Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem cvmlift2lem3 28406
Description: Lemma for cvmlift2 28417. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2lem3.1  |-  K  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( X G z ) )  /\  ( f `
 0 )  =  ( H `  X
) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  K )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( X G z ) )  /\  ( K `  0 )  =  ( H `  X ) ) )
Distinct variable groups:    z, f, F    ph, f, z    f, J, z    f, G, z   
f, H, z    f, X, z    C, f, z    P, f, z    z, B
Allowed substitution hints:    B( f)    K( z, f)

Proof of Theorem cvmlift2lem3
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift2lem3.1 . 2  |-  K  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( X G z ) )  /\  ( f `
 0 )  =  ( H `  X
) ) )
3 cvmlift2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
43adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 iitopon 21134 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  X  e.  ( 0 [,] 1
) )
86, 6, 7cnmptc 19914 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  X )  e.  ( II 
Cn  II ) )
96cnmptid 19913 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  z )  e.  ( II 
Cn  II ) )
10 cvmlift2.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
126, 8, 9, 11cnmpt12f 19918 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( X G z ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
13 cvmlift2.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
14 cvmlift2.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
15 cvmlift2.h . . . . . 6  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
161, 3, 10, 13, 14, 15cvmlift2lem2 28405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  H )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( H `
 0 )  =  P ) )
1716simp1d 1008 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  C ) )
18 iiuni 21136 . . . . 5  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
1918, 1cnf 19529 . . . 4  |-  ( H  e.  ( II  Cn  C )  ->  H : ( 0 [,] 1 ) --> B )
2017, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( 0 [,] 1 ) --> B )
2120ffvelrnda 6020 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( H `  X )  e.  B )
22 0elunit 11637 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
23 oveq2 6291 . . . . 5  |-  ( z  =  0  ->  ( X G z )  =  ( X G 0 ) )
24 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( X G z ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( X G z ) )
25 ovex 6308 . . . . 5  |-  ( X G 0 )  e. 
_V
2623, 24, 25fvmpt 5949 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( X G z ) ) `  0
)  =  ( X G 0 ) )
2722, 26mp1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( X G z ) ) `  0
)  =  ( X G 0 ) )
2816simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) ) )
2928fveq1d 5867 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) ) `  X ) )
30 oveq1 6290 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
z G 0 )  =  ( X G 0 ) )
31 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( z G 0 ) )
3230, 31, 25fvmpt 5949 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( z G 0 ) ) `  X
)  =  ( X G 0 ) )
3329, 32sylan9eq 2528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  H
) `  X )  =  ( X G 0 ) )
34 fvco3 5943 . . . 4  |-  ( ( H : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  H ) `  X )  =  ( F `  ( H `
 X ) ) )
3520, 34sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  H
) `  X )  =  ( F `  ( H `  X ) ) )
3627, 33, 353eqtr2rd 2515 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  ( H `  X ) )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( X G z ) ) ` 
0 ) )
371, 2, 4, 12, 21, 36cvmliftiota 28402 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( K  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  K )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( X G z ) )  /\  ( K `  0 )  =  ( H `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   -->wf 5583   ` cfv 5587   iota_crio 6243  (class class class)co 6283   0cc0 9491   1c1 9492   [,]cicc 11531  TopOnctopon 19178    Cn ccn 19507    tX ctx 19812   IIcii 21130   CovMap ccvm 28356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ec 7313  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-cmp 19669  df-con 19695  df-lly 19749  df-nlly 19750  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-ii 21132  df-htpy 21221  df-phtpy 21222  df-phtpc 21243  df-pcon 28322  df-scon 28323  df-cvm 28357
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem5  28408  cvmlift2lem6  28409  cvmlift2lem7  28410  cvmlift2lem8  28411
  Copyright terms: Public domain W3C validator