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Theorem cvmlift2lem10 28932
Description: Lemma for cvmlift2 28936. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
cvmlift2lem10.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem10.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
cvmlift2lem10.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem10  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d,
f, k, s, u, v, w, x, y, z, F    ph, f, u, v, w, x, y, z    S, f, u, v, w, x, y, z    J, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    G, c, f, k, u, v, w, x, y, z    H, c, f, u, v, w, x, y, z    X, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    C, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    P, f, k, u, v, x, y, z    B, c, d, v, w, x, y, z    Y, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    K, c, d, f, u, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( k, s, c, d)    B( u, f, k, s)    P( w, s, c, d)    S( k, s, c, d)    G( s, d)    H( k, s, d)    K( k, s)    X( s)    Y( s)

Proof of Theorem cvmlift2lem10
Dummy variables  b  m  a  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 cvmlift2.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
3 iitop 21509 . . . . . . 7  |-  II  e.  Top
4 iiuni 21510 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
53, 3, 4, 4txunii 20219 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
6 eqid 2457 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
75, 6cnf 19873 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  J )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
82, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J )
9 cvmlift2lem10.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
10 cvmlift2lem10.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
11 opelxpi 5040 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
138, 12ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )
14 cvmlift2lem10.s . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
1514, 6cvmcov 28883 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m
)  =/=  (/) ) )
161, 13, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) ) )
17 n0 3803 . . . . 5  |-  ( ( S `  m )  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  ( S `  m
) )
1812adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
19 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m
)
208adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
21 ffn 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
22 elpreima 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2320, 21, 223syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2418, 19, 23mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( `' G " m ) )
252adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
2614cvmsrcl 28884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( S `  m )  ->  m  e.  J )
2726ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  m  e.  J )
28 cnima 19892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J )  /\  m  e.  J )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
2925, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
30 eltx 20194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  -> 
( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) ) )
313, 3, 30mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
3229, 31sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  A. z  e.  ( `' G "
m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
33 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b ) ) )
34 opelxp 5038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) )
3533, 34syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) ) )
3635anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  <->  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
37362rexbidv 2975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  <->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
3837rspcv 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  ->  ( A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
3924, 32, 38sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
40 iillyscon 28873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  II  e. Locally SCon
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  II  e. Locally SCon )
42 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  a  e.  II )
43 simprll 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  X  e.  a )
44 llyi 20100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  a  e.  II  /\  X  e.  a )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
46 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  b  e.  II )
47 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  Y  e.  b )
48 llyi 20100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  b  e.  II  /\  Y  e.  b )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
4941, 46, 47, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
50 reeanv 3025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  <->  ( E. u  e.  II  (
u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
51 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u ) )
53 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v ) )
55 simprl1 1041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  ->  u  C_  a )
56 simprr1 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
v  C_  b )
57 xpss12 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  C_  a  /\  v  C_  b )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
5855, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
59 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) )
6058, 59sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
6252, 54, 613jcad 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
63 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
64 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
6563, 64anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
6762, 66jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
) ) )
6867reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
6968reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7050, 69syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7145, 49, 70mp2and 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
7271ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7372rexlimdvva 2956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7439, 73mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
75 simp3l1 1101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  X  e.  u )
76 simp3l2 1102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  Y  e.  v )
77 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  = 
U. C
78 simpl1l 1047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ph )
7978, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
8078, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
81 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8278, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  P  e.  B
)
83 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
8478, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( 0 G 0 ) )
85 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
86 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
87 df-ov 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X G Y )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
88 simpl1r 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m ) ) )
8988simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )
9087, 89syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( X G Y )  e.  m
)
9188simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  t  e.  ( S `  m ) )
92 simpl2l 1049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  u  e.  II )
93 simpl2r 1050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  v  e.  II )
94 simp3rl 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  u
)  e. SCon )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
96 sconpcon 28847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  u )  e. SCon  ->  ( IIt  u )  e. PCon )
97 pconcon 28851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  u )  e. PCon  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
9895, 96, 973syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
99 simp3rr 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e. SCon )
101 sconpcon 28847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  v )  e. SCon  ->  ( IIt  v )  e. PCon )
102 pconcon 28851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  v )  e. PCon  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
10475adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  X  e.  u
)
10576adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  Y  e.  v )
106 simp3l3 1103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
108 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  w  e.  v )
109 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
) )
110 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( iota_ b  e.  t  ( X K Y )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  t 
( X K Y )  e.  b )
11177, 79, 80, 82, 84, 85, 86, 14, 90, 91, 92, 93, 98, 103, 104, 105, 107, 108, 109, 110cvmlift2lem9 28931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) )
112111rexlimdvaa 2950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) )
11375, 76, 1123jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
1141133expia 1198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  (
u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
115114anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  /\  v  e.  II )  ->  ( ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
116115reximdva 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )  ->  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
117116reximdva 2932 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
11874, 117mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
119118expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( t  e.  ( S `  m
)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
120119exlimdv 1725 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( E. t 
t  e.  ( S `
 m )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12117, 120syl5bi 217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( ( S `
 m )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
122121expimpd 603 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
123122rexlimdvw 2952 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  J  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12416, 123mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   0cc0 9509   1c1 9510   [,]cicc 11557   ↾t crest 14837   Topctop 19520    Cn ccn 19851   Conccon 20037  Locally clly 20090    tX ctx 20186   Homeochmeo 20379   IIcii 21504  PConcpcon 28839  SConcscon 28840   CovMap ccvm 28875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-cmp 20013  df-con 20038  df-lly 20092  df-nlly 20093  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-ii 21506  df-htpy 21595  df-phtpy 21596  df-phtpc 21617  df-pcon 28841  df-scon 28842  df-cvm 28876
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