Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem9 Structured version   Unicode version

Theorem cvmlift2lem9 27169
Description: Lemma for cvmlift2 27174. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
cvmlift2lem10.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem9.1  |-  ( ph  ->  ( X G Y )  e.  M )
cvmlift2lem9.2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 M ) )
cvmlift2lem9.3  |-  ( ph  ->  U  e.  II )
cvmlift2lem9.4  |-  ( ph  ->  V  e.  II )
cvmlift2lem9.5  |-  ( ph  ->  ( IIt  U )  e.  Con )
cvmlift2lem9.6  |-  ( ph  ->  ( IIt  V )  e.  Con )
cvmlift2lem9.7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
cvmlift2lem9.8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
cvmlift2lem9.9  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( `' G " M ) )
cvmlift2lem9.10  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
cvmlift2lem9.11  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  Cn  C ) )
cvmlift2lem9.w  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T  ( X K Y )  e.  b )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem9  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) )
Distinct variable groups:    b, c,
d, f, k, s, x, y, z, F    ph, b, f, x, y, z    M, b, c, d, k, s, x, y, z    S, b, f, x, y, z    J, b, c, d, f, k, s, x, y, z    T, b, c, d, s   
z, U    G, b,
c, f, k, x, y, z    W, c, d    H, b, c, f, x, y, z    X, b, c, d, f, k, x, y, z    z, Z    C, b, c, d, f, k, s, x, y, z    P, f, k, x, y, z    B, b, c, d, x, y, z    Y, b, c, d, f, k, x, y, z    K, b, c, d, f, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( k, s, c, d)    B( f, k, s)    P( s, b, c, d)    S( k, s, c, d)    T( x, y, z, f, k)    U( x, y, f, k, s, b, c, d)    G( s, d)    H( k, s, d)    K( k, s)    M( f)    V( x, y, z, f, k, s, b, c, d)    W( x, y, z, f, k, s, b)    X( s)    Y( s)    Z( x, y, f, k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift2lem9
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2  |-  B  = 
U. C
2 iitop 20436 . . 3  |-  II  e.  Top
3 iiuni 20437 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
42, 2, 3, 3txunii 19146 . 2  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
5 cvmlift2lem10.s . 2  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
6 cvmlift2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
7 cvmlift2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
8 cvmlift2.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
9 cvmlift2.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
10 cvmlift2.h . . 3  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
11 cvmlift2.k . . 3  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
121, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem5 27165 . 2  |-  ( ph  ->  K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> B )
131, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem7 27167 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  K
)  =  G )
1413, 7eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  K
)  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
152, 2txtopi 19143 . . 3  |-  ( II 
tX  II )  e. 
Top
1615a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( II  tX  II )  e.  Top )
17 cvmlift2lem9.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  II )
18 elssuni 4116 . . . . . 6  |-  ( U  e.  II  ->  U  C_ 
U. II )
1918, 3syl6sseqr 3398 . . . . 5  |-  ( U  e.  II  ->  U  C_  ( 0 [,] 1
) )
2017, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  ( 0 [,] 1 ) )
21 cvmlift2lem9.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
2220, 21sseldd 3352 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
23 cvmlift2lem9.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  II )
24 elssuni 4116 . . . . . 6  |-  ( V  e.  II  ->  V  C_ 
U. II )
2524, 3syl6sseqr 3398 . . . . 5  |-  ( V  e.  II  ->  V  C_  ( 0 [,] 1
) )
2623, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )
27 cvmlift2lem9.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
2826, 27sseldd 3352 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
29 opelxpi 4866 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
3022, 28, 29syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
31 cvmlift2lem9.2 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 M ) )
3212, 22, 28fovrnd 6230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X K Y )  e.  B )
33 fvco3 5763 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> B  /\  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( F  o.  K ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) ) )
3412, 30, 33syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  K ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) ) )
3513fveq1d 5688 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  K ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( G `  <. X ,  Y >. ) )
3634, 35eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
)
37 df-ov 6089 . . . . . . 7  |-  ( X K Y )  =  ( K `  <. X ,  Y >. )
3837fveq2i 5689 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( X K Y ) )  =  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) )
39 df-ov 6089 . . . . . 6  |-  ( X G Y )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
4036, 38, 393eqtr4g 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X K Y ) )  =  ( X G Y ) )
41 cvmlift2lem9.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X G Y )  e.  M )
4240, 41eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X K Y ) )  e.  M )
43 cvmlift2lem9.w . . . . 5  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T  ( X K Y )  e.  b )
445, 1, 43cvmsiota 27135 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( T  e.  ( S `  M )  /\  ( X K Y )  e.  B  /\  ( F `
 ( X K Y ) )  e.  M ) )  -> 
( W  e.  T  /\  ( X K Y )  e.  W ) )
456, 31, 32, 42, 44syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( X K Y )  e.  W ) )
4637eleq1i 2501 . . . 4  |-  ( ( X K Y )  e.  W  <->  ( K `  <. X ,  Y >. )  e.  W )
4746anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( W  e.  T  /\  ( X K Y )  e.  W )  <->  ( W  e.  T  /\  ( K `  <. X ,  Y >. )  e.  W
) )
4845, 47sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( K `  <. X ,  Y >. )  e.  W ) )
49 xpss12 4940 . . 3  |-  ( ( U  C_  ( 0 [,] 1 )  /\  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )  -> 
( U  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
5020, 26, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
51 snidg 3898 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  U  ->  m  e.  { m } )
5251ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  m  e.  { m } )
53 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  n  e.  V )
54 ovres 6225 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  { m }  /\  n  e.  V
)  ->  ( m
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) n )  =  ( m K n ) )
5552, 53, 54syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) n )  =  ( m K n ) )
56 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )
572a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  II  e.  Top )
