Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem cvmlift2lem1 27328
Description: Lemma for cvmlift2 27342. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem1  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `
 { y } ) ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) 
C_  M  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M
) )
Distinct variable groups:    u, t, x, y    u, M, y
Allowed substitution hints:    M( x, t)

Proof of Theorem cvmlift2lem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bi1 186 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  X.  {
x } )  C_  M 
<->  ( u  X.  {
t } )  C_  M )  ->  (
( u  X.  {
x } )  C_  M  ->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M ) )
2 iitop 20581 . . . . . . . . . . 11  |-  II  e.  Top
3 iiuni 20582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
43neii1 18835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( II  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  u  C_  (
0 [,] 1 ) )
52, 4mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ( nei `  II ) `  {
y } )  ->  u  C_  ( 0 [,] 1 ) )
65adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  u  C_  ( 0 [,] 1 ) )
7 xpss1 5049 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  ( 0 [,] 1 )  ->  (
u  X.  { x } )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  { x } ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( u  X.  {
x } )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) )
9 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M )
108, 9sstrd 3467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( u  X.  {
x } )  C_  M )
11 ssnei 18839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  { y }  C_  u )
122, 11mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( ( nei `  II ) `  {
y } )  ->  { y }  C_  u )
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  { y }  C_  u )
14 vex 3074 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1514snss 4100 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  u  <->  { y }  C_  u )
1613, 15sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
y  e.  u )
17 ssnid 4007 . . . . . . . . 9  |-  t  e. 
{ t }
18 opelxpi 4972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  u  /\  t  e.  { t } )  ->  <. y ,  t >.  e.  ( u  X.  { t } ) )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  <. y ,  t >.  e.  ( u  X.  {
t } ) )
20 ssel 3451 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  X.  { t } )  C_  M  ->  ( <. y ,  t
>.  e.  ( u  X.  { t } )  ->  <. y ,  t
>.  e.  M ) )
2119, 20syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( u  X.  { t } ) 
C_  M  ->  <. y ,  t >.  e.  M
) )
2210, 21embantd 54 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  ->  ( u  X.  { t } )  C_  M
)  ->  <. y ,  t >.  e.  M
) )
231, 22syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  ->  <. y ,  t >.  e.  M ) )
2423rexlimdva 2940 . . . 4  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { x } )  C_  M  ->  ( E. u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) ( ( u  X.  { x } )  C_  M  <->  ( u  X.  { t } )  C_  M
)  ->  <. y ,  t >.  e.  M
) )
2524ralimdv 2829 . . 3  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { x } )  C_  M  ->  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) ( ( u  X.  { x } )  C_  M  <->  ( u  X.  { t } )  C_  M
)  ->  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) <. y ,  t
>.  e.  M ) )
2625com12 31 . 2  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `
 { y } ) ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) 
C_  M  ->  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) <. y ,  t
>.  e.  M ) )
27 dfss3 3447 . . 3  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M  <->  A. z  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { t } ) z  e.  M
)
28 eleq1 2523 . . . 4  |-  ( z  =  <. y ,  u >.  ->  ( z  e.  M  <->  <. y ,  u >.  e.  M ) )
2928ralxp 5082 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( (
0 [,] 1 )  X.  { t } ) z  e.  M  <->  A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) A. u  e.  { t } <. y ,  u >.  e.  M )
30 vex 3074 . . . . 5  |-  t  e. 
_V
31 opeq2 4161 . . . . . 6  |-  ( u  =  t  ->  <. y ,  u >.  =  <. y ,  t >. )
3231eleq1d 2520 . . . . 5  |-  ( u  =  t  ->  ( <. y ,  u >.  e.  M  <->  <. y ,  t
>.  e.  M ) )
3330, 32ralsn 4016 . . . 4  |-  ( A. u  e.  { t } <. y ,  u >.  e.  M  <->  <. y ,  t >.  e.  M
)
3433ralbii 2834 . . 3  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) A. u  e.  { t } <. y ,  u >.  e.  M  <->  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) <. y ,  t
>.  e.  M )
3527, 29, 343bitri 271 . 2  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M  <->  A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) <.
y ,  t >.  e.  M )
3626, 35syl6ibr 227 1  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `
 { y } ) ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) 
C_  M  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3429   {csn 3978   <.cop 3984    X. cxp 4939   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   0cc0 9386   1c1 9387   [,]cicc 11407   Topctop 18623   neicnei 18826   IIcii 20576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-icc 11411  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-nei 18827  df-ii 20578
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  27340
  Copyright terms: Public domain W3C validator