Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlsupr4 Structured version   Unicode version

Theorem cvlsupr4 32363
Description: Consequence of superposition condition  ( P  .\/  R
)  =  ( Q 
.\/  R ). (Contributed by NM, 9-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlsupr2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cvlsupr2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvlsupr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
cvlsupr4  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( P  .\/  R
)  =  ( Q 
.\/  R ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem cvlsupr4
StepHypRef Expression
1 cvlsupr2.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 cvlsupr2.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cvlsupr2.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3cvlsupr2 32361 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( ( P  .\/  R )  =  ( Q  .\/  R
)  <->  ( R  =/= 
P  /\  R  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )
5 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( R  =/=  P  /\  R  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
64, 5syl6bi 228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( ( P  .\/  R )  =  ( Q  .\/  R
)  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
763exp 1196 . . 3  |-  ( K  e.  CvLat  ->  ( ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( P  =/=  Q  ->  ( ( P  .\/  R )  =  ( Q 
.\/  R )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
87imp4a 587 . 2  |-  ( K  e.  CvLat  ->  ( ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( ( P  =/= 
Q  /\  ( P  .\/  R )  =  ( Q  .\/  R ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )
983imp 1191 1  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( P  .\/  R
)  =  ( Q 
.\/  R ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   lecple 14916   joincjn 15897   Atomscatm 32281   CvLatclc 32283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-lat 16000  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340
This theorem is referenced by:  4atexlemtlw  33084  4atexlemc  33086
  Copyright terms: Public domain W3C validator