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Theorem cvmfolem 24919
Description: Lemma for cvmfo 24940. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmseu.1  |-  B  = 
U. C
cvmfolem.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cvmfolem  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F : B -onto-> X )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    v, B
Allowed substitution hints:    B( u, k, s)    S( v, u, k, s)    X( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmfolem
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmcn 24902 . . 3  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
2 cvmseu.1 . . . 4  |-  B  = 
U. C
3 cvmfolem.2 . . . 4  |-  X  = 
U. J
42, 3cnf 17264 . . 3  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F : B
--> X )
6 cvmcov.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
76, 3cvmcov 24903 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) ) )
87ex 424 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( x  e.  X  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) ) ) )
9 n0 3597 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  z )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( S `  z
) )
106cvmsn0 24908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( S `  z )  ->  w  =/=  (/) )
1110ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  w  =/=  (/) )
12 n0 3597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  w )
1311, 12sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  E. t 
t  e.  w )
14 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  w  e.  ( S `  z ) )
156cvmsss 24907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( S `  z )  ->  w  C_  C )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  w  C_  C )
17 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  e.  w )
1816, 17sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  e.  C )
19 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  C  ->  t  C_ 
U. C )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  C_  U. C )
2120, 2syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  C_  B )
22 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
236cvmsf1o 24912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  w  e.  ( S `  z
)  /\  t  e.  w )  ->  ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> z )
2422, 14, 17, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( F  |`  t
) : t -1-1-onto-> z )
25 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> z  ->  `' ( F  |`  t ) : z -1-1-onto-> t )
26 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( F  |`  t
) : z -1-1-onto-> t  ->  `' ( F  |`  t ) : z --> t )
2724, 25, 263syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  `' ( F  |`  t ) : z --> t )
28 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  x  e.  z )
2927, 28ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  t )
3021, 29sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  B )
31 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  |`  t
) : t -1-1-onto-> z  /\  x  e.  z )  ->  ( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  x )
3224, 28, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  x )
33 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  t  -> 
( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t
) `  x )
) )
3429, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t
) `  x )
) )
3532, 34eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  x  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) ) )
36 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' ( F  |`  t ) `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) ) )
3736eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' ( F  |`  t ) `  x )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t
) `  x )
) ) )
3837rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  B  /\  x  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
3930, 35, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
4039expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  (
t  e.  w  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4140exlimdv 1643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  ( E. t  t  e.  w  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4213, 41mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
4342expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  x  e.  z
)  ->  ( w  e.  ( S `  z
)  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4443exlimdv 1643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  x  e.  z
)  ->  ( E. w  w  e.  ( S `  z )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
459, 44syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  x  e.  z
)  ->  ( ( S `  z )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4645expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  ->  (
( x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4746rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( E. z  e.  J  (
x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
488, 47syld 42 . . 3  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( x  e.  X  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4948ralrimiv 2748 . 2  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
50 dffo3 5843 . 2  |-  ( F : B -onto-> X  <->  ( F : B --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
515, 49, 50sylanbrc 646 1  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F : B -onto-> X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836    |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603    Cn ccn 17242    Homeo chmeo 17738   CovMap ccvm 24895
This theorem is referenced by:  cvmfo  24940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-hmeo 17740  df-cvm 24896
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