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Theorem cvmlift2lem9 30106
Description: Lemma for cvmlift2 30111. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
cvmlift2lem10.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem9.1  |-  ( ph  ->  ( X G Y )  e.  M )
cvmlift2lem9.2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 M ) )
cvmlift2lem9.3  |-  ( ph  ->  U  e.  II )
cvmlift2lem9.4  |-  ( ph  ->  V  e.  II )
cvmlift2lem9.5  |-  ( ph  ->  ( IIt  U )  e.  Con )
cvmlift2lem9.6  |-  ( ph  ->  ( IIt  V )  e.  Con )
cvmlift2lem9.7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
cvmlift2lem9.8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
cvmlift2lem9.9  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( `' G " M ) )
cvmlift2lem9.10  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
cvmlift2lem9.11  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  Cn  C ) )
cvmlift2lem9.w  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T  ( X K Y )  e.  b )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem9  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) )
Distinct variable groups:    b, c,
d, f, k, s, x, y, z, F    ph, b, f, x, y, z    M, b, c, d, k, s, x, y, z    S, b, f, x, y, z    J, b, c, d, f, k, s, x, y, z    T, b, c, d, s   
z, U    G, b,
c, f, k, x, y, z    W, c, d    H, b, c, f, x, y, z    X, b, c, d, f, k, x, y, z    z, Z    C, b, c, d, f, k, s, x, y, z    P, f, k, x, y, z    B, b, c, d, x, y, z    Y, b, c, d, f, k, x, y, z    K, b, c, d, f, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( k, s, c, d)    B( f, k, s)    P( s, b, c, d)    S( k, s, c, d)    T( x, y, z, f, k)    U( x, y, f, k, s, b, c, d)    G( s, d)    H( k, s, d)    K( k, s)    M( f)    V( x, y, z, f, k, s, b, c, d)    W( x, y, z, f, k, s, b)    X( s)    Y( s)    Z( x, y, f, k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift2lem9
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2  |-  B  = 
U. C
2 iitop 21990 . . 3  |-  II  e.  Top
3 iiuni 21991 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
42, 2, 3, 3txunii 20685 . 2  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
5 cvmlift2lem10.s . 2  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
6 cvmlift2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
7 cvmlift2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
8 cvmlift2.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
9 cvmlift2.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
10 cvmlift2.h . . 3  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
11 cvmlift2.k . . 3  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
121, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem5 30102 . 2  |-  ( ph  ->  K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> B )
131, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem7 30104 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  K
)  =  G )
1413, 7eqeltrd 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  K
)  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
152, 2txtopi 20682 . . 3  |-  ( II 
tX  II )  e. 
Top
1615a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( II  tX  II )  e.  Top )
17 cvmlift2lem9.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  II )
18 elssuni 4219 . . . . . 6  |-  ( U  e.  II  ->  U  C_ 
U. II )
1918, 3syl6sseqr 3465 . . . . 5  |-  ( U  e.  II  ->  U  C_  ( 0 [,] 1
) )
2017, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  ( 0 [,] 1 ) )
21 cvmlift2lem9.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
2220, 21sseldd 3419 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
23 cvmlift2lem9.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  II )
24 elssuni 4219 . . . . . 6  |-  ( V  e.  II  ->  V  C_ 
U. II )
2524, 3syl6sseqr 3465 . . . . 5  |-  ( V  e.  II  ->  V  C_  ( 0 [,] 1
) )
2623, 25syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )
27 cvmlift2lem9.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
2826, 27sseldd 3419 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
29 opelxpi 4871 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
3022, 28, 29syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
31 cvmlift2lem9.2 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 M ) )
3212, 22, 28fovrnd 6460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X K Y )  e.  B )
33 fvco3 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> B  /\  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( F  o.  K ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) ) )
3412, 30, 33syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  K ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) ) )
3513fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  K ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( G `  <. X ,  Y >. ) )
3634, 35eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
)
37 df-ov 6311 . . . . . . 7  |-  ( X K Y )  =  ( K `  <. X ,  Y >. )
3837fveq2i 5882 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( X K Y ) )  =  ( F `  ( K `  <. X ,  Y >. ) )
39 df-ov 6311 . . . . . 6  |-  ( X G Y )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
4036, 38, 393eqtr4g 2530 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X K Y ) )  =  ( X G Y ) )
41 cvmlift2lem9.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X G Y )  e.  M )
4240, 41eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X K Y ) )  e.  M )
43 cvmlift2lem9.w . . . . 5  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T  ( X K Y )  e.  b )
445, 1, 43cvmsiota 30072 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( T  e.  ( S `  M )  /\  ( X K Y )  e.  B  /\  ( F `
 ( X K Y ) )  e.  M ) )  -> 
( W  e.  T  /\  ( X K Y )  e.  W ) )
456, 31, 32, 42, 44syl13anc 1294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( X K Y )  e.  W ) )
4637eleq1i 2540 . . . 4  |-  ( ( X K Y )  e.  W  <->  ( K `  <. X ,  Y >. )  e.  W )
4746anbi2i 708 . . 3  |-  ( ( W  e.  T  /\  ( X K Y )  e.  W )  <->  ( W  e.  T  /\  ( K `  <. X ,  Y >. )  e.  W
) )
4845, 47sylib 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( K `  <. X ,  Y >. )  e.  W ) )
49 xpss12 4945 . . 3  |-  ( ( U  C_  ( 0 [,] 1 )  /\  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )  -> 
( U  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
5020, 26, 49syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
51 snidg 3986 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  U  ->  m  e.  { m } )
5251ad2antrl 742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  m  e.  { m } )
53 simprr 774 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  n  e.  V )
54 ovres 6455 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  { m }  /\  n  e.  V
)  ->  ( m
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) n )  =  ( m K n ) )
5552, 53, 54syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) n )  =  ( m K n ) )
56 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )
