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Theorem cvmlift2lem10 27153
Description: Lemma for cvmlift2 27157. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
cvmlift2lem10.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem10.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
cvmlift2lem10.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem10  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d,
f, k, s, u, v, w, x, y, z, F    ph, f, u, v, w, x, y, z    S, f, u, v, w, x, y, z    J, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    G, c, f, k, u, v, w, x, y, z    H, c, f, u, v, w, x, y, z    X, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    C, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    P, f, k, u, v, x, y, z    B, c, d, v, w, x, y, z    Y, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    K, c, d, f, u, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( k, s, c, d)    B( u, f, k, s)    P( w, s, c, d)    S( k, s, c, d)    G( s, d)    H( k, s, d)    K( k, s)    X( s)    Y( s)

Proof of Theorem cvmlift2lem10
Dummy variables  b  m  a  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 cvmlift2.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
3 iitop 20431 . . . . . . 7  |-  II  e.  Top
4 iiuni 20432 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
53, 3, 4, 4txunii 19141 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
6 eqid 2438 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
75, 6cnf 18825 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  J )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
82, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J )
9 cvmlift2lem10.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
10 cvmlift2lem10.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
11 opelxpi 4866 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
138, 12ffvelrnd 5839 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )
14 cvmlift2lem10.s . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
1514, 6cvmcov 27104 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m
)  =/=  (/) ) )
161, 13, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) ) )
17 n0 3641 . . . . 5  |-  ( ( S `  m )  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  ( S `  m
) )
1812adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
19 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m
)
208adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
21 ffn 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
22 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2320, 21, 223syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2418, 19, 23mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( `' G " m ) )
252adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
2614cvmsrcl 27105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( S `  m )  ->  m  e.  J )
2726ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  m  e.  J )
28 cnima 18844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J )  /\  m  e.  J )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
2925, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
30 eltx 19116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  -> 
( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) ) )
313, 3, 30mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
3229, 31sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  A. z  e.  ( `' G "
m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
33 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b ) ) )
34 opelxp 4864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) )
3533, 34syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) ) )
3635anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  <->  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
37362rexbidv 2753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  <->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
3837rspcv 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  ->  ( A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
3924, 32, 38sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
40 iillyscon 27094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  II  e. Locally SCon
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  II  e. Locally SCon )
42 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  a  e.  II )
43 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  X  e.  a )
44 llyi 19053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  a  e.  II  /\  X  e.  a )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
46 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  b  e.  II )
47 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  Y  e.  b )
48 llyi 19053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  b  e.  II  /\  Y  e.  b )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
4941, 46, 47, 48syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
50 reeanv 2883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  <->  ( E. u  e.  II  (
u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
51 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u ) )
53 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v ) )
55 simprl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  ->  u  C_  a )
56 simprr1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
v  C_  b )
57 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  C_  a  /\  v  C_  b )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
5855, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
59 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) )
6058, 59sstrd 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
6252, 54, 613jcad 1169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
63 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
64 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
6563, 64anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
6762, 66jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
) ) )
6867reximdv 2822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
6968reximdv 2822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7050, 69syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7145, 49, 70mp2and 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
7271ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7372rexlimdvva 2843 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7439, 73mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
75 simp3l1 1093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  X  e.  u )
76 simp3l2 1094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  Y  e.  v )
77 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  = 
U. C
78 simpl1l 1039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ph )
7978, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
8078, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
81 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8278, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  P  e.  B
)
83 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
8478, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( 0 G 0 ) )
85 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
86 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
87 df-ov 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X G Y )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
88 simpl1r 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m ) ) )
8988simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )
9087, 89syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( X G Y )  e.  m
)
9188simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  t  e.  ( S `  m ) )
92 simpl2l 1041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  u  e.  II )
93 simpl2r 1042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  v  e.  II )
94 simp3rl 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  u
)  e. SCon )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
96 sconpcon 27068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  u )  e. SCon  ->  ( IIt  u )  e. PCon )
97 pconcon 27072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  u )  e. PCon  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
9895, 96, 973syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
99 simp3rr 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e. SCon )
101 sconpcon 27068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  v )  e. SCon  ->  ( IIt  v )  e. PCon )
102 pconcon 27072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  v )  e. PCon  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
10475adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  X  e.  u
)
10576adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  Y  e.  v )
106 simp3l3 1095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
108 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  w  e.  v )
109 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
) )
110 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( iota_ b  e.  t  ( X K Y )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  t 
( X K Y )  e.  b )
11177, 79, 80, 82, 84, 85, 86, 14, 90, 91, 92, 93, 98, 103, 104, 105, 107, 108, 109, 110cvmlift2lem9 27152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) )
112111rexlimdvaa 2837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) )
11375, 76, 1123jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
1141133expia 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  (
u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
115114anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  /\  v  e.  II )  ->  ( ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
116115reximdva 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )  ->  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
117116reximdva 2823 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
11874, 117mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
119118expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( t  e.  ( S `  m
)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
120119exlimdv 1690 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( E. t 
t  e.  ( S `
 m )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12117, 120syl5bi 217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( ( S `
 m )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
122121expimpd 603 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
123122rexlimdvw 2839 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  J  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12416, 123mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714    \ cdif 3320    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   <.cop 3878   U.cuni 4086    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   `'ccnv 4834    |` cres 4837   "cima 4838    o. ccom 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   iota_crio 6046  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   0cc0 9274   1c1 9275   [,]cicc 11295   ↾t crest 14351   Topctop 18473    Cn ccn 18803   Conccon 18990  Locally clly 19043    tX ctx 19108   Homeochmeo 19301   IIcii 20426  PConcpcon 27060  SConcscon 27061   CovMap ccvm 27096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-cmp 18965  df-con 18991  df-lly 19045  df-nlly 19046  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-ii 20428  df-htpy 20517  df-phtpy 20518  df-phtpc 20539  df-pcon 27062  df-scon 27063  df-cvm 27097
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  27155
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