58 snex 4528 . . . . . . . . . . 11  |-  { m }  e.  _V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  { m }  e.  _V )
6023adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  V  e.  II )
61 txrest 19184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( { m }  e.  _V  /\  V  e.  II ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  {
m } )  tX  ( IIt  V ) ) )
6257, 57, 59, 60, 61syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  {
m } )  tX  ( IIt  V ) ) )
63 iitopon 20435 . . . . . . . . . . . 12  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
6420sselda 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  U )  ->  m  e.  ( 0 [,] 1
) )
6564adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  m  e.  ( 0 [,] 1 ) )
66 restsn2 18755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  m  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
IIt  { m } )  =  ~P { m } )
6763, 65, 66sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( IIt  { m } )  =  ~P { m } )
68 pwsn 4080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P {
m }  =  { (/)
,  { m } }
69 indiscon 19002 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) ,  { m } }  e.  Con
7068, 69eqeltri 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P {
m }  e.  Con
7167, 70syl6eqel 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( IIt  { m } )  e.  Con )
72 cvmlift2lem9.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( IIt  V )  e.  Con )
7372adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( IIt  V )  e.  Con )
74 txcon 19242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( IIt  { m } )  e.  Con  /\  (
IIt 
V )  e.  Con )  ->  ( ( IIt  {
m } )  tX  ( IIt  V ) )  e. 
Con )
7571, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( IIt  { m } )  tX  (
IIt 
V ) )  e. 
Con )
7662, 75eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  e.  Con )
771, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 27166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  Cn  C ) )
7865, 77syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  Cn  C
) )
7926adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )
80 xpss2 4944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V 
C_  ( 0 [,] 1 )  ->  ( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
8265snssd 4013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  { m }  C_  ( 0 [,] 1
) )
83 xpss1 4943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { m }  C_  (
0 [,] 1 )  ->  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1 ) )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
854restuni 18746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( {
m }  X.  (
0 [,] 1 ) )  =  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
8615, 84, 85sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
8781, 86sseqtrd 3387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
88 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
8988cnrest 18869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  Cn  C
)  /\  ( {
m }  X.  V
)  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )  ->  ( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
) )
9078, 87, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
) )
91 resabs1 5134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  =  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) )
9281, 91syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  =  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) )
9315a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( II  tX  II )  e.  Top )
94 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
9558, 94xpex 6503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) )  e.  _V
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  e.  _V )
97 restabs 18749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  e.  _V )  ->  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  =  ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) ) )
9893, 81, 96, 97syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { m }  X.  V ) )  =  ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) )
9998oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
)  =  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  Cn  C ) )
10090, 92, 993eltr3d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
) )
101 cvmtop1 27118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
1026, 101syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  Top )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  C  e.  Top )
1041toptopon 18518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
105103, 104sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  C  e.  (TopOn `  B
) )
106 df-ima 4848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K
" ( { m }  X.  V ) )  =  ran  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )
107 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  m  e.  U )
108107snssd 4013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  { m }  C_  U )
109 xpss1 4943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { m }  C_  U  ->  ( { m }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
111 imass2 5199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { m }  X.  V )  C_  ( U  X.  V )  -> 
( K " ( { m }  X.  V ) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K " ( { m }  X.  V ) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
113 cvmlift2lem9.9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( `' G " M ) )
114 imaco 5338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' K  o.  `' F ) " M
)  =  ( `' K " ( `' F " M ) )
115 cnvco 5020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  `' ( F  o.  K )  =  ( `' K  o.  `' F )
11613cnveqd 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  `' ( F  o.  K )  =  `' G )
117115, 116syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' K  o.  `' F )  =  `' G )
118117imaeq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( `' K  o.  `' F ) " M
)  =  ( `' G " M ) )
119114, 118syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( `' K "
( `' F " M ) )  =  ( `' G " M ) )
120113, 119sseqtr4d 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( `' K " ( `' F " M ) ) )
121 ffun 5556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> B  ->  Fun  K )
12212, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Fun  K )
123 fdm 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> B  ->  dom  K  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
12412, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  K  =  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
12550, 124sseqtr4d 3388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  dom  K )
126 funimass3 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  K  /\  ( U  X.  V )  C_  dom  K )  ->  (
( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  ( `' F " M )  <->  ( U  X.  V )  C_  ( `' K " ( `' F " M ) ) ) )
127122, 125, 126syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K "