572a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  II  e.  Top )
58 snex 4641 . . . . . . . . . . 11  |-  { m }  e.  _V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  { m }  e.  _V )
6023adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  V  e.  II )
61 txrest 20723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( { m }  e.  _V  /\  V  e.  II ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  {
m } )  tX  ( IIt  V ) ) )
6257, 57, 59, 60, 61syl22anc 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  {
m } )  tX  ( IIt  V ) ) )
63 iitopon 21989 . . . . . . . . . . . 12  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
6420sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  U )  ->  m  e.  ( 0 [,] 1
) )
6564adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  m  e.  ( 0 [,] 1 ) )
66 restsn2 20264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  m  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
IIt  { m } )  =  ~P { m } )
6763, 65, 66sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( IIt  { m } )  =  ~P { m } )
68 pwsn 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P {
m }  =  { (/)
,  { m } }
69 indiscon 20510 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) ,  { m } }  e.  Con
7068, 69eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P {
m }  e.  Con
7167, 70syl6eqel 2557 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( IIt  { m } )  e.  Con )
72 cvmlift2lem9.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( IIt  V )  e.  Con )
7372adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( IIt  V )  e.  Con )
74 txcon 20781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( IIt  { m } )  e.  Con  /\  (
IIt 
V )  e.  Con )  ->  ( ( IIt  {
m } )  tX  ( IIt  V ) )  e. 
Con )
7571, 73, 74syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( IIt  { m } )  tX  (
IIt 
V ) )  e. 
Con )
7662, 75eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  e.  Con )
771, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 30103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  Cn  C ) )
7865, 77syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  Cn  C
) )
7926adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )
80 xpss2 4949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V 
C_  ( 0 [,] 1 )  ->  ( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
8265snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  { m }  C_  ( 0 [,] 1
) )
83 xpss1 4948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { m }  C_  (
0 [,] 1 )  ->  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1 ) )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
854restuni 20255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( {
m }  X.  (
0 [,] 1 ) )  =  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
8615, 84, 85sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
8781, 86sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
88 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
8988cnrest 20378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  Cn  C
)  /\  ( {
m }  X.  V
)  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )  ->  ( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
) )
9078, 87, 89syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
) )
9181resabs1d 5140 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { m }  X.  V ) )  =  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) )
9215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( II  tX  II )  e.  Top )
93 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
9458, 93xpex 6614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) )  e.  _V
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  e.  _V )
96 restabs 20258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { m }  X.  V )  C_  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) )  e.  _V )  ->  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  =  ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) ) )
9792, 81, 95, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { m }  X.  V ) )  =  ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) )
9897oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
)  =  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  Cn  C ) )
9990, 91, 983eltr3d 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
) )
100 cvmtop1 30055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
1016, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  Top )
102101adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  C  e.  Top )
1031toptopon 20025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
104102, 103sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  C  e.  (TopOn `  B
) )
105 df-ima 4852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K
" ( { m }  X.  V ) )  =  ran  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )
106 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  m  e.  U )
107106snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  { m }  C_  U )
108 xpss1 4948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { m }  C_  U  ->  ( { m }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
109 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { m }  X.  V )  C_  ( U  X.  V )  -> 
( K " ( { m }  X.  V ) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K " ( { m }  X.  V ) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
111 cvmlift2lem9.9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( `' G " M ) )
112 imaco 5347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' K  o.  `' F ) " M
)  =  ( `' K " ( `' F " M ) )
113 cnvco 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  `' ( F  o.  K )  =  ( `' K  o.  `' F )
11413cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  `' ( F  o.  K )  =  `' G )
115113, 114syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' K  o.  `' F )  =  `' G )
116115imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( `' K  o.  `' F ) " M
)  =  ( `' G " M ) )
117112, 116syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( `' K "
( `' F " M ) )  =  ( `' G " M ) )
118111, 117sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( `' K " ( `' F " M ) ) )
119 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> B  ->  Fun  K )
12012, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Fun  K )
121 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> B  ->  dom  K  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
12212, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  K  =  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
12350, 122sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  dom  K )
124 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  K  /\  ( U  X.  V )  C_  dom  K )  ->  (
( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  ( `' F " M )  <->  ( U  X.  V )  C_  ( `' K " ( `' F " M ) ) ) )
125120, 123, 124syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K "
