Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem cvmlift2lem3 27194
Description: Lemma for cvmlift2 27205. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2lem3.1  |-  K  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( X G z ) )  /\  ( f `
 0 )  =  ( H `  X
) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  K )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( X G z ) )  /\  ( K `  0 )  =  ( H `  X ) ) )
Distinct variable groups:    z, f, F    ph, f, z    f, J, z    f, G, z   
f, H, z    f, X, z    C, f, z    P, f, z    z, B
Allowed substitution hints:    B( f)    K( z, f)

Proof of Theorem cvmlift2lem3
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift2lem3.1 . 2  |-  K  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( X G z ) )  /\  ( f `
 0 )  =  ( H `  X
) ) )
3 cvmlift2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
43adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 iitopon 20455 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  X  e.  ( 0 [,] 1
) )
86, 6, 7cnmptc 19235 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  X )  e.  ( II 
Cn  II ) )
96cnmptid 19234 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  z )  e.  ( II 
Cn  II ) )
10 cvmlift2.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
126, 8, 9, 11cnmpt12f 19239 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( X G z ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
13 cvmlift2.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
14 cvmlift2.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
15 cvmlift2.h . . . . . 6  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
161, 3, 10, 13, 14, 15cvmlift2lem2 27193 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  H )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( H `
 0 )  =  P ) )
1716simp1d 1000 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  C ) )
18 iiuni 20457 . . . . 5  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
1918, 1cnf 18850 . . . 4  |-  ( H  e.  ( II  Cn  C )  ->  H : ( 0 [,] 1 ) --> B )
2017, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( 0 [,] 1 ) --> B )
2120ffvelrnda 5843 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( H `  X )  e.  B )
22 0elunit 11403 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
23 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( z  =  0  ->  ( X G z )  =  ( X G 0 ) )
24 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( X G z ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( X G z ) )
25 ovex 6116 . . . . 5  |-  ( X G 0 )  e. 
_V
2623, 24, 25fvmpt 5774 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( X G z ) ) `  0
)  =  ( X G 0 ) )
2722, 26mp1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( X G z ) ) `  0
)  =  ( X G 0 ) )
2816simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) ) )
2928fveq1d 5693 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) ) `  X ) )
30 oveq1 6098 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
z G 0 )  =  ( X G 0 ) )
31 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( z G 0 ) )
3230, 31, 25fvmpt 5774 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( z G 0 ) ) `  X
)  =  ( X G 0 ) )
3329, 32sylan9eq 2495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  H
) `  X )  =  ( X G 0 ) )
34 fvco3 5768 . . . 4  |-  ( ( H : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  H ) `  X )  =  ( F `  ( H `
 X ) ) )
3520, 34sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  H
) `  X )  =  ( F `  ( H `  X ) ) )
3627, 33, 353eqtr2rd 2482 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  ( H `  X ) )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( X G z ) ) ` 
0 ) )
371, 2, 4, 12, 21, 36cvmliftiota 27190 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  K )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( X G z ) )  /\  ( K `  0 )  =  ( H `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   U.cuni 4091    e. cmpt 4350    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418   iota_crio 6051  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283   [,]cicc 11303  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828    tX ctx 19133   IIcii 20451   CovMap ccvm 27144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ec 7103  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-con 19016  df-lly 19070  df-nlly 19071  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-ii 20453  df-htpy 20542  df-phtpy 20543  df-phtpc 20564  df-pcon 27110  df-scon 27111  df-cvm 27145
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem5  27196  cvmlift2lem6  27197  cvmlift2lem7  27198  cvmlift2lem8  27199
  Copyright terms: Public domain W3C validator