Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem cvmlift2lem1 27143
Description: Lemma for cvmlift2 27157. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem1  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `
 { y } ) ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) 
C_  M  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M
) )
Distinct variable groups:    u, t, x, y    u, M, y
Allowed substitution hints:    M( x, t)

Proof of Theorem cvmlift2lem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bi1 186 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  X.  {
x } )  C_  M 
<->  ( u  X.  {
t } )  C_  M )  ->  (
( u  X.  {
x } )  C_  M  ->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M ) )
2 iitop 20431 . . . . . . . . . . 11  |-  II  e.  Top
3 iiuni 20432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
43neii1 18685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( II  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  u  C_  (
0 [,] 1 ) )
52, 4mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ( nei `  II ) `  {
y } )  ->  u  C_  ( 0 [,] 1 ) )
65adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  u  C_  ( 0 [,] 1 ) )
7 xpss1 4943 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  ( 0 [,] 1 )  ->  (
u  X.  { x } )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  { x } ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( u  X.  {
x } )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) )
9 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M )
108, 9sstrd 3361 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( u  X.  {
x } )  C_  M )
11 ssnei 18689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  { y }  C_  u )
122, 11mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( ( nei `  II ) `  {
y } )  ->  { y }  C_  u )
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  { y }  C_  u )
14 vex 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1514snss 3994 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  u  <->  { y }  C_  u )
1613, 15sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
y  e.  u )
17 ssnid 3901 . . . . . . . . 9  |-  t  e. 
{ t }
18 opelxpi 4866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  u  /\  t  e.  { t } )  ->  <. y ,  t >.  e.  ( u  X.  { t } ) )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  <. y ,  t >.  e.  ( u  X.  {
t } ) )
20 ssel 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  X.  { t } )  C_  M  ->  ( <. y ,  t
>.  e.  ( u  X.  { t } )  ->  <. y ,  t
>.  e.  M ) )
2119, 20syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( u  X.  { t } ) 
C_  M  ->  <. y ,  t >.  e.  M
) )
2210, 21embantd 54 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  ->  ( u  X.  { t } )  C_  M
)  ->  <. y ,  t >.  e.  M
) )
231, 22syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  ->  <. y ,  t >.  e.  M ) )
2423rexlimdva 2836 . . . 4  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { x } )  C_  M  ->  ( E. u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) ( ( u  X.  { x } )  C_  M  <->  ( u  X.  { t } )  C_  M
)  ->  <. y ,  t >.  e.  M
) )
2524ralimdv 2790 . . 3  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { x } )  C_  M  ->  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) ( ( u  X.  { x } )  C_  M  <->  ( u  X.  { t } )  C_  M
)  ->  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) <. y ,  t
>.  e.  M ) )
2625com12 31 . 2  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `
 { y } ) ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) 
C_  M  ->  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) <. y ,  t
>.  e.  M ) )
27 dfss3 3341 . . 3  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M  <->  A. z  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { t } ) z  e.  M
)
28 eleq1 2498 . . . 4  |-  ( z  =  <. y ,  u >.  ->  ( z  e.  M  <->  <. y ,  u >.  e.  M ) )
2928ralxp 4976 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( (
0 [,] 1 )  X.  { t } ) z  e.  M  <->  A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) A. u  e.  { t } <. y ,  u >.  e.  M )
30 vex 2970 . . . . 5  |-  t  e. 
_V
31 opeq2 4055 . . . . . 6  |-  ( u  =  t  ->  <. y ,  u >.  =  <. y ,  t >. )
3231eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( u  =  t  ->  ( <. y ,  u >.  e.  M  <->  <. y ,  t
>.  e.  M ) )
3330, 32ralsn 3910 . . . 4  |-  ( A. u  e.  { t } <. y ,  u >.  e.  M  <->  <. y ,  t >.  e.  M
)
3433ralbii 2734 . . 3  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) A. u  e.  { t } <. y ,  u >.  e.  M  <->  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) <. y ,  t
>.  e.  M )
3527, 29, 343bitri 271 . 2  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M  <->  A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) <.
y ,  t >.  e.  M )
3626, 35syl6ibr 227 1  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `
 { y } ) ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) 
C_  M  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   {csn 3872   <.cop 3878    X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   [,]cicc 11295   Topctop 18473   neicnei 18676   IIcii 20426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-topgen 14374  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-nei 18677  df-ii 20428
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  27155
  Copyright terms: Public domain W3C validator