Theorem cvmlift2lem10 28397

Description: Lemma for cvmlift2 28401. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	|- B = U. C
cvmlift2.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmlift2.g	|- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
cvmlift2.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmlift2.i	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h	|- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( f ` 0 ) = P ) )
cvmlift2.k	|- K = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G z ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( H ` x ) ) ) ` y ) )
cvmlift2lem10.s	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem10.1	|- ( ph -> X e. ( 0 [,] 1 ) )
cvmlift2lem10.2	|- ( ph -> Y e. ( 0 [,] 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem10	|- ( ph -> E. u e. II E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z, F   ph, f, u, v, w, x, y, z   S, f, u, v, w, x, y, z   J, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z   G, c, f, k, u, v, w, x, y, z   H, c, f, u, v, w, x, y, z   X, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z   C, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z   P, f, k, u, v, x, y, z   B, c, d, v, w, x, y, z   Y, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z   K, c, d, f, u, v, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( k, s, c, d)   B( u, f, k, s)   P( w, s, c, d)   S( k, s, c, d)   G( s, d)   H( k, s, d)   K( k, s)   X( s)   Y( s)

Proof of Theorem cvmlift2lem10

Dummy variables b m a t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.f	. . 3 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
2		cvmlift2.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
3		iitop 21119	. . . . . . 7 |- II e. Top
4		iiuni 21120	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
5	3, 3, 4, 4	txunii 19829	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) = U. ( II tX II )
6		eqid 2467	. . . . . 6 |- U. J = U. J
7	5, 6	cnf 19513	. . . . 5 |- ( G e. ( ( II tX II ) Cn J ) -> G : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J )
8	2, 7	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> G : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J )
9		cvmlift2lem10.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ( 0 [,] 1 ) )
10		cvmlift2lem10.2	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( 0 [,] 1 ) )
11		opelxpi 5030	. . . . 5 |- ( ( X e. ( 0 [,] 1 ) /\ Y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. X , Y >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> <. X , Y >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
13	8, 12	ffvelrnd 6020	. . 3 |- ( ph -> ( G ` <. X , Y >. ) e. U. J )
14		cvmlift2lem10.s	. . . 4 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
15	14, 6	cvmcov 28348	. . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ ( G ` <. X , Y >. ) e. U. J ) -> E. m e. J ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ ( S ` m ) =/= (/) ) )
16	1, 13, 15	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> E. m e. J ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ ( S ` m ) =/= (/) ) )
17		n0 3794	. . . . 5 |- ( ( S ` m ) =/= (/) <-> E. t t e. ( S ` m ) )
18	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> <. X , Y >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
19		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> ( G ` <. X , Y >. ) e. m )
20	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> G : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J )
21		ffn 5729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J -> G Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
22		elpreima 5999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( <. X , Y >. e. ( `' G " m ) <-> ( <. X , Y >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( G ` <. X , Y >. ) e. m ) ) )
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> ( <. X , Y >. e. ( `' G " m ) <-> ( <. X , Y >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( G ` <. X , Y >. ) e. m ) ) )
24	18, 19, 23	mpbir2and 920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> <. X , Y >. e. ( `' G " m ) )
25	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
26	14	cvmsrcl 28349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( S ` m ) -> m e. J )
27	26	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> m e. J )
28		cnima 19532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. ( ( II tX II ) Cn J ) /\ m e. J ) -> ( `' G " m ) e. ( II tX II ) )
29	25, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> ( `' G " m ) e. ( II tX II ) )
30		eltx 19804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( II e. Top /\ II e. Top ) -> ( ( `' G " m ) e. ( II tX II ) <-> A. z e. ( `' G " m ) E. a e. II E. b e. II ( z e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) )
31	3, 3, 30	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' G " m ) e. ( II tX II ) <-> A. z e. ( `' G " m ) E. a e. II E. b e. II ( z e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) )
32	29, 31	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> A. z e. ( `' G " m ) E. a e. II E. b e. II ( z e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) )
33		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = <. X , Y >. -> ( z e. ( a X. b ) <-> <. X , Y >. e. ( a X. b ) ) )
34		opelxp 5028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. X , Y >. e. ( a X. b ) <-> ( X e. a /\ Y e. b ) )
35	33, 34	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = <. X , Y >. -> ( z e. ( a X. b ) <-> ( X e. a /\ Y e. b ) ) )
36	35	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. X , Y >. -> ( ( z e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) <-> ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) )
37	36	2rexbidv 2980	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. X , Y >. -> ( E. a e. II E. b e. II ( z e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) <-> E. a e. II E. b e. II ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) )
38	37	rspcv 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( <. X , Y >. e. ( `' G " m ) -> ( A. z e. ( `' G " m ) E. a e. II E. b e. II ( z e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) -> E. a e. II E. b e. II ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) )
39	24, 32, 38	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> E. a e. II E. b e. II ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) )
40		iillyscon 28338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- II e. Locally SCon
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> II e. Locally SCon )
42		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> a e. II )
43		simprll 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> X e. a )
44		llyi 19741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( II e. Locally SCon /\ a e. II /\ X e. a ) -> E. u e. II ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) )
45	41, 42, 43, 44	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> E. u e. II ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) )
46		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> b e. II )
47		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> Y e. b )
48		llyi 19741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( II e. Locally SCon /\ b e. II /\ Y e. b ) -> E. v e. II ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) )
49	41, 46, 47, 48	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> E. v e. II ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) )
50		reeanv 3029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. u e. II E. v e. II ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) <-> ( E. u e. II ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ E. v e. II ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) )
51		simpl2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> X e. u )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> ( ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> X e. u ) )
53		simpr2 1003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> Y e. v )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> ( ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> Y e. v ) )
55		simprl1 1041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) /\ ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> u C_ a )
56		simprr1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) /\ ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> v C_ b )