( U  X.  V
) )  C_  ( `' F " M )  <-> 
( U  X.  V
)  C_  ( `' K " ( `' F " M ) ) ) )
126118, 125mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  ( `' F " M ) )
127126adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  ( `' F " M ) )
128110, 127sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K " ( { m }  X.  V ) )  C_  ( `' F " M ) )
129105, 128syl5eqssr 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  ran  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  C_  ( `' F " M ) )
130 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " M ) 
C_  dom  F
131 cvmcn 30057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
1326, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
133 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
1341, 133cnf 20339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
135 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : B --> U. J  ->  dom  F  =  B )
136132, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
137130, 136syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F " M )  C_  B
)
138137adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( `' F " M )  C_  B
)
139 cnrest2 20379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( K  |`  ( { m }  X.  V
) )  C_  ( `' F " M )  /\  ( `' F " M )  C_  B
)  ->  ( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) )  Cn  C )  <->  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
140104, 129, 138, 139syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
14199, 140mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
1425cvmsss 30062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( S `  M )  ->  T  C_  C )
14331, 142syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  C )
14445simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  T )
145143, 144sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  C )
146 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  T  ->  W  C_ 
U. T )
147144, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  C_  U. T )
1485cvmsuni 30064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( S `  M )  ->  U. T  =  ( `' F " M ) )
14931, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. T  =  ( `' F " M ) )
150147, 149sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  C_  ( `' F " M ) )
1515cvmsrcl 30059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( S `  M )  ->  M  e.  J )
15231, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  J )
153 cnima 20358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  M  e.  J )  ->  ( `' F " M )  e.  C
)
154132, 152, 153syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F " M )  e.  C
)
155 restopn2 20270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " M )  e.  C )  -> 
( W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " M ) ) ) )
156101, 154, 155syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " M ) ) ) )
157145, 150, 156mpbir2and 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) ) )
158157adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " M ) ) )
1595cvmscld 30068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  M
)  /\  W  e.  T )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
1606, 31, 144, 159syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
161160adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
162 cvmlift2lem9.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
163162adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  Z  e.  V )
164 opelxpi 4871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  { m }  /\  Z  e.  V
)  ->  <. m ,  Z >.  e.  ( { m }  X.  V ) )
16552, 163, 164syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  <. m ,  Z >.  e.  ( { m }  X.  V ) )
16681, 84sstrd 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
1674restuni 20255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { m }  X.  V )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( {
m }  X.  V
)  =  U. (
( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) ) )
16815, 166, 167sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( { m }  X.  V )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { m }  X.  V ) ) )
169165, 168eleqtrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  <. m ,  Z >.  e. 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) )
170 df-ov 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( ( K  |`  ( {
m }  X.  V
) ) `  <. m ,  Z >. )
171 ovres 6455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  { m }  /\  Z  e.  V
)  ->  ( m
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
17252, 163, 171syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
173 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  V  ->  Z  e.  { Z } )
174162, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  { Z } )
175174adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  ->  Z  e.  { Z } )
176 ovres 6455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  U  /\  Z  e.  { Z } )  ->  (
m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
177106, 175, 176syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( m K Z ) )
178172, 177eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) Z )  =  ( m ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) Z ) )
179170, 178syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) `  <. m ,  Z >. )  =  ( m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z ) )
180 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )
1812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  II  e.  Top )
182 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { Z }  e.  _V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { Z }  e.  _V )
184 txrest 20723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( U  e.  II  /\  { Z }  e.  _V ) )  ->  (
( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  =  ( ( IIt  U ) 
tX  ( IIt  { Z } ) ) )
185181, 181, 17, 183, 184syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  =  ( ( IIt  U )  tX  ( IIt  { Z } ) ) )
186 cvmlift2lem9.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( IIt  U )  e.  Con )
18726, 162sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
188 restsn2 20264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  Z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
IIt  { Z } )  =  ~P { Z }
)
18963, 187, 188sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( IIt  { Z } )  =  ~P { Z } )
190 pwsn 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ~P { Z }  =  { (/)
,  { Z } }
191 indiscon 20510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { (/) ,  { Z } }  e.  Con
192190, 191eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ~P { Z }  e.  Con
193189, 192syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( IIt  { Z } )  e.  Con )
194 txcon 20781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( IIt  U )  e.  Con  /\  ( IIt  { Z } )  e.  Con )  -> 
( ( IIt  U ) 
tX  ( IIt  { Z } ) )  e. 