( U  X.  V
) )  C_  ( `' F " M )  <-> 
( U  X.  V
)  C_  ( `' K " ( `' F " M ) ) ) )
128120, 127mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  ( `' F " M ) )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  ( `' F " M ) )
130112, 129sstrd 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K " ( { m }  X.  V ) )  C_  ( `' F " M ) )
131106, 130syl5eqssr 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  ran  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  C_  ( `' F " M ) )
132 cnvimass 5184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " M ) 
C_  dom  F
133 cvmcn 27120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
1346, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
135 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
1361, 135cnf 18830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
137134, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : B --> U. J
)
138 fdm 5558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : B --> U. J  ->  dom  F  =  B )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
140132, 139syl5sseq 3399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F " M )  C_  B
)
141140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( `' F " M )  C_  B
)
142 cnrest2 18870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( K  |`  ( { m }  X.  V
) )  C_  ( `' F " M )  /\  ( `' F " M )  C_  B
)  ->  ( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  Cn  C )  <->  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
143105, 131, 141, 142syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
144100, 143mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
1455cvmsss 27125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( S `  M )  ->  T  C_  C )
14631, 145syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  C )
14745simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  T )
148146, 147sseldd 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  C )
149 elssuni 4116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  T  ->  W  C_ 
U. T )
150147, 149syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  C_  U. T )
1515cvmsuni 27127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( S `  M )  ->  U. T  =  ( `' F " M ) )
15231, 151syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. T  =  ( `' F " M ) )
153150, 152sseqtrd 3387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  C_  ( `' F " M ) )
1545cvmsrcl 27122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( S `  M )  ->  M  e.  J )
15531, 154syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  J )
156 cnima 18849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  M  e.  J )  ->  ( `' F " M )  e.  C
)
157134, 155, 156syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F " M )  e.  C
)
158 restopn2 18761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " M )  e.  C )  -> 
( W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " M ) ) ) )
159102, 157, 158syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " M ) ) ) )
160148, 153, 159mpbir2and 913 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) ) )
161160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) ) )
1625cvmscld 27131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  M
)  /\  W  e.  T )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
1636, 31, 147, 162syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
164163adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
165 cvmlift2lem9.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
166165adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  Z  e.  V )
167 opelxpi 4866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  { m }  /\  Z  e.  V
)  ->  <. m ,  Z >.  e.  ( { m }  X.  V ) )
16852, 166, 167syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  <. m ,  Z >.  e.  ( { m }  X.  V ) )
16981, 84sstrd 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
1704restuni 18746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { m }  X.  V )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( {
m }  X.  V
)  =  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) ) )
17115, 169, 170sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) ) )
172168, 171eleqtrd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  <. m ,  Z >.  e. 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) )
173 df-ov 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( ( K  |`  ( {
m }  X.  V
) ) `  <. m ,  Z >. )
174 ovres 6225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  { m }  /\  Z  e.  V
)  ->  ( m
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
17552, 166, 174syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
176 snidg 3898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  V  ->  Z  e.  { Z } )
177165, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  { Z } )
178177adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  Z  e.  { Z } )
179 ovres 6225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  U  /\  Z  e.  { Z } )  ->  (
m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
180107, 178, 179syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
181175, 180eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( m ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) Z ) )
182173, 181syl5eqr 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) `  <. m ,  Z >. )  =  ( m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z ) )
183 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )
1842a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  II  e.  Top )
185 snex 4528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { Z }  e.  _V
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { Z }  e.  _V )
187 txrest 19184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( U  e.  II  /\  { Z }  e.  _V ) )  ->  (
( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  =  ( ( IIt  U ) 
tX  ( IIt  { Z } ) ) )
188184, 184, 17, 186, 187syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  =  ( ( IIt  U )  tX  ( IIt  { Z } ) ) )
189 cvmlift2lem9.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( IIt  U )  e.  Con )
19026, 165sseldd 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
191 restsn2 18755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  Z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
IIt  { Z } )  =  ~P { Z }
)
19263, 190, 191sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( IIt  { Z } )  =  ~P { Z } )
193 pwsn 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ~P { Z }  =  { (/)
,  { Z } }
194 indiscon 19002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { (/) ,  { Z } }  e.  Con
195193, 194eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ~P { Z }  e.  Con
196192, 195syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( IIt  { Z } )  e.  Con )
197 txcon 19242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( IIt  U )  e.  Con  /\  ( IIt  { Z } )  e.  Con )  -> 
( ( IIt  U ) 
tX  ( IIt  { Z } ) )  e. 