57		xpss12 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( u C_ a /\ v C_ b ) -> ( u X. v ) C_ ( a X. b ) )
58	55, 56, 57	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) /\ ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> ( u X. v ) C_ ( a X. b ) )
59		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) /\ ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) )
60	58, 59	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) /\ ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) )
61	60	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> ( ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) )
62	52, 54, 61	3jcad 1177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> ( ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) ) )
63		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) -> ( II ↾t u ) e. SCon )
64		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) -> ( II ↾t v ) e. SCon )
65	63, 64	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> ( ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) )
67	62, 66	jcad 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> ( ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) )
68	67	reximdv 2937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> ( E. v e. II ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> E. v e. II ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) )
69	68	reximdv 2937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> ( E. u e. II E. v e. II ( ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) )
70	50, 69	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> ( ( E. u e. II ( u C_ a /\ X e. u /\ ( II ↾t u ) e. SCon ) /\ E. v e. II ( v C_ b /\ Y e. v /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) )
71	45, 49, 70	mp2and 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) /\ ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) )
72	71	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( a e. II /\ b e. II ) ) -> ( ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) )
73	72	rexlimdvva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> ( E. a e. II E. b e. II ( ( X e. a /\ Y e. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' G " m ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) )
74	39, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) )
75		simp3l1 1101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> X e. u )
76		simp3l2 1102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> Y e. v )
77		cvmlift2.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = U. C
78		simpl1l 1047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ph )
79	78, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
80	78, 2	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
81		cvmlift2.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. B )
82	78, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> P e. B )
83		cvmlift2.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
84	78, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
85		cvmlift2.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( f ` 0 ) = P ) )
86		cvmlift2.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G z ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( H ` x ) ) ) ` y ) )
87		df-ov 6285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X G Y ) = ( G ` <. X , Y >. )
88		simpl1r 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) )
89	88	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( G ` <. X , Y >. ) e. m )
90	87, 89	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( X G Y ) e. m )
91	88	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> t e. ( S ` m ) )
92		simpl2l 1049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> u e. II )
93		simpl2r 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> v e. II )
94		simp3rl 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> ( II ↾t u ) e. SCon )
95	94	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( II ↾t u ) e. SCon )
96		sconpcon 28312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( II ↾t u ) e. SCon -> ( II ↾t u ) e. PCon )
97		pconcon 28316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( II ↾t u ) e. PCon -> ( II ↾t u ) e. Con )
98	95, 96, 97	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( II ↾t u ) e. Con )
99		simp3rr 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> ( II ↾t v ) e. SCon )
100	99	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( II ↾t v ) e. SCon )
101		sconpcon 28312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( II ↾t v ) e. SCon -> ( II ↾t v ) e. PCon )
102		pconcon 28316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( II ↾t v ) e. PCon -> ( II ↾t v ) e. Con )
103	100, 101, 102	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( II ↾t v ) e. Con )
104	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> X e. u )
105	76	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> Y e. v )
106		simp3l3 1103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) )
107	106	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) )
108		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> w e. v )
109		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) )
110		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( iota_ b e. t ( X K Y ) e. b ) = ( iota_ b e. t ( X K Y ) e. b )
111	77, 79, 80, 82, 84, 85, 86, 14, 90, 91, 92, 93, 98, 103, 104, 105, 107, 108, 109, 110	cvmlift2lem9 28396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) /\ ( w e. v /\ ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) )
112	111	rexlimdvaa 2956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) )
113	75, 76, 112	3jca 1176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) /\ ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) ) -> ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) )
114	113	3expia 1198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) -> ( ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) )
115	114	anassrs 648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ u e. II ) /\ v e. II ) -> ( ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) )
116	115	reximdva 2938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) /\ u e. II ) -> ( E. v e. II ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) )
117	116	reximdva 2938	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> ( E. u e. II E. v e. II ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' G " m ) ) /\ ( ( II ↾t u ) e. SCon /\ ( II ↾t v ) e. SCon ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) )
118	74, 117	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ t e. ( S ` m ) ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) )
119	118	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( G ` <. X , Y >. ) e. m ) -> ( t e. ( S ` m ) -> E. u e. II E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) )
120	119	exlimdv 1700	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( G ` <. X , Y >. ) e. m ) -> ( E. t t e. ( S ` m ) -> E. u e. II E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) )
121	17, 120	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( G ` <. X , Y >. ) e. m ) -> ( ( S ` m ) =/= (/) -> E. u e. II E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) )
122	121	expimpd 603	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ ( S ` m ) =/= (/) ) -> E. u e. II E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) )
123	122	rexlimdvw 2958	. 2 |- ( ph -> ( E. m e. J ( ( G ` <. X , Y >. ) e. m /\ ( S ` m ) =/= (/) ) -> E. u e. II E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) )
124	16, 123	mpd 15	1 |- ( ph -> E. u e. II E. v e. II ( X e. u /\ Y e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   |` cres 5001   "cima 5002   o. ccom 5003   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586   iota_crio 6242  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   0cc0 9488   1c1 9489   [,]cicc 11528   ↾_t crest 14672   Topctop 19161   Cn ccn 19491   Conccon 19678  Locally clly 19731   tX ctx 19796   Homeochmeo 19989   IIcii 21114  PConcpcon 28304  SConcscon 28305   CovMap ccvm 28340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-cmp 19653  df-con 19679  df-lly 19733  df-nlly 19734  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-ii 21116  df-htpy 21205  df-phtpy 21206  df-phtpc 21227  df-pcon 28306  df-scon 28307  df-cvm 28341

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  28399