Con )
195186, 193, 194syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( IIt  U ) 
tX  ( IIt  { Z } ) )  e. 
Con )
196185, 195eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  e.  Con )
197 cvmlift2lem9.11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  Cn  C ) )
198101, 103sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  (TopOn `  B ) )
199 df-ima 4852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K
" ( U  X.  { Z } ) )  =  ran  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )
200162snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { Z }  C_  V )
201 xpss2 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { Z }  C_  V  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  ( U  X.  V ) )
202 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  X.  { Z } )  C_  ( U  X.  V )  -> 
( K " ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
203200, 201, 2023syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
204203, 126sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( `' F " M ) )
205199, 204syl5eqssr 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  C_  ( `' F " M ) )
206 cnrest2 20379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  C_  ( `' F " M )  /\  ( `' F " M )  C_  B
)  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
207198, 205, 137, 206syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
208197, 207mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
209 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  U  /\  Z  e.  { Z } )  ->  <. X ,  Z >.  e.  ( U  X.  { Z }
) )
21021, 174, 209syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Z >.  e.  ( U  X.  { Z } ) )
211187snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Z }  C_  ( 0 [,] 1
) )
212 xpss12 4945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  C_  ( 0 [,] 1 )  /\  { Z }  C_  (
0 [,] 1 ) )  ->  ( U  X.  { Z } ) 
C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
21320, 211, 212syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2144restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( U  X.  { Z }
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( U  X.  { Z } )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) ) )
21515, 213, 214sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  X.  { Z } )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) ) )
216210, 215eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Z >.  e. 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) ) )
217 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) Z )  =  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) `  <. X ,  Z >. )
218 ovres 6455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  U  /\  Z  e.  { Z } )  ->  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( X K Z ) )
21921, 174, 218syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( X K Z ) )
220 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  { X } )
22121, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  { X } )
222 ovres 6455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  Z  e.  V
)  ->  ( X
( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Z )  =  ( X K Z ) )
223221, 162, 222syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) Z )  =  ( X K Z ) )
224219, 223eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  =  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Z ) )
225217, 224syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) `  <. X ,  Z >. )  =  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Z ) )
226 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )
227 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { X }  e.  _V
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  { X }  e.  _V )
229 txrest 20723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( { X }  e.  _V  /\  V  e.  II ) )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) ) )
230181, 181, 228, 23, 229syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) ) )
231 restsn2 20264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
IIt  { X } )  =  ~P { X }
)
23263, 22, 231sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( IIt  { X } )  =  ~P { X } )
233 pwsn 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ~P { X }  =  { (/)
,  { X } }
234 indiscon 20510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) ,  { X } }  e.  Con
235233, 234eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ~P { X }  e.  Con
236232, 235syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( IIt  { X } )  e.  Con )
237 txcon 20781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( IIt  { X } )  e.  Con  /\  (
IIt 
V )  e.  Con )  ->  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) )  e. 
Con )
238236, 72, 237syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( IIt  { X } )  tX  (
IIt 
V ) )  e. 