Con )
198189, 196, 197syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( IIt  U ) 
tX  ( IIt  { Z } ) )  e. 
Con )
199188, 198eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  e.  Con )
200 cvmlift2lem9.11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  Cn  C ) )
201102, 104sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  (TopOn `  B ) )
202 df-ima 4848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K
" ( U  X.  { Z } ) )  =  ran  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )
203165snssd 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  { Z }  C_  V )
204 xpss2 4944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { Z }  C_  V  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  ( U  X.  V ) )
205203, 204syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  ( U  X.  V ) )
206 imass2 5199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  X.  { Z } )  C_  ( U  X.  V )  -> 
( K " ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
207205, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
208207, 128sstrd 3361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( `' F " M ) )
209202, 208syl5eqssr 3396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  C_  ( `' F " M ) )
210 cnrest2 18870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( `' F " M )  /\  ( `' F " M )  C_  B
)  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
211201, 209, 140, 210syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
212200, 211mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
213 opelxpi 4866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  U  /\  Z  e.  { Z } )  ->  <. X ,  Z >.  e.  ( U  X.  { Z }
) )
21421, 177, 213syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Z >.  e.  ( U  X.  { Z } ) )
215190snssd 4013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Z }  C_  ( 0 [,] 1
) )
216 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  C_  ( 0 [,] 1 )  /\  { Z }  C_  (
0 [,] 1 ) )  ->  ( U  X.  { Z } ) 
C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
21720, 215, 216syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2184restuni 18746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( U  X.  { Z }
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( U  X.  { Z } )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) ) )
21915, 217, 218sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  X.  { Z } )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) ) )
220214, 219eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Z >.  e. 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) ) )
221 df-ov 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) Z )  =  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) `  <. X ,  Z >. )
222 ovres 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  U  /\  Z  e.  { Z } )  ->  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( X K Z ) )
22321, 177, 222syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( X K Z ) )
224 snidg 3898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  { X } )
22521, 224syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  { X } )
226 ovres 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  Z  e.  V
)  ->  ( X
( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Z )  =  ( X K Z ) )
227225, 165, 226syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) Z )  =  ( X K Z ) )
228223, 227eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Z ) )
229221, 228syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) `  <. X ,  Z >. )  =  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Z ) )
230 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )
231 snex 4528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { X }  e.  _V
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  { X }  e.  _V )
233 txrest 19184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( { X }  e.  _V  /\  V  e.  II ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) ) )
234184, 184, 232, 23, 233syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) ) )
235 restsn2 18755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
IIt  { X } )  =  ~P { X }
)
23663, 22, 235sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( IIt  { X } )  =  ~P { X } )
237 pwsn 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ~P { X }  =  { (/)
,  { X } }
238 indiscon 19002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) ,  { X } }  e.  Con
239237, 238eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ~P { X }  e.  Con
240236, 239syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( IIt  { X } )  e.  Con )
241 txcon 19242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( IIt  { X } )  e.  Con  /\  (
IIt 
V )  e.  Con )  ->  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) )  e. 
Con )
242240, 72, 241syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) )  e. 
