HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cvmdi Structured version   Unicode version

Theorem cvmdi 25881
Description: The covering property implies the modular pair property. Lemma 7.5.1 of [MaedaMaeda] p. 31. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1  |-  A  e. 
CH
mdsl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
cvmdi  |-  ( ( A  i^i  B ) 
<oH  B  ->  A  MH  B )

Proof of Theorem cvmdi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  /\  x  C_  B )  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  ( x  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  B
) ) )
2 mdsl.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
CH
3 mdsl.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
CH
42, 3chub2i 25026 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  ( A  vH  B )
5 sstr 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  B  /\  B  C_  ( A  vH  B ) )  ->  x  C_  ( A  vH  B ) )
64, 5mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  B  ->  x  C_  ( A  vH  B
) )
76pm4.71ri 633 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  B  <->  ( x  C_  ( A  vH  B
)  /\  x  C_  B
) )
87anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  B )  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  ( x  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  B
) ) )
91, 8bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  /\  x  C_  B )  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  B
) )
103, 2chincli 25016 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
11 cvnbtwn4 25846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  (
( A  i^i  B
)  <oH  B  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  B )  -> 
( x  =  ( A  i^i  B )  \/  x  =  B ) ) ) )
1210, 2, 11mp3an12 1305 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( A  i^i  B
)  <oH  B  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  B )  -> 
( x  =  ( A  i^i  B )  \/  x  =  B ) ) ) )
1312impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  <oH  B  /\  x  e.  CH )  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  B )  -> 
( x  =  ( A  i^i  B )  \/  x  =  B ) ) )
1410, 3chjcomi 25024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B )  vH  A )  =  ( A  vH  ( A  i^i  B ) )
153, 2chabs1i 25074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  vH  ( A  i^i  B ) )  =  A
1614, 15eqtri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  B )  vH  A )  =  A
1716ineq1i 3657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  vH  A )  i^i  B )  =  ( A  i^i  B )
1810chjidmi 25077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  vH  ( A  i^i  B ) )  =  ( A  i^i  B )
1917, 18eqtr4i 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  vH  A )  i^i  B )  =  ( ( A  i^i  B
)  vH  ( A  i^i  B ) )
20 oveq1 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  i^i  B )  ->  ( x  vH  A )  =  ( ( A  i^i  B
)  vH  A )
)
2120ineq1d 3660 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  B )  ->  ( (
x  vH  A )  i^i  B )  =  ( ( ( A  i^i  B )  vH  A )  i^i  B ) )
22 oveq1 6208 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  B )  ->  ( x  vH  ( A  i^i  B
) )  =  ( ( A  i^i  B
)  vH  ( A  i^i  B ) ) )
2319, 21, 223eqtr4a 2521 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  i^i  B )  ->  ( (
x  vH  A )  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) )
24 incom 3652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  vH  A )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( B  vH  A ) )
252, 3chabs2i 25075 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( B  vH  A ) )  =  B
262, 3chabs1i 25074 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )  =  B
27 incom 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
2827oveq2i 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )  =  ( B  vH  ( A  i^i  B ) )
2925, 26, 283eqtr2i 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ( B  vH  A ) )  =  ( B  vH  ( A  i^i  B ) )
3024, 29eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  vH  A )  i^i  B )  =  ( B  vH  ( A  i^i  B ) )
31 oveq1 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
x  vH  A )  =  ( B  vH  A ) )
3231ineq1d 3660 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  vH  A
)  i^i  B )  =  ( ( B  vH  A )  i^i 
B ) )
33 oveq1 6208 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
x  vH  ( A  i^i  B ) )  =  ( B  vH  ( A  i^i  B ) ) )
3430, 32, 333eqtr4a 2521 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  vH  A
)  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) )
3523, 34jaoi 379 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( A  i^i  B )  \/  x  =  B )  ->  ( ( x  vH  A )  i^i 
B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) )
3613, 35syl6 33 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  <oH  B  /\  x  e.  CH )  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  B )  -> 
( ( x  vH  A )  i^i  B
)  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) )
379, 36syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  <oH  B  /\  x  e.  CH )  ->  (
( ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  /\  x  C_  B
)  ->  ( (
x  vH  A )  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) )
3837exp4b 607 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B ) 
<oH  B  ->  ( x  e.  CH  ->  ( (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  -> 
( x  C_  B  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  B
)  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) ) ) )
3938ralrimiv 2828 . 2  |-  ( ( A  i^i  B ) 
<oH  B  ->  A. x  e.  CH  ( ( ( A  i^i  B ) 
C_  x  /\  x  C_  ( A  vH  B
) )  ->  (
x  C_  B  ->  ( ( x  vH  A
)  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
403, 2mdsl1i 25878 . 2  |-  ( A. x  e.  CH  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  -> 
( x  C_  B  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  B
)  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) )  <-> 
A  MH  B )
4139, 40sylib 196 1  |-  ( ( A  i^i  B ) 
<oH  B  ->  A  MH  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    i^i cin 3436    C_ wss 3437   class class class wbr 4401  (class class class)co 6201   CHcch 24484    vH chj 24488    <oH ccv 24519    MH cmd 24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cc 8716  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474  ax-hilex 24554  ax-hfvadd 24555  ax-hvcom 24556  ax-hvass 24557  ax-hv0cl 24558  ax-hvaddid 24559  ax-hfvmul 24560  ax-hvmulid 24561  ax-hvmulass 24562  ax-hvdistr1 24563  ax-hvdistr2 24564  ax-hvmul0 24565  ax-hfi 24634  ax-his1 24637  ax-his2 24638  ax-his3 24639  ax-his4 24640  ax-hcompl 24757
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-acn 8224  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-lm 18966  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cfil 20899  df-cau 20900  df-cmet 20901  df-grpo 23831  df-gid 23832  df-ginv 23833  df-gdiv 23834  df-ablo 23922  df-subgo 23942  df-vc 24077  df-nv 24123  df-va 24126  df-ba 24127  df-sm 24128  df-0v 24129  df-vs 24130  df-nmcv 24131  df-ims 24132  df-dip 24249  df-ssp 24273  df-ph 24366  df-cbn 24417  df-hnorm 24523  df-hba 24524  df-hvsub 24526  df-hlim 24527  df-hcau 24528  df-sh 24762  df-ch 24777  df-oc 24808  df-ch0 24809  df-shs 24864  df-chj 24866  df-cv 25836  df-md 25837
This theorem is referenced by:  cvmd  25893
  Copyright terms: Public domain W3C validator