2853 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  U  A. n  e.  V  ( m K n )  e.  W )
300 funimassov 6460 . . . 4  |-  ( ( Fun  K  /\  ( U  X.  V )  C_  dom  K )  ->  (
( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  W  <->  A. m  e.  U  A. n  e.  V  ( m K n )  e.  W ) )
301120, 123, 300syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K "
( U  X.  V
) )  C_  W  <->  A. m  e.  U  A. n  e.  V  (
m K n )  e.  W ) )
302299, 301mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  W )
3031, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 30, 31, 48, 50, 302cvmlift2lem9a 29814 1  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   {csn 4002   {cpr 4004   <.cop 4008   U.cuni 4222    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   ran crn 4855    |` cres 4856   "cima 4857    o. ccom 4858   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   0cc0 9538   1c1 9539   [,]cicc 11638   ↾t crest 15278   Topctop 19848  TopOnctopon 19849   Clsdccld 19962    Cn ccn 20171   Conccon 20357    tX ctx 20506   Homeochmeo 20699   IIcii 21803   CovMap ccvm 29766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ec 7373  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-cmp 20333  df-con 20358  df-lly 20412  df-nlly 20413  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-ii 21805  df-htpy 21894  df-phtpy 21895  df-phtpc 21916  df-pcon 29732  df-scon 29733  df-cvm 29767
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem10  29823
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