Con )
243234, 242eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  e.  Con )
2441, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 27166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  Cn  C
) )
24522, 244mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  Cn  C ) )
246 xpss2 4944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V 
C_  ( 0 [,] 1 )  ->  ( { X }  X.  V
)  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
24726, 246syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
24822snssd 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( 0 [,] 1
) )
249 xpss1 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( { X }  C_  (
0 [,] 1 )  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
250248, 249syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2514restuni 18746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
25215, 250, 251sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
253247, 252sseqtrd 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
254 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
255254cnrest 18869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  |`  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  Cn  C )  /\  ( { X }  X.  V )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C ) )
256245, 253, 255syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C ) )
257 resabs1 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { X }  X.  V )  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  =  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) )
258247, 257syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  =  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) )
259231, 94xpex 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  e.  _V
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) )  e.  _V )
261 restabs 18749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { X }  X.  V
)  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  /\  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
26216, 247, 260, 261syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
263262oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C )  =  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  C
) )
264256, 258, 2633eltr3d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C ) )
265 df-ima 4848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K
" ( { X }  X.  V ) )  =  ran  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )
26621snssd 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { X }  C_  U )
267 xpss1 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( { X }  C_  U  ->  ( { X }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
268266, 267syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
269 imass2 5199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { X }  X.  V )  C_  ( U  X.  V )  -> 
( K " ( { X }  X.  V
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
270268, 269syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( K " ( { X }  X.  V
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
271270, 128sstrd 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K " ( { X }  X.  V
) )  C_  ( `' F " M ) )
272265, 271syl5eqssr 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  C_  ( `' F " M ) )
273 cnrest2 18870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) )  C_  ( `' F " M )  /\  ( `' F " M )  C_  B
)  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
274201, 272, 140, 273syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
275264, 274mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
276 opelxpi 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  Y  e.  V
)  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( { X }  X.  V
) )
277225, 27, 276syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( { X }  X.  V ) )
278268, 50sstrd 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2794restuni 18746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { X }  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( { X }  X.  V )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
28015, 278, 279sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) ) )
281277, 280eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
282 df-ov 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Y )  =  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) `  <. X ,  Y >. )
283 ovres 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X
( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Y )  =  ( X K Y ) )
284225, 27, 283syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) Y )  =  ( X K Y ) )
285282, 284syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( X K Y ) )
28645simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X K Y )  e.  W )
287285, 286eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) `  <. X ,  Y >. )  e.  W )
288230, 243, 275, 160, 163, 281, 287concn 19010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) : U. ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) ) --> W )
289280feq2d 5542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) : ( { X }  X.  V ) --> W  <->  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) --> W ) )
290288, 289mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) : ( { X }  X.  V ) --> W )
291290, 225, 165fovrnd 6230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) Z )  e.  W )
292229, 291eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) `  <. X ,  Z >. )  e.  W )
293183, 199, 212, 160, 163, 220, 292concn 19010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) : U. ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) ) --> W )
294219feq2d 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) : ( U  X.  { Z } ) --> W  <->  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) ) --> W ) )
295293, 294mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) : ( U  X.  { Z } ) --> W )
296295adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) : ( U  X.  { Z } ) --> W )
297296, 107, 178fovrnd 6230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  e.  W )
298182, 297eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) `  <. m ,  Z >. )  e.  W )
29956, 76, 144, 161, 164, 172, 298concn 19010 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) --> W )
300171feq2d 5542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : ( { m }  X.  V ) --> W  <->  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) --> W ) )
301299, 300mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : ( { m }  X.  V ) --> W )
302301, 52, 53fovrnd 6230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) n )  e.  W )
30355, 302eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m K n )  e.  W )
304303ralrimivva 2803 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  U  A. n  e.  V  ( m K n )  e.  W )
305 funimassov 6235 . . . 4  |-  ( ( Fun  K  /\  ( U  X.  V )  C_  dom  K )  ->  (
( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  W  <->  A. m  e.  U  A. n  e.  V  ( m K n )  e.  W ) )
306122, 125, 305syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K "
( U  X.  V
) )  C_  W  <->  A. m  e.  U  A. n  e.  V  (
m K n )  e.  W ) )
307304, 306mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  W )
3081, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 30, 31, 48, 50, 307cvmlift2lem9a 27161 1  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   {cpr 3874   <.cop 3878   U.cuni 4086    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   ran crn 4836    |` cres 4837   "cima 4838    o. ccom 4839   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413   iota_crio 6046  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   0cc0 9274   1c1 9275   [,]cicc 11295   ↾t crest 14351   Topctop 18478  TopOnctopon 18479   Clsdccld 18600    Cn ccn 18808   Conccon 18995    tX ctx 19113   Homeochmeo 19306   IIcii 20431   CovMap ccvm 27113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-cmp 18970  df-con 18996  df-lly 19050  df-nlly 19051  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-ii 20433  df-htpy 20522  df-phtpy 20523  df-phtpc 20544  df-pcon 27079  df-scon 27080  df-cvm 27114
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem10  27170
  Copyright terms: Public domain W3C validator