Con )
239230, 238eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  e.  Con )
2401, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 30103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  Cn  C
) )
24122, 240mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  Cn  C ) )
242 xpss2 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V 
C_  ( 0 [,] 1 )  ->  ( { X }  X.  V
)  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
24323, 25, 2423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
24422snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( 0 [,] 1
) )
245 xpss1 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( { X }  C_  (
0 [,] 1 )  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
246244, 245syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2474restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
24815, 246, 247sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
249243, 248sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
250 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
251250cnrest 20378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  |`  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  Cn  C )  /\  ( { X }  X.  V )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C ) )
252241, 249, 251syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C ) )
253243resabs1d 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  |`  ( { X }  X.  V ) )  =  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) )
254227, 93xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  e.  _V
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  ( 0 [,] 1
) )  e.  _V )
256 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { X }  X.  V
)  C_  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  /\  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
25716, 243, 255, 256syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  =  ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
258257oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  (
0 [,] 1 ) ) )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C )  =  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  C
) )
259252, 253, 2583eltr3d 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  C ) )
260 df-ima 4852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K
" ( { X }  X.  V ) )  =  ran  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )
26121snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  { X }  C_  U )
262 xpss1 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { X }  C_  U  ->  ( { X }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
263 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { X }  X.  V )  C_  ( U  X.  V )  -> 
( K " ( { X }  X.  V
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
264261, 262, 2633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( K " ( { X }  X.  V
) )  C_  ( K " ( U  X.  V ) ) )
265264, 126sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K " ( { X }  X.  V
) )  C_  ( `' F " M ) )
266260, 265syl5eqssr 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  C_  ( `' F " M ) )
267 cnrest2 20379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) )  C_  ( `' F " M )  /\  ( `' F " M )  C_  B
)  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
268198, 266, 137, 267syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  C
)  <->  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) ) )
269259, 268mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) )  Cn  ( Ct  ( `' F " M ) ) ) )
270 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  Y  e.  V
)  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( { X }  X.  V
) )
271221, 27, 270syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( { X }  X.  V ) )
272261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  ( U  X.  V ) )
273272, 50sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2744restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( { X }  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( { X }  X.  V )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
27515, 273, 274sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( { X }  X.  V )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) ) )
276271, 275eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) )
277 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Y )  =  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) `  <. X ,  Y >. )
278 ovres 6455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X
( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) Y )  =  ( X K Y ) )
279221, 27, 278syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) Y )  =  ( X K Y ) )
280277, 279syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) `  <. X ,  Y >. )  =  ( X K Y ) )
28145simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X K Y )  e.  W )
282280, 281eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) `  <. X ,  Y >. )  e.  W )
283226, 239, 269, 157, 160, 276, 282concn 20518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) : U. ( ( II  tX  II )t  ( { X }  X.  V ) ) --> W )
284275feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) : ( { X }  X.  V ) --> W  <->  ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( { X }  X.  V
) ) --> W ) )
285283, 284mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( { X }  X.  V
) ) : ( { X }  X.  V ) --> W )
286285, 221, 162fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X ( K  |`  ( { X }  X.  V ) ) Z )  e.  W )
287225, 286eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) `  <. X ,  Z >. )  e.  W )
288180, 196, 208, 157, 160, 216, 287concn 20518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) : U. ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Z } ) ) --> W )
289215feq2d 5725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) : ( U  X.  { Z } ) --> W  <->  ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Z }
) ) --> W ) )
290288, 289mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) : ( U  X.  { Z } ) --> W )
291290adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( U  X.  { Z }
) ) : ( U  X.  { Z } ) --> W )
292291, 106, 175fovrnd 6460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( U  X.  { Z } ) ) Z )  e.  W )
293179, 292eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) `  <. m ,  Z >. )  e.  W )
29456, 76, 141, 158, 161, 169, 293concn 20518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) --> W )
295168feq2d 5725 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : ( { m }  X.  V ) --> W  <->  ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : U. ( ( II 
tX  II )t  ( { m }  X.  V
) ) --> W ) )
296294, 295mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) : ( { m }  X.  V ) --> W )
297296, 52, 53fovrnd 6460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m ( K  |`  ( { m }  X.  V ) ) n )  e.  W )
29855, 297eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  U  /\  n  e.  V ) )  -> 
( m K n )  e.  W )
299298ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  U  A. n  e.  V  ( m K n )  e.  W )
300 funimassov 6465 . . . 4  |-  ( ( Fun  K  /\  ( U  X.  V )  C_  dom  K )  ->  (
( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  W  <->  A. m  e.  U  A. n  e.  V  ( m K n )  e.  W ) )
301120, 123, 300syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K "
( U  X.  V
) )  C_  W  <->  A. m  e.  U  A. n  e.  V  (
m K n )  e.  W ) )
302299, 301mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  ( K " ( U  X.  V ) ) 
C_  W )
3031, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 30, 31, 48, 50, 302cvmlift2lem9a 30098 1  |-  ( ph  ->  ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    o. ccom 4843   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589   iota_crio 6269  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   0cc0 9557   1c1 9558   [,]cicc 11663   ↾t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108    Cn ccn 20317   Conccon 20503    tX ctx 20652   Homeochmeo 20845   IIcii 21985   CovMap ccvm 30050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-con 20504  df-lly 20558  df-nlly 20559  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-ii 21987  df-htpy 22079  df-phtpy 22080  df-phtpc 22101  df-pcon 30016  df-scon 30017  df-cvm 30051
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem10  30107
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