Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem10 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cvmlift2lem10 30107
Description: Lemma for cvmlift2 30111. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
cvmlift2lem10.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem10.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
cvmlift2lem10.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem10  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d,
f, k, s, u, v, w, x, y, z, F    ph, f, u, v, w, x, y, z    S, f, u, v, w, x, y, z    J, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    G, c, f, k, u, v, w, x, y, z    H, c, f, u, v, w, x, y, z    X, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    C, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    P, f, k, u, v, x, y, z    B, c, d, v, w, x, y, z    Y, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    K, c, d, f, u, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( k, s, c, d)    B( u, f, k, s)    P( w, s, c, d)    S( k, s, c, d)    G( s, d)    H( k, s, d)    K( k, s)    X( s)    Y( s)

Proof of Theorem cvmlift2lem10
Dummy variables  b  m  a  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 cvmlift2.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
3 iitop 21990 . . . . . . 7  |-  II  e.  Top
4 iiuni 21991 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
53, 3, 4, 4txunii 20685 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
6 eqid 2471 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
75, 6cnf 20339 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  J )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
82, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J )
9 cvmlift2lem10.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
10 cvmlift2lem10.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
11 opelxpi 4871 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
129, 10, 11syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
138, 12ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )
14 cvmlift2lem10.s . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
1514, 6cvmcov 30058 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m
)  =/=  (/) ) )
161, 13, 15syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) ) )
17 n0 3732 . . . . 5  |-  ( ( S `  m )  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  ( S `  m
) )
1812adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
19 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m
)
208adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
21 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
22 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2418, 19, 23mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( `' G " m ) )
252adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
2614cvmsrcl 30059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( S `  m )  ->  m  e.  J )
2726ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  m  e.  J )
28 cnima 20358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J )  /\  m  e.  J )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
2925, 27, 28syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
30 eltx 20660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  -> 
( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) ) )
313, 3, 30mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
3229, 31sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  A. z  e.  ( `' G "
m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
33 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b ) ) )
34 opelxp 4869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) )
3533, 34syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) ) )
3635anbi1d 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  <->  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
37362rexbidv 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  <->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
3837rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  ->  ( A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
3924, 32, 38sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
40 iillyscon 30048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  II  e. Locally SCon
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  II  e. Locally SCon )
42 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  a  e.  II )
43 simprll 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  X  e.  a )
44 llyi 20566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  a  e.  II  /\  X  e.  a )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
46 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  b  e.  II )
47 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  Y  e.  b )
48 llyi 20566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  b  e.  II  /\  Y  e.  b )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
4941, 46, 47, 48syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
50 reeanv 2944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  <->  ( E. u  e.  II  (
u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
51 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u ) )
53 simpr2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v ) )
55 simprl1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  ->  u  C_  a )
56 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
v  C_  b )
57 xpss12 4945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  C_  a  /\  v  C_  b )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
5855, 56, 57syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
59 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) )
6058, 59sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )
6160ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
6252, 54, 613jcad 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
63 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
64 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
6563, 64anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
6762, 66jcad 542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
) ) )
6867reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
6968reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7050, 69syl5bir 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7145, 49, 70mp2and 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
7271ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7372rexlimdvva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7439, 73mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
75 simp3l1 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  X  e.  u )
76 simp3l2 1136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  Y  e.  v )
77 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  = 
U. C
78 simpl1l 1081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ph )
7978, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
8078, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
81 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8278, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  P  e.  B
)
83 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
8478, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( 0 G 0 ) )
85 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
86 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
87 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X G Y )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
88 simpl1r 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m ) ) )
8988simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )
9087, 89syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( X G Y )  e.  m
)
9188simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  t  e.  ( S `  m ) )
92 simpl2l 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  u  e.  II )
93 simpl2r 1084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  v  e.  II )
94 simp3rl 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  u
)  e. SCon )
9594adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
96 sconpcon 30022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  u )  e. SCon  ->  ( IIt  u )  e. PCon )
97 pconcon 30026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  u )  e. PCon  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
99 simp3rr 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e. SCon )
101 sconpcon 30022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  v )  e. SCon  ->  ( IIt  v )  e. PCon )
102 pconcon 30026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( IIt  v )  e. PCon  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
103100, 101, 1023syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
10475adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  X  e.  u
)
10576adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  Y  e.  v )
106 simp3l3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
107106adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
108 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  w  e.  v )
109 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
) )
110 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( iota_ b  e.  t  ( X K Y )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  t 
( X K Y )  e.  b )
11177, 79, 80, 82, 84, 85, 86, 14, 90, 91, 92, 93, 98, 103, 104, 105, 107, 108, 109, 110cvmlift2lem9 30106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) )
112111rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) )
11375, 76, 1123jca 1210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
1141133expia 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  (
u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
115114anassrs 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  /\  v  e.  II )  ->  ( ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
116115reximdva 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )  ->  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
117116reximdva 2858 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
11874, 117mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
119118expr 626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( t  e.  ( S `  m
)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
120119exlimdv 1787 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( E. t 
t  e.  ( S `
 m )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12117, 120syl5bi 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( ( S `
 m )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
122121expimpd 614 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
123122rexlimdvw 2874 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  J  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12416, 123mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   <.cop 3965   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838    |` cres 4841   "cima 4842    o. ccom 4843    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   iota_crio 6269  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   0cc0 9557   1c1 9558   [,]cicc 11663   ↾t crest 15397   Topctop 19994    Cn ccn 20317   Conccon 20503  Locally clly 20556    tX ctx 20652   Homeochmeo 20845   IIcii 21985  PConcpcon 30014  SConcscon 30015   CovMap ccvm 30050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-con 20504  df-lly 20558  df-nlly 20559  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-ii 21987  df-htpy 22079  df-phtpy 22080  df-phtpc 22101  df-pcon 30016  df-scon 30017  df-cvm 30051
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  30109
  Copyright terms: Public domain W